java實現(xiàn)最短路徑算法之Dijkstra算法
前言
Dijkstra算法是最短路徑算法中為人熟知的一種,是單起點全路徑算法。該算法被稱為是“貪心算法”的成功典范。本文接下來將嘗試以最通俗的語言來介紹這個偉大的算法,并賦予java實現(xiàn)代碼。
一、知識準備:
1、表示圖的數(shù)據(jù)結構
用于存儲圖的數(shù)據(jù)結構有多種,本算法中筆者使用的是鄰接矩陣。
圖的鄰接矩陣存儲方式是用兩個數(shù)組來表示圖。一個一維數(shù)組存儲圖中頂點信息,一個二維數(shù)組(鄰接矩陣)存儲圖中的邊或弧的信息。
設圖G有n個頂點,則鄰接矩陣是一個n*n的方陣,定義為:


從上面可以看出,無向圖的邊數(shù)組是一個對稱矩陣。所謂對稱矩陣就是n階矩陣的元滿足aij = aji。即從矩陣的左上角到右下角的主對角線為軸,右上角的元和左下角相對應的元全都是相等的。
從這個矩陣中,很容易知道圖中的信息。
(1)要判斷任意兩頂點是否有邊無邊就很容易了;
(2)要知道某個頂點的度,其實就是這個頂點vi在鄰接矩陣中第i行或(第i列)的元素之和;
(3)求頂點vi的所有鄰接點就是將矩陣中第i行元素掃描一遍,arc[i][j]為1就是鄰接點;
而有向圖講究入度和出度,頂點vi的入度為1,正好是第i列各數(shù)之和。頂點vi的出度為2,即第i行的各數(shù)之和。
有向圖的定義也類似,故不做贅述。
2、單起點全路徑
所謂單起點全路徑,就是指在一個圖中,從一個起點出發(fā),到所有節(jié)點的最短路徑。
3、圖論的基本知識(讀者需自行尋找相關資料)
4、互補松弛條件
設標量d1,d2,....,dN滿足
dj<=di + aij, (i,j)屬于A,
且P是以i1為起點ik為終點的路,如果
dj = di + aij, 對P的所有邊(i, j)
成立,那么P是從i1到ik的最短路。其中,滿足上面兩式的被稱為最短路問題的互補松弛條件。
二、算法思想
1、令G = (V,E)為一個帶權無向圖。G中若有兩個相鄰的節(jié)點,i和j。aij(在這及其后面都表示為下標,請注意)為節(jié)點i到節(jié)點j的權值,在本算法可以理解為距離。每個節(jié)點都有一個值di(節(jié)點標記)表示其從起點到它的某條路的距離。
2、算法初始有一個數(shù)組V用于儲存未訪問節(jié)點的列表,我們暫稱為候選列表。選定節(jié)點1為起始節(jié)點。開始時,節(jié)點1的d1=0, 其他節(jié)點di=無窮大,V為所有節(jié)點。
初始化條件后,然后開始迭代算法,直到V為空集時停止。具體迭代步驟如下:
將d值最小的節(jié)點di從候選列表中移除。(本例中V的數(shù)據(jù)結構采用的是優(yōu)先隊列實現(xiàn)最小值出列,最好使用斐波那契對,在以前文章有過介紹,性能有大幅提示)。對于以該節(jié)點為起點的每一條邊,不包括移除V的節(jié)點, (i, j)屬于A, 若dj > di + aij(違反松弛條件),則令
dj = di + aij , (如果j已經(jīng)從V中移除過,說明其最小距離已經(jīng)計算出,不參與此次計算)
可以看到在算法的運算工程中,節(jié)點的d值是單調不增的
具體算法圖解如下

三、java代碼實現(xiàn)
public class Vertex implements Comparable<Vertex>{
/**
* 節(jié)點名稱(A,B,C,D)
*/
private String name;
/**
* 最短路徑長度
*/
private int path;
/**
* 節(jié)點是否已經(jīng)出列(是否已經(jīng)處理完畢)
*/
private boolean isMarked;
public Vertex(String name){
this.name = name;
this.path = Integer.MAX_VALUE; //初始設置為無窮大
this.setMarked(false);
}
public Vertex(String name, int path){
this.name = name;
this.path = path;
this.setMarked(false);
}
@Override
public int compareTo(Vertex o) {
return o.path > path?-1:1;
}
}
public class Graph {
/*
* 頂點
*/
private List<Vertex> vertexs;
/*
* 邊
*/
private int[][] edges;
/*
* 沒有訪問的頂點
*/
private Queue<Vertex> unVisited;
public Graph(List<Vertex> vertexs, int[][] edges) {
this.vertexs = vertexs;
this.edges = edges;
initUnVisited();
}
/*
* 搜索各頂點最短路徑
*/
public void search(){
while(!unVisited.isEmpty()){
Vertex vertex = unVisited.element();
//頂點已經(jīng)計算出最短路徑,設置為"已訪問"
vertex.setMarked(true);
//獲取所有"未訪問"的鄰居
List<Vertex> neighbors = getNeighbors(vertex);
//更新鄰居的最短路徑
updatesDistance(vertex, neighbors);
pop();
}
System.out.println("search over");
}
/*
* 更新所有鄰居的最短路徑
*/
private void updatesDistance(Vertex vertex, List<Vertex> neighbors){
