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C++ 實(shí)現(xiàn)求小于n的最大素?cái)?shù)的實(shí)例

 更新時(shí)間:2017年05月31日 14:58:21   投稿:lqh  
這篇文章主要介紹了C++ 實(shí)現(xiàn)求小于n的最大素?cái)?shù)的實(shí)例的相關(guān)資料,需要的朋友可以參考下

C++ 實(shí)現(xiàn)求小于n的最大素?cái)?shù)的實(shí)例

枚舉就是基于已有知識(shí)鏡像答案猜測(cè)的一種問(wèn)題求解策略

問(wèn)題:求小于n的最大素?cái)?shù)

分析:

    找不到一個(gè)數(shù)學(xué)公式,使得根據(jù)N就可以計(jì)算出這個(gè)素?cái)?shù)    

    我們思考:

    N-1是素?cái)?shù)么?N-2是素?cái)?shù)嗎?...    
    所以我們就是判斷N-K是否為素?cái)?shù):
    N-K是素?cái)?shù)的充分必要條件:N-K不能被[2,n-k)中任何一個(gè)整除    
    判斷N-K是否為素?cái)?shù)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為:
    求小于N-K的全部素?cái)?shù)(求“小于N的最大素?cái)?shù)”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個(gè)素?cái)?shù)整除”,而不是整數(shù))
    不能被[2,n)中任意一個(gè)素?cái)?shù)整除的數(shù)一定是素?cái)?shù),因?yàn)槟切┱麛?shù)都是以素?cái)?shù)為因子的,
    所以沒必要檢測(cè)所有整數(shù),檢測(cè)所有素?cái)?shù)就ok了   

解決方法:

    2是素?cái)?shù),記為PRIM 0

    根據(jù)PRIM 0,PRIM 1,...PRIM K,尋找比PRIM K大的最小素?cái)?shù)PRIM K+1(這里是根據(jù)素?cái)?shù)找素?cái)?shù))

    如果PRIM K+1大于N,則PRIM K是我們需要找的素?cái)?shù),否則繼續(xù)尋找    

    枚舉:

        從可能的集合中一一列舉各元素
        根據(jù)所知道的知識(shí),給一個(gè)猜測(cè)的答案
        比如:2是素?cái)?shù),那2是本問(wèn)題的解么    

    枚舉算法:

        對(duì)問(wèn)題可能解集合的每一項(xiàng):
            根據(jù)問(wèn)題給定的檢驗(yàn)條件判斷哪些是成立的
            使條件成立的即為問(wèn)題的解    

    枚舉過(guò)程:

        判斷猜測(cè)答案是否正確
            2是小于N的最大素?cái)?shù)么?
        進(jìn)行新的猜測(cè):

            有兩個(gè)關(guān)鍵因素要注意:

                1. 猜測(cè)的結(jié)果必須是前面的猜測(cè)中沒有出現(xiàn)過(guò)的。每次猜測(cè)的素?cái)?shù)一定要比已經(jīng)找到的素?cái)?shù)大
                2. 猜測(cè)的過(guò)程中要及早排除錯(cuò)誤的答案。比如:除2之外,只有奇數(shù)才可能是素?cái)?shù)

    枚舉過(guò)程中需要考慮的問(wèn)題:

        1. 給出解空間,建立簡(jiǎn)介的數(shù)學(xué)模型
            可能的情況是什么?
            模型中變量數(shù)盡可能的少(使規(guī)模盡量?。麄冎g相互獨(dú)立
                求“小于N的最大素?cái)?shù)”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個(gè)素?cái)?shù)整除”
                而不是“n不能被[2,n)中任意一個(gè)整數(shù)整除”

        2. 減少搜索的空間

            利用知識(shí)縮小模型中各變量的取值范圍,避免不必要的計(jì)算
            比如:較少代碼中循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)
                除2之外,只有奇數(shù)才可能是素?cái)?shù),{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}

