為了方便起見，這些模型通常簡稱為TAR模型。這些模型捕獲了線性時間序列模型無法捕獲的行為，例如周期，幅度相關的頻率和跳躍現(xiàn)象。Tong和Lim（1980）使用閾值模型表明，該模型能夠發(fā)現(xiàn)黑子數據出現(xiàn)的不對稱周期性行為。

一階TAR模型的示例：

σ是噪聲標準偏差，Yt-1是閾值變量，r是閾值參數， {et}是具有零均值和單位方差的iid隨機變量序列。

每個線性子模型都稱為一個機制。上面是兩個機制的模型。

考慮以下簡單的一階TAR模型：

#低機制參數
 
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
 
#高機制參數
 
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
 
thresh = -1
delay = 1
 
#模擬數據
y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y
 
#繪制數據
 
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t])
abline(thresh,0,col="red")

TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通過抑制噪聲項和截距并將閾值設置為0來獲得的：

框架的穩(wěn)定性以及某些規(guī)律性條件意味著TAR的平穩(wěn)性。穩(wěn)定性可以理解為，對于任何初始值Y1，框架都是有界過程。

在[164]中：

#使用不同的起點檢查穩(wěn)定性
startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)
 
count = 1
for (s in startvals) {
	ysk[1
		} else {
			ysk[i] = -1.8*ysk[i-1]
		}
	
	count = count + 1
}
 
#繪制不同實現(xiàn)
matplot(t(x),type="l"
abline(0,0)

Chan和Tong（1985）證明，如果滿足以下條件，則一階TAR模型是平穩(wěn)的

一般的兩機制模型寫為：

在這種情況下，穩(wěn)定性更加復雜。然而，Chan and Tong（1985）證明，如果

模型估計

一種方法以及此處討論的方法是條件最小二乘（CLS）方法。

為簡單起見，除了假設p1 = p2 = p，1≤d≤p，還假設σ1=σ2=σ。然后可以將TAR模型方便地寫為

如果Yt-d> r，則I（Yt-d> r）= 1，否則為0。CLS最小化條件殘差平方和：

在這種情況下，可以根據是否Yt-d≤r將數據分為兩部分，然后執(zhí)行OLS估計每個線性子模型的參數。

如果r未知。

在r值范圍內進行搜索，該值必須在時間序列的最小值和最大值之間，以確保該序列實際上超過閾值。然后從搜索中排除最高和最低10％的值

在此受限頻帶內，針對不同的r = yt值估算TAR模型。選擇r的值，使對應的回歸模型的殘差平方和最小。

#找到分位數
lq = quantile(y,0.10)
uq = quantile(y,0.90)
 
#繪制數據
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")
abline(uq,0,col="blue")

#模型估計數
 
sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )

80

如果d未知。

令d取值為1,2,3，...，p。為每個d的潛在值估算TAR模型，然后選擇殘差平方和最小的模型。

Chan（1993）已證明，CLS方法是一致的。

最小AIC（MAIC）方法

由于在實踐中這兩種情況的AR階數是未知的，因此需要一種允許對它們進行估計的方法。對于TAR模型，對于固定的r和d，AIC變?yōu)?/p>

然后，通過最小化AIC對象來估計參數，以便在某個時間間隔內搜索閾值參數，以使任何方案都有足夠的數據進行估計。

#估算模型
#如果知道閾值
 
#如果閾值尚不清楚
 
#MAIC 方法
 
 
for (d in 1:3) {
	if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {
		AIC.best = model.tar.s$AIC
		model.best$d = d
		model.best$p1 = model.tar.s
ar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)
 
AICM

非線性測試

1.使用滯后回歸圖進行目測。

繪制Yt與其滯后。擬合的回歸曲線不是很直，可能表明存在非線性關系。

在[168]中：

lagplot(y)

2.Keenan檢驗：

考慮以下由二階Volterra展開引起的模型：

其中{ϵt} 的iid正態(tài)分布為零均值和有限方差。如果η=0，則該模型成為AR（mm）模型。

可以證明，Keenan檢驗等同于回歸模型中檢驗η=0：

其中Yt ^ 是從Yt-1，...，Yt-m上的Yt回歸得到的擬合值。

3. Tsay檢驗：

Keenan測試的一種更通用的替代方法。用更復雜的表達式替換為Keenan檢驗給出的上述模型中的項η（∑mj = 1ϕjYt-j）2。最后對所有非線性項是否均為零的二次回歸模型執(zhí)行F檢驗。

