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詳解C++實現(xiàn)拓撲排序算法

 更新時間:2021年06月11日 16:20:34   作者:Ouyang_Lianjun  
拓撲排序是對一個有向無環(huán)圖(Directed Acyclic Graph簡稱DAG)G進行拓撲排序,是將G中所有頂點排成一個線性序列,使得圖中任意一對頂點u和v,若邊(u,v)∈E(G),則u在線性序列中出現(xiàn)在v之前。本文將對其原理進行講解,并且用C++進行實現(xiàn)

一、拓撲排序的介紹

拓撲排序對應施工的流程圖具有特別重要的作用,它可以決定哪些子工程必須要先執(zhí)行,哪些子工程要在某些工程執(zhí)行后才可以執(zhí)行。為了形象地反映出整個工程中各個子工程(活動)之間的先后關系,可用一個有向圖來表示,圖中的頂點代表活動(子工程),圖中的有向邊代表活動的先后關系,即有向邊的起點的活動是終點活動的前序活動,只有當起點活動完成之后,其終點活動才能進行。通常,我們把這種頂點表示活動、邊表示活動間先后關系的有向圖稱做頂點活動網(wǎng)(Activity On Vertex network),簡稱AOV網(wǎng)。

一個AOV網(wǎng)應該是一個有向無環(huán)圖,即不應該帶有回路,因為若帶有回路,則回路上的所有活動都無法進行(對于數(shù)據(jù)流來說就是死循環(huán))。在AOV網(wǎng)中,若不存在回路,則所有活動可排列成一個線性序列,使得每個活動的所有前驅活動都排在該活動的前面,我們把此序列叫做拓撲序列(Topological order),由AOV網(wǎng)構造拓撲序列的過程叫做拓撲排序(Topological sort)。AOV網(wǎng)的拓撲序列不是唯一的,滿足上述定義的任一線性序列都稱作它的拓撲序列。

二、拓撲排序的實現(xiàn)步驟

1.在有向圖中選一個沒有前驅的頂點并且輸出

2.從圖中刪除該頂點和所有以它為尾的?。ò自捑褪牵簞h除所有和它有關的邊)

3.重復上述兩步,直至所有頂點輸出,或者當前圖中不存在無前驅的頂點為止,后者代表我們的有向圖是有環(huán)的,因此,也可以通過拓撲排序來判斷一個圖是否有環(huán)。

三、拓撲排序示例手動實現(xiàn)

如果我們有如下的一個有向無環(huán)圖,我們需要對這個圖的頂點進行拓撲排序,過程如下:

這里寫圖片描述

首先,我們發(fā)現(xiàn)V6和v1是沒有前驅的,所以我們就隨機選去一個輸出,我們先輸出V6,刪除和V6有關的邊,得到如下圖結果:

這里寫圖片描述

然后,我們繼續(xù)尋找沒有前驅的頂點,發(fā)現(xiàn)V1沒有前驅,所以輸出V1,刪除和V1有關的邊,得到下圖的結果:

這里寫圖片描述

然后,我們又發(fā)現(xiàn)V4和V3都是沒有前驅的,那么我們就隨機選取一個頂點輸出(具體看你實現(xiàn)的算法和圖存儲結構),我們輸出V4,得到如下圖結果:

這里寫圖片描述

然后,我們輸出沒有前驅的頂點V3,得到如下結果:

這里寫圖片描述

然后,我們分別輸出V5和V2,最后全部頂點輸出完成,該圖的一個拓撲序列為:

v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2

四、拓撲排序的代碼實現(xiàn)

下面,我們將用兩種方法來實現(xiàn)我么的拓撲排序:

1.Kahn算法

2.基于DFS的拓撲排序算法

首先我們先介紹第一個算法的思路:

