一、算法效率

算法效率分析分為兩種：第一種是時間效率，第二種是空間效率。時間效率被稱為時間復雜度，而空間效率被稱作空間復雜度。 時間復雜度主要衡量的是一個算法的運行速度，而空間復雜度主要衡量一個算法所需要的額外空間。

在計算機發(fā)展的早期，計算機的存儲容量很小。所以對空間復雜度很是在乎。但是經過計算機行業(yè)的迅速發(fā)展，計算機的存儲容量已經達到了很高的程度。所以我們如今已經不需要再特別關注一個算法的空間復雜度。因為現在的內存不像以前那么貴，所以經常聽到過犧牲空間來換取時間的說法

二、時間復雜度

2.1 時間復雜度的概念

在計算機科學中，算法的時間復雜度是一個函數，它定量描述了該算法的運行時間。

算法中的基本操作的執(zhí)行次數，為算法的時間復雜度。從理論上說，是不能算出來的，只有你把你的程序放在機器上跑起來，才能知道。但是我們需要每個算法都上機測試嗎？是可以都上機測試，但是這很麻煩，所以才有了時間復雜度這個分析方式。

一個算法所花費的時間與其中語句的執(zhí)行次數成正比例，
算法中的基本操作的執(zhí)行次數，為算法的時間復雜度。

2.2 大O的漸進表示法

實際中我們計算時間復雜度時，我們其實并不一定要計算精確的執(zhí)行次數，而只需要大概執(zhí)行次數，那么這里我們使用大O的漸進表示法

大O符號（Big O notation）：是用于描述函數漸進行為的數學符號

(1)推導大O階方法

用常數1取代運行時間中的所有加法常數。在修改后的運行次數函數中，只保留最高階項。如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數。得到的結果就是大O階

代碼如下（示例）：

 void func(int N){
        int count = 0;//執(zhí)行1次
        for (int i = 0; i < N ; i++) {//執(zhí)行N*N次
            for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {//執(zhí)行2*N次
            count++;
        }
        int M = 10;//執(zhí)行1次
        while ((M--) > 0) {//執(zhí)行10次
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

所以func方法的執(zhí)行次數為 1+N2+2*N+1+10

我看到func的執(zhí)行次數，如果當我們的N非常大時，假設N = 100，那么這里的+1和+10是不是可以忽略了，因為1002=10000,在一萬面前+1和+10可以說是微乎其微了，所以+1和+10沒什么區(qū)別。

這就用到了前面說了推導大O階方法，

用常數1取代運行時間中的所有加法常數。

就變成了 1+N2+2*N+1+1

再來看

在修改后的運行次數函數中，只保留最高階項。

簡化后 N2

如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數。得到的結果就是大O階

這里我們的最高階項是2，但前面沒有常數所以沒必要去除，如果N2前面還有個2就是2N2就要去除2變成 N2
所以使用大O的漸進表示法以后，Func的時間復雜度為 O(N2)

通過上面我們會發(fā)現大O的漸進表示法去掉了那些對結果影響不大的項，簡潔明了的表示出了執(zhí)行次數。時間復雜度是一個函數，只能大致估一下這個算法的時間復雜度。

2.3 時間復雜度的三種情況

另外有些算法的時間復雜度存在最好、平均和最壞情況。

(1) 最壞情況

最壞情況：任意輸入規(guī)模的最大運行次數(上界) 也就是 O(N)

這里的N代表的是問題的規(guī)模

(2)最好情況

任意輸入規(guī)模的最小運行次數(下界) 也就是 O(1)

(3)平均情況

任意輸入規(guī)模的期望運行次數

注意：這里的平均情況并不是最好和最壞情況相加的平均值，而是我們期望運行的次數，有時候平均情況可能和最好或者是最壞情況一樣。

在平常我們所說的時間復雜度一般說的都是算法的最壞情況

2.4 常見時間復雜度計算舉例

2.4.1 例子

示例1：

void func2(int N) {
	int count = 0;//1
	for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) { //2*N
	   count++;
	}
	int M = 10;//1
	while ((M--) > 0) {//10
	   count++;
	}
	System.out.println(count);
}

1+2*N+1+10 通過推導大O階方法后:時間復雜度為 O(N)

示例2：

void func3(int N, int M) {
int count = 0;//常數可以不加
for (int k = 0; k < M; k++) {//M
   count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {//N
   count++;
}
System.out.println(count);
}

時間復雜度為：O(M+N)