        3. 采用合適的搜索順序

            搜索空間的遍歷順序要與模型中條件表達(dá)式一致
            例如:對(duì){2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n},按照從小到大的順序           

    枚舉關(guān)鍵字(枚舉核心):

        減少規(guī)模

實(shí)例代碼:

#include <iostream>
using namespace std;
int prim[50000];//用來(lái)存所有素?cái)?shù) 
int primNum=0;//用來(lái)記錄 prim數(shù)組中已經(jīng)存入的素?cái)?shù)的數(shù)量 
int times=0; //用于記錄求解問(wèn)題的總共判斷次數(shù) 
int primLessN(int n);
int primLessN_2(int n);
bool isPrimMothed(int n); //判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù) 

/*
  方法一:由前往后用素?cái)?shù)判斷的枚舉法:
  求“小于N的最大素?cái)?shù)”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個(gè)素?cái)?shù)整除”,而不是整數(shù)
   
  當(dāng)n=10 0000時(shí),
  ans=99991
  times=4626 4478次 
  primNum=9592 
  
  我每一個(gè)素?cái)?shù)被判斷出來(lái),都要遍歷一下之前的素?cái)?shù)表
  而判斷10 0000的時(shí)候,外層循環(huán)走了50000,里層每一個(gè)素?cái)?shù)就是一次之前素?cái)?shù)表的遍歷
  50000*(1+2+3+...+9592)=50000* 4600 8082
  前面那個(gè)數(shù)沒有50000,還要減去那些非素?cái)?shù) 
  從 50000* 4600 8082可以看出,主要是之前那些素?cái)?shù)花的時(shí)間,非素?cái)?shù)幾乎沒花時(shí)間
  非素?cái)?shù)= 4626 4478-4600 8082= 25 6450 
  只有25萬(wàn),雖然還是要比下面多很多,因?yàn)槭菑那巴蟊容^的 
*/
int primLessN(int n)
{
  prim[0]=2; //2是最小的素?cái)?shù)
  primNum++; 
  for(int i=3;i<n;i+=2){
    bool isPrim=1; //isPrim用來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)
    for(int j=0;j<primNum;j++){
      times++;
      if(i%prim[j]==0){
        isPrim=0;
        break; //沒加break之前, 當(dāng)n=10 0000時(shí),times=2 5239 6936次 (2.5億) ,加了之后times=4626 4478次 (4.5千萬(wàn)次) 
      }
      
    } 
    if(isPrim) prim[primNum++]=i;//如果是素?cái)?shù),則存入prim素?cái)?shù)數(shù)組 
  } 
  return prim[primNum-1];
} 

/*
  方法二: 由后往前的整數(shù)枚舉法
  而且方法二的空間消耗也少 
   
  當(dāng)n=10 0000時(shí),
  ans=99991
  times=346次 

  當(dāng)n=100 0000時(shí),用方法一的話,根本算不出來(lái) 
  ans=99 9983
  times=1811次 
  
  當(dāng)n=1 0000 0000(一億)時(shí), 
  ans=9999 9989
  times=11314次 
  
  當(dāng)n=10 0000 0000(十億)時(shí), 
  ans=9 9999 9937
  times=52537次 
*/
bool isPrimMothed(int n){
  bool isPrim=1; //isPrim用來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)
  if(n==2||n==3) return 1;
  for(int i=2;i*i<=n;i++){
    times++;
    if(n%i==0) return 0;
  } 
  return 1;
} 

int primLessN_2(int n){
  for(int i=n;i>=2;i--){
    if(isPrimMothed(i)) return i;
  } 
}
int main(){
  int n;
  scanf("%d",&n);
  //int ans=primLessN(n);
  int ans=primLessN_2(n);
  cout<<ans<<endl; 
  printf("總判斷次數(shù)times:%d\n",times); 
  printf("總素?cái)?shù)數(shù)primNum:%d\n",primNum); 
  return 0;
}

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