說(shuō)明

KMP算法看懂了覺(jué)得特別簡(jiǎn)單，思路很簡(jiǎn)單，看不懂之前，查各種資料，看的稀里糊涂，即使網(wǎng)上最簡(jiǎn)單的解釋?zhuān)廊豢吹南±锖俊?
我花了半天時(shí)間，爭(zhēng)取用最短的篇幅大致搞明白這玩意到底是啥。
這里不扯概念，只講算法過(guò)程和代碼理解：

KMP算法求解什么類(lèi)型問(wèn)題

字符串匹配。給你兩個(gè)字符串，尋找其中一個(gè)字符串是否包含另一個(gè)字符串，如果包含，返回包含的起始位置。
如下面兩個(gè)字符串：

char *str = "bacbababadababacambabacaddababacasdsd";
char *ptr = "ababaca";

str有兩處包含ptr
分別在str的下標(biāo)10，26處包含ptr。

“bacbababadababacambabacaddababacasdsd”;\

問(wèn)題類(lèi)型很簡(jiǎn)單，下面直接介紹算法

算法說(shuō)明

一般匹配字符串時(shí)，我們從目標(biāo)字符串str（假設(shè)長(zhǎng)度為n）的第一個(gè)下標(biāo)選取和ptr長(zhǎng)度（長(zhǎng)度為m）一樣的子字符串進(jìn)行比較，如果一樣，就返回開(kāi)始處的下標(biāo)值，不一樣，選取str下一個(gè)下標(biāo)，同樣選取長(zhǎng)度為n的字符串進(jìn)行比較，直到str的末尾（實(shí)際比較時(shí)，下標(biāo)移動(dòng)到n-m）。這樣的時(shí)間復(fù)雜度是O(n*m)。

KMP算法：可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度為O(m+n)

為何簡(jiǎn)化了時(shí)間復(fù)雜度：
充分利用了目標(biāo)字符串ptr的性質(zhì)（比如里面部分字符串的重復(fù)性，即使不存在重復(fù)字段，在比較時(shí)，實(shí)現(xiàn)最大的移動(dòng)量）。
上面理不理解無(wú)所謂，我說(shuō)的其實(shí)也沒(méi)有深刻剖析里面的內(nèi)部原因。

考察目標(biāo)字符串ptr：
ababaca
這里我們要計(jì)算一個(gè)長(zhǎng)度為m的轉(zhuǎn)移函數(shù)next。

next數(shù)組的含義就是一個(gè)固定字符串的最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴相同的長(zhǎng)度。

比如：abcjkdabc，那么這個(gè)數(shù)組的最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴相同必然是abc。
cbcbc，最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴相同是cbc。
abcbc，最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴相同是不存在的。

**注意最長(zhǎng)前綴：是說(shuō)以第一個(gè)字符開(kāi)始，但是不包含最后一個(gè)字符。
比如aaaa相同的最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴是aaa。**
對(duì)于目標(biāo)字符串ptr，ababaca，長(zhǎng)度是7，所以next[0]，next[1]，next[2]，next[3]，next[4]，next[5]，next[6]分別計(jì)算的是
a，ab，aba，abab，ababa，ababac，ababaca的相同的最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴的長(zhǎng)度。由于a，ab，aba，abab，ababa，ababac，ababaca的相同的最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴是“”，“”，“a”，“ab”，“aba”，“”，“a”,所以next數(shù)組的值是[-1,-1,0,1,2,-1,0]，這里-1表示不存在，0表示存在長(zhǎng)度為1，2表示存在長(zhǎng)度為3。這是為了和代碼相對(duì)應(yīng)。

下圖中的1，2，3，4是一樣的。1-2之間的和3-4之間的也是一樣的，我們發(fā)現(xiàn)A和B不一樣；之前的算法是我把下面的字符串往前移動(dòng)一個(gè)距離，重新從頭開(kāi)始比較，那必然存在很多重復(fù)的比較?，F(xiàn)在的做法是，我把下面的字符串往前移動(dòng)，使3和2對(duì)其，直接比較C和A是否一樣。

代碼解析

void cal_next(char *str, int *next, int len)
{
  next[0] = -1;//next[0]初始化為-1，-1表示不存在相同的最大前綴和最大后綴
  int k = -1;//k初始化為-1
  for (int q = 1; q <= len-1; q++)
  {
    while (k > -1 && str[k + 1] != str[q])//如果下一個(gè)不同，那么k就變成next[k]，注意next[k]是小于k的，無(wú)論k取任何值。
    {
      k = next[k];//往前回溯
    }
    if (str[k + 1] == str[q])//如果相同，k++
    {
      k = k + 1;
    }
    next[q] = k;//這個(gè)是把算的k的值（就是相同的最大前綴和最大后綴長(zhǎng)）賦給next[q]
  }
}