示例3：

void func4(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {//用常數1取代運行時間中的所有加法常數
   count++;
}
System.out.println(count);
}

這里的時間復雜度為 O(1),因為傳進來的N并沒有使用

2.4.2 冒泡排序時間復雜度

示例4：

這是一個冒泡排序，我們來求一下它的最好最壞和平均情況的時間復雜度

void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {
       	if(array[i - 1] > array[i]){
       		Swap(array, i - 1, i);
               sorted = false;
           }
       }
       if (sorted == true) {
           break;
       }
   }
}

最好：O(N)
最壞：O(N2)
平均：O(N)

這是一個經過優(yōu)化后的冒泡排序，最好的情況就是該組數據已經是有序的了，所以只需走一遍就好了，也是是O(N).
而最壞的情況就把數組全部遍歷了一遍就是 N2
我們前面說過平均情況就是我么個期望的情況，我們期望的當然就是O(N)

2.4.3 二分查找的時間復雜度

我們知道求時間復雜度一般求的都是最壞的情況，二分查找只有當我們找最旁邊那兩個個數時才是最壞情況，我們就假設我們要找的就是最邊邊的那個數。

public static int binarySearch(int[] arr,int x){
            int left = 0;
            int right = arr.length-1;
            int mid = 0;//中間下標

            while(left <= right){
                mid = left+(right-left)/2;
                if(arr[mid] > x){
                    right = mid - 1;
                }else if(arr[mid] < x){
                    left = mid+1;
                }else{
                    return mid;
                }
            }

            return -1;
  }

所以二分查找的時間復雜度為 O(log2N)

2.4.4 遞歸的時間復雜度

遞歸的時間復雜度 = 遞歸的次數*每次遞歸執(zhí)行的操作的次數

示例1：

long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

這里的的遞歸次數為 N 次，這里沒有循環(huán)，每次執(zhí)行的是一個三目操作符相當于1次。所以為 N+1次，時間復雜度就是 O(N)。

示例2：

這是一個遞歸實現的斐波那契數列

public static int fib(int n){
        if(n==1||n==2){
            return 1;
        }else{
            return fib(n-1)+fib(n-2);
        }
}

斐波那契數列的遞歸次數其實就是一個等比數列求和，最后的執(zhí)行次數為 (2n) - 1,通過通過推導大O階方法最后的時間復雜度為 O(2N)

時間復雜度只是一個大概的，當數字足夠大時這里缺失的部分并不影響我們時間復雜度的計算。

三、空間復雜度

3.1 空間復雜度概念

空間復雜度是對一個算法在運行過程中臨時(額外)占用存儲空間大小的量度
占用存儲空間大小的量度 。
空間復雜度不是程序占用了多少bytes的空間，因為這個也沒太大意義，所以空間復雜度算的是變量的個數。
空間復雜度計算規(guī)則基本跟實踐復雜度類似，也使用大O漸進表示法

3.2 空間復雜度的計算

(1) 冒泡排序

這個冒泡排序的空間復雜度為 O(1)

為什么呢？因為空間復雜度是為了解決一個問題額外申請了其他變量，這里的array數組并不是額外的它是必須的，但這里的 sorted 是額外申請的，它每循環(huán)一次就定一次為什么不是O(N)呢？因為每循環(huán)一次這個變量是不是不要了呢？所以來來回回就是這一個變量。

void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
     boolean sorted = true;//額外變量
     for (int i = 1; i < end; i++) {
         if (array[i - 1] > array[i]) {
             Swap(array, i - 1, i);
             sorted = false;
         }
     }
     if (sorted == true) {
         break;
     }
 }
}

(2) 斐波那契數列

這里的空間復雜度為 O(N)
這里為了求第1~N的斐波那契數列的代碼，為了解決這個問題申請了一個額外的數組的空間，空間大小為 N+1。因為1是常數項，所以這個代碼的空間復雜度為 O(N)

public static long[] fibonacci(int n) {
        long[] fibArray = new long[n + 1];//額外空間
        fibArray[0] = 0;
        fibArray[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
            fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
        }
        return fibArray;
    }

(3)遞歸

這是一個求階層的遞歸，他的空間復雜度為 O(N)
因為遞歸在遞的過程中，每遞一次都會都會創(chuàng)建一個臨時變量。

long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

四、總結

1.在平常我們所說的時間復雜度一般說的都是算法的最壞情況
2.時間復雜度度是一個函數，這個函數只能大致估一下這個算法的時間復雜度
3.空間復雜度是個算法在運行過程中額外占用存儲空間大小的量度

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