在一些應用的問題中，需將n個不同的元素劃分成一組不相交的集合。開始時，每個元素自成一格單元素集合，然后按一定順序將屬于同一組的元素的集合合并。其間要反復用到查詢某個元素屬于哪個集合的運算。適合于描述這類問題的抽象數(shù)據(jù)類型稱為并查集。

1. 并查集的概述

并查集的數(shù)學模型是一組不相交的動態(tài)集合的集合S={A,B,C,...}，它支持以下的運算：

(1)union(A,B)：將集合A和B合并，其結果取名為A或B；

(2)find(x)：找出包含元素x的集合，并返回該集合的名字。

在并查集中需要兩個類型的參數(shù)：集合名字的類型和元素的類型。在許多情況下，可以用整數(shù)作為集合的名字。如果集合中共有n個元素，可以用范圍【1：n】以內的整數(shù)表示元素。實現(xiàn)并查集的一個簡單方法是使用數(shù)組表示元素及其所屬子集的關系。其中，用數(shù)組下標表示元素，用數(shù)組單元記錄該元素所屬的子集名字。如果元素類型不是整型，則可以先構造一個映射，將每個元素映射成一個整數(shù)。這種映射可以用散列表或其他方式實現(xiàn)。

2. 并查集的實現(xiàn)

采用數(shù)結構實現(xiàn)并查集的基本思想是，每個集合用一棵樹表示。樹的結點用于存儲集合中的元素名。每個樹結點還存放一個指向其父結點的指針。數(shù)根結點處的元素代表該數(shù)所表示的集合。利用映射可以找到集合中所對應的數(shù)結點。

父親數(shù)組是實現(xiàn)上述數(shù)結構的有效方法。

Java實現(xiàn)代碼：

public class UnionFind {
 Node[] node; //父親數(shù)組
 //并查集中的結點
 private static class Node{
 int parent;
 boolean root;
 
 private Node(){
 parent = 1;
 root = true;
 }
 }
 //將每個元素初始化為一顆單結點樹
 public UnionFind(int n){
 node = new Node[n + 1];
 for(int e= 0; e <= n; e++){
 node[e] = new Node();
 }
 }
}

find運算就是從元素e相應的結點走到樹根處，找出所在集合的名字。

public int find(int e){
 while(!node[e].root){
 e = node[e].parent;
 }
 return e;
 }

union運算，合并兩個集合，只要將表示其中一個集合的樹的數(shù)根改為表示另一個集合的樹的數(shù)根的兒子結點。

public void union(int a, int b){
 node[a].parent += node[b].parent;
 node[b].root = false;
 node[b].parent = a;
 }

3. 快速并查集的實現(xiàn)

容易看出，在最壞情況下，合并可能使n個結點的樹退化成一條鏈，導致對所有元素各執(zhí)行一次find將耗時O(n^2)。可做出以下改進來加速find運算。

1.）小樹合并到大樹

在union操作中，將表示小樹的數(shù)根改為表示大樹的數(shù)根的兒子結點。于是并查集中每個結點至多被移動O(logn)次，從而每個結點到數(shù)根的距離不會超過O(logn)。所有，每次find運算只需O(logn)時間。

 /*
 * 合并兩個集合(加速)
 * 將表示小樹的數(shù)根改為表示大樹的數(shù)根的兒子結點
 */
 public void union(int a, int b){
 if(node[a].parent < node[b].parent){
 node[b].parent += node[a].parent;
 node[a].root = false;
 node[a].parent = a;
 }else{
 node[a].parent += node[b].parent;
 node[b].root = false;
 node[b].parent = a;
 }
 }

2.）路徑壓縮技術

在執(zhí)行find時，實際上找到了從一個結點到數(shù)根的一條路徑。路徑壓縮就是把這條路上所有的結點都提升1層，以加快找到根結點的時間。

 /*
 * find運算(加速)
 * 從元素e相應的結點走到樹根處，找出所在集合的名字
 */
 public int find(int e){
 int current = e, p ,gp;
 /*排除當前結點或其父結點為根的情況后，加速find*/
 if(node[current].root){
 return current;
 }
 p = node[current].parent;
 if(node[current].root){
 return p;
 }
 gp = node[current].parent;
 
 while(true){
 node[current].parent = gp;
 if(node[gp].root){
 return gp;
 }
 current = p;
 p = gp;
 gp = node[p].parent;
 }
 }

 (并查集實現(xiàn)的詳細代碼及更多相關數(shù)據(jù)結構的代碼均在git)

參考資料：

1.《算法設計與分析》

以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支持腳本之家。

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