在[169]中：

#檢查非線性: Keenan, Tsay
#Null is an AR model of order 1
Keenan.test(y,1)

$test.stat
 
90.2589565661567
 
$p.value
 
1.76111433596097e-15
 
$order
 
1

在[170]中：

Tsay.test(y,1)

$test.stat
 
71.34
 
$p.value
 
3.201e-13
 
$order
 
1

4.檢驗閾值非線性

這是基于似然比的測試。

零假設是AR（pp）模型；另一種假設是具有恒定噪聲方差的p階的兩區(qū)域TAR模型，即σ1=σ2=σ。使用這些假設，可以將通用模型重寫為

零假設表明ϕ2,0 = ϕ2,1 = ... = ϕ2，p = 0。

似然比檢驗統(tǒng)計量可以證明等于

其中n-p是有效樣本大小，σ^ 2（H0）是線性AR（p）擬合的噪聲方差的MLE，而σ^ 2（H1）來自TAR的噪聲方差與在某個有限間隔內搜索到的閾值的MLE。

H0下似然比檢驗的采樣分布具有非標準采樣分布；參見Chan（1991）和Tong（1990）。

在[171]中：

res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85)
res

$percentiles
 
14.1
 
85.9
$test.statistic
 
: 142.291963130459
 
$p.value
 
: 0

模型診斷

使用殘差分析完成模型診斷。TAR模型的殘差定義為

標準化殘差是通過適當的標準偏差標準化的原始殘差：

如果TAR模型是真正的數據機制，則標準化殘差圖應看起來是隨機的?？梢酝ㄟ^檢查標準化殘差的樣本ACF來檢查標準化誤差的獨立性假設。

#模型診斷
 
diag(model.tar.best, gof.lag=20)

預測

預測分布通常是非正態(tài)的。通常，采用模擬方法進行預測?？紤]模型

然后給定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...

因此，可以通過從誤差分布中繪制et + 1并計算h（yt，et + 1），來獲得單步預測分布的Yt + 1的實現(xiàn)。 。

通過獨立重復此過程 B 次，您可以 從向前一步預測分布中隨機獲得B值樣本 。

可以通過這些B 值的樣本平均值來估計提前一步的預測平均值 。

通過迭代，可以輕松地將仿真方法擴展為找到任何l步提前預測分布：

其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是從誤差分布得出的ll值的隨機樣本。

在[173]中：

#預測
model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
y.pred = ts(c
lines(ts(model.tar.pred$pred.interval[2,], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2)
lines(ts(model

樣例

這里模擬的時間序列是1700年至1988年太陽黑子的年數量。

在[174]中：

#數據集
#太陽黑子序列，每年
 
plot.ts(sunsp

#通過滯后回歸圖檢查非線性
lagplot(sunspo)

#使用假設檢驗檢查線性
Keenan.test(sunspot.year)
Tsay.test(sunspot.year)

$test.stat
 
18.2840758932705
 
$p.value
 
2.64565849317573e-05
 
$order
 
9
 
$test.stat
 
3.904
 
$p.value
 
6.689e-12
 
$order
 
9

在[177]中：

#使用MAIC方法
AIC{
	sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)
	
AICM

在[178]中：

#測試閾值非線性
tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)

$percentiles
 
15
 
85
$test.statistic
 
: 52.2571950943405
 
$p.value
 
: 6.8337179274236e-06

#模型診斷
tsdiag(sunspot.tar.best)

#預測
sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
 
lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e

#擬合線性AR模型
#pacf(sunspot.year)
#嘗試AR階數9
ord = 9
ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")
 
plot.ts(sunspot.year[10:289]

模擬TAR模型上的AR性能

示例1. 將AR（4）擬合到TAR模型

set.seed(12349)
#低機制參數
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
 
#高機制參數
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
 
thresh = -1
delay = 1
 
nobs = 200
#模擬200個樣本
y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y
 
#使用Tsay的檢驗確定最佳AR階數
ord <- Tsay.test(y)$order
#線性AR模型
#pacf(sunspot.year)
#try AR order 4

例子2. 將AR（4）擬合到TAR模型

例子3. 將AR（3）擬合到TAR模型

例子3. 將AR（7）擬合到TAR模型

參考文獻

恩德斯（W. Enders），2010年。應用計量經濟學時間序列

到此這篇關于R語言時間序列TAR閾值自回歸模型示例詳解的文章就介紹到這了,更多相關R語言時間序列內容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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