KMP

這個(gè)和next很像，具體就看代碼，其實(shí)上面已經(jīng)大概說(shuō)完了整個(gè)匹配過(guò)程。

int KMP(char *str, int slen, char *ptr, int plen)
{
  int *next = new int[plen];
  cal_next(ptr, next, plen);//計(jì)算next數(shù)組
  int k = -1;
  for (int i = 0; i < slen; i++)
  {
    while (k >-1&& ptr[k + 1] != str[i])//ptr和str不匹配，且k>-1（表示ptr和str有部分匹配）
      k = next[k];//往前回溯
    if (ptr[k + 1] == str[i])
      k = k + 1;
    if (k == plen-1)//說(shuō)明k移動(dòng)到ptr的最末端
    {
      //cout << "在位置" << i-plen+1<< endl;
      //k = -1;//重新初始化，尋找下一個(gè)
      //i = i - plen + 1;//i定位到該位置，外層for循環(huán)i++可以繼續(xù)找下一個(gè)（這里默認(rèn)存在兩個(gè)匹配字符串可以部分重疊），感謝評(píng)論中同學(xué)指出錯(cuò)誤。
      return i-plen+1;//返回相應(yīng)的位置
    }
  }
  return -1; 
}

測(cè)試

  char *str = "bacbababadababacambabacaddababacasdsd";
  char *ptr = "ababaca";
  int a = KMP(str, 36, ptr, 7);
  return 0;

注意如果str里有多個(gè)匹配ptr的字符串，要想求出所有的滿足要求的下標(biāo)位置，在KMP算法需要稍微修改一下。見(jiàn)上面注釋掉的代碼。

復(fù)雜度分析

next函數(shù)計(jì)算復(fù)雜度是(m)，開(kāi)始以為是O(m^2)，后來(lái)仔細(xì)想了想，cal__next里的while循環(huán)，以及外層for循環(huán)，利用均攤思想，其實(shí)是O(m)，這個(gè)以后想好了再寫(xiě)上。

………………………………………..分割線……………………………………..
其實(shí)本文已經(jīng)結(jié)束，后面的只是針對(duì)評(píng)論里的疑問(wèn)，我嘗試著進(jìn)行解答的。

進(jìn)一步說(shuō)明（2018-3-14）

看了評(píng)論，大家對(duì)cal_next(..)函數(shù)和KMP()函數(shù)里的

while (k > -1 && str[k + 1] != str[q])
    {
      k = next[k];
    }

和

while (k >-1&& ptr[k + 1] != str[i])
      k = next[k];

這個(gè)while循環(huán)和k=next[k]很疑惑！
確實(shí)啊，我開(kāi)始看這幾行代碼，相當(dāng)懵逼，這寫(xiě)的啥啊，為啥這樣寫(xiě)；后來(lái)上機(jī)跑了一下，慢慢了解到為何這樣寫(xiě)了。這幾行代碼，可謂是對(duì)KMP算法本質(zhì)得了解非常清楚才能想到的。很牛逼！
直接看cal_next(..)函數(shù)：
首先我們看第一個(gè)while循環(huán)，它到底干了什么。

在此之前，我們先回到原程序。原程序里有一個(gè)大的for()循環(huán)，那這個(gè)for()循環(huán)是干嘛的？

這個(gè)for循環(huán)就是計(jì)算next[0]，next[1],…next[q]…的值。

里面最后一句next[q]=k就是說(shuō)明每次循環(huán)結(jié)束，我們已經(jīng)計(jì)算了ptr的前(q+1)個(gè)字母組成的子串的“相同的最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴的長(zhǎng)度”。（這句話前面已經(jīng)解釋了?。?這個(gè)“長(zhǎng)度”就是k。

好，到此為止，假設(shè)循環(huán)進(jìn)行到 第 q 次，即已經(jīng)計(jì)算了next[q]，我們是怎么計(jì)算next[q+1]呢？