for(Vertex neighbor: neighbors){
updateDistance(vertex, neighbor);
}
}
/*
* 更新鄰居的最短路徑
*/
private void updateDistance(Vertex vertex, Vertex neighbor){
int distance = getDistance(vertex, neighbor) + vertex.getPath();
if(distance < neighbor.getPath()){
neighbor.setPath(distance);
}
}
/*
* 初始化未訪問頂點集合
*/
private void initUnVisited() {
unVisited = new PriorityQueue<Vertex>();
for (Vertex v : vertexs) {
unVisited.add(v);
}
}
/*
* 從未訪問頂點集合中刪除已找到最短路徑的節(jié)點
*/
private void pop() {
unVisited.poll();
}
/*
* 獲取頂點到目標頂點的距離
*/
private int getDistance(Vertex source, Vertex destination) {
int sourceIndex = vertexs.indexOf(source);
int destIndex = vertexs.indexOf(destination);
return edges[sourceIndex][destIndex];
}
/*
* 獲取頂點所有(未訪問的)鄰居
*/
private List<Vertex> getNeighbors(Vertex v) {
List<Vertex> neighbors = new ArrayList<Vertex>();
int position = vertexs.indexOf(v);
Vertex neighbor = null;
int distance;
for (int i = 0; i < vertexs.size(); i++) {
if (i == position) {
//頂點本身,跳過
continue;
}
distance = edges[position][i]; //到所有頂點的距離
if (distance < Integer.MAX_VALUE) {
//是鄰居(有路徑可達)
neighbor = getVertex(i);
if (!neighbor.isMarked()) {
//如果鄰居沒有訪問過,則加入list;
neighbors.add(neighbor);
}
}
}
return neighbors;
}
/*
* 根據(jù)頂點位置獲取頂點
*/
private Vertex getVertex(int index) {
return vertexs.get(index);
}
/*
* 打印圖
*/
public void printGraph() {
int verNums = vertexs.size();
for (int row = 0; row < verNums; row++) {
for (int col = 0; col < verNums; col++) {
if(Integer.MAX_VALUE == edges[row][col]){
System.out.print("X");
System.out.print(" ");
continue;
}
System.out.print(edges[row][col]);
System.out.print(" ");
}
System.out.println();
}
}
}
public class Test {
public static void main(String[] args){
List<Vertex> vertexs = new ArrayList<Vertex>();
Vertex a = new Vertex("A", 0);
Vertex b = new Vertex("B");
Vertex c = new Vertex("C");
Vertex d = new Vertex("D");
Vertex e = new Vertex("E");
Vertex f = new Vertex("F");
vertexs.add(a);
vertexs.add(b);
vertexs.add(c);
vertexs.add(d);
vertexs.add(e);
vertexs.add(f);
int[][] edges = {
{Integer.MAX_VALUE,6,3,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},
{6,Integer.MAX_VALUE,2,5,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},
{3,2,Integer.MAX_VALUE,3,4,Integer.MAX_VALUE},
{Integer.MAX_VALUE,5,3,Integer.MAX_VALUE,5,3},
{Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,4,5,Integer.MAX_VALUE,5},
{Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,3,5,Integer.MAX_VALUE}
};
Graph graph = new Graph(vertexs, edges);
graph.printGraph();
graph.search();
}
}
以上就是本文的全部內容,希望對大家的學習有所幫助,也希望大家多多支持腳本之家。
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