比如我們已經(jīng)知道ababab，q=4時(shí)，next[4]=2（k=2，表示該字符串的前5個(gè)字母組成的子串ababa存在相同的最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴的長(zhǎng)度是3，所以k=2,next[4]=2。這個(gè)結(jié)果可以理解成我們自己觀察算的，也可以理解成程序自己算的，這不是重點(diǎn)，重點(diǎn)是程序根據(jù)目前的結(jié)果怎么算next[5]的）.，那么對(duì)于字符串ababab，我們計(jì)算next[5]的時(shí)候，此時(shí)q=5, k=2（上一步循環(huán)結(jié)束后的結(jié)果）。那么我們需要比較的是str[k+1]和str[q]是否相等，其實(shí)就是str[1]和str[5]是否相等！，為啥從k+1比較呢，因?yàn)樯弦淮窝h(huán)中，我們已經(jīng)保證了str[k]和str[q]（注意這個(gè)q是上次循環(huán)的q）是相等的（這句話自己想想，很容易理解），所以到本次循環(huán)，我們直接比較str[k+1]和str[q]是否相等（這個(gè)q是本次循環(huán)的q）。
如果相等，那么跳出while()，進(jìn)入if()，k=k+1，接著next[q]=k。即對(duì)于ababab，我們會(huì)得出next[5]=3。 這是程序自己算的，和我們觀察的是一樣的。
如果不等，我們可以用”ababac“描述這種情況。 不等，進(jìn)入while()里面，進(jìn)行k=next[k]，這句話是說(shuō)，在str[k + 1] != str[q]的情況下，我們往前找一個(gè)k，使str[k + 1]==str[q]，是往前一個(gè)一個(gè)找呢，還是有更快的找法呢？ （一個(gè)一個(gè)找必然可以，即你把 k = next[k] 換成k- -也是完全能運(yùn)行的（更正：這句話不對(duì)啊，把k=next[k]換成k–是不行的，評(píng)論25樓舉了個(gè)反例）。但是程序給出了一種更快的找法，那就是 k = next[k]。 程序的意思是說(shuō)，一旦str[k + 1] != str[q]，即在后綴里面找不到時(shí)，我是可以直接跳過(guò)中間一段，跑到前綴里面找，next[k]就是相同的最長(zhǎng)前綴和最長(zhǎng)后綴的長(zhǎng)度。所以，k=next[k]就變成，k=next[2]，即k=0。此時(shí)再比較str[0+1]和str[5]是否相等，不等，則k=next[0]=-1。跳出循環(huán)。
（這個(gè)解釋能懂不？）

以上就是這個(gè)cal_next()函數(shù)里的

while (k > -1 && str[k + 1] != str[q])
    {
      k = next[k];
    }

最難理解的地方的一個(gè)我的理解，有不對(duì)的歡迎指出。

復(fù)雜度分析：

分析KMP復(fù)雜度，那就直接看KMP函數(shù)。

int KMP(char *str, int slen, char *ptr, int plen)
{
  int *next = new int[plen];
  cal_next(ptr, next, plen);//計(jì)算next數(shù)組
  int k = -1;
  for (int i = 0; i < slen; i++)
  {
    while (k >-1&& ptr[k + 1] != str[i])//ptr和str不匹配，且k>-1（表示ptr和str有部分匹配）
      k = next[k];//往前回溯
    if (ptr[k + 1] == str[i])
      k = k + 1;
    if (k == plen-1)//說(shuō)明k移動(dòng)到ptr的最末端
    {
      //cout << "在位置" << i-plen+1<< endl;
      //k = -1;//重新初始化，尋找下一個(gè)
      //i = i - plen + 1;//i定位到該位置，外層for循環(huán)i++可以繼續(xù)找下一個(gè)（這里默認(rèn)存在兩個(gè)匹配字符串可以部分重疊），感謝評(píng)論中同學(xué)指出錯(cuò)誤。
      return i-plen+1;//返回相應(yīng)的位置
    }
  }
  return -1; 
}

這玩意真的不好解釋?zhuān)?jiǎn)單說(shuō)一下：

從代碼解釋復(fù)雜度是一件比較難的事情，我們從

這個(gè)圖來(lái)解釋。

我們可以看到，匹配串每次往前移動(dòng)，都是一大段一大段移動(dòng)，假設(shè)匹配串里不存在重復(fù)的前綴和后綴，即next的值都是-1，那么每次移動(dòng)其實(shí)就是一整個(gè)匹配串往前移動(dòng)m個(gè)距離。然后重新一一比較，這樣就比較m次，概括為，移動(dòng)m距離，比較m次，移到末尾，就是比較n次，O(n)復(fù)雜度。 假設(shè)匹配串里存在重復(fù)的前綴和后綴，我們移動(dòng)的距離相對(duì)小了點(diǎn)，但是比較的次數(shù)也小了，整體代價(jià)也是O(n)。
所以復(fù)雜度是一個(gè)線性的復(fù)雜度。

以上就是本文的全部?jī)?nèi)容，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助，也希望大家多多支持腳本之家。

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