Kahn的算法的思路其實就是我們之前那個手動展示的拓撲排序的實現(xiàn),我們先使用一個棧保存入度為0 的頂點,然后輸出棧頂元素并且將和棧頂元素有關的邊刪除,減少和棧頂元素有關的頂點的入度數(shù)量并且把入度減少到0的頂點也入棧。具體的代碼如下:

bool Graph_DG::topological_sort() {
    cout << "圖的拓撲序列為:" << endl;
    //棧s用于保存棧為空的頂點下標
    stack<int> s;
    int i;
    ArcNode * temp;
    //計算每個頂點的入度,保存在indgree數(shù)組中
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            ++this->indegree[temp->adjvex];
            temp = temp->next;
        }

    }

    //把入度為0的頂點入棧
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        if (!indegree[i]) {
            s.push(i); 
        }
    }
    //count用于計算輸出的頂點個數(shù)
    int count=0;
    while (!s.empty()) {//如果棧為空,則結束循環(huán)
        i = s.top();
        s.pop();//保存棧頂元素,并且棧頂元素出棧
        cout << this->arc[i].data<<" ";//輸出拓撲序列
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            if (!(--this->indegree[temp->adjvex])) {//如果入度減少到為0,則入棧
                s.push(temp->adjvex);
            }
            temp = temp->next;
        }
        ++count;
    }
    if (count == this->vexnum) {
        cout << endl;
        return true;
    } 
    cout << "此圖有環(huán),無拓撲序列" << endl;
    return false;//說明這個圖有環(huán)
}

現(xiàn)在,我們來介紹第二個算法的思路:
其實DFS就是深度優(yōu)先搜索,它每次都沿著一條路徑一直往下搜索,知道某個頂點沒有了出度時,就停止遞歸,往回走,所以我們就用DFS的這個思路,我們可以得到一個有向無環(huán)圖的拓撲序列,其實DFS很像Kahn算法的逆過程。具體的代碼實現(xiàn)如下:

bool Graph_DG::topological_sort_by_dfs() {
    stack<string> result;
    int i;
    bool * visit = new bool[this->vexnum];
    //初始化我們的visit數(shù)組
    memset(visit, 0, this->vexnum);
    cout << "基于DFS的拓撲排序為:" << endl;
    //開始執(zhí)行DFS算法
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        if (!visit[i]) {
            dfs(i, visit, result);
        }
    }
    //輸出拓撲序列,因為我們每次都是找到了出度為0的頂點加入棧中,
    //所以輸出時其實就要逆序輸出,這樣就是每次都是輸出入度為0的頂點
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        cout << result.top() << " ";
        result.pop();
    }
    cout << endl;
    return true;
}
void Graph_DG::dfs(int n, bool * & visit, stack<string> & result) {

        visit[n] = true;
        ArcNode * temp = this->arc[n].firstarc;
        while (temp) {
            if (!visit[temp->adjvex]) {
                dfs(temp->adjvex, visit,result);
            }
            temp = temp->next;
        }
        //由于加入頂點到集合中的時機是在dfs方法即將退出之時,
        //而dfs方法本身是個遞歸方法,
        //僅僅要當前頂點還存在邊指向其他不論什么頂點,
        //它就會遞歸調(diào)用dfs方法,而不會退出。
        //因此,退出dfs方法,意味著當前頂點沒有指向其他頂點的邊了
        //,即當前頂點是一條路徑上的最后一個頂點。
        //換句話說其實就是此時該頂點出度為0了
        result.push(this->arc[n].data);

}

兩種算法總結:

對于基于DFS的算法,增加結果集的條件是:頂點的出度為0。這個條件和Kahn算法中入度為0的頂點集合似乎有著異曲同工之妙,Kahn算法不須要檢測圖是否為DAG,假設圖為DAG,那么在入度為0的棧為空之后,圖中還存在沒有被移除的邊,這就說明了圖中存在環(huán)路。而基于DFS的算法須要首先確定圖為DAG,當然也可以做出適當調(diào)整,讓環(huán)路的檢測測和拓撲排序同一時候進行,畢竟環(huán)路檢測也可以在DFS的基礎上進行。

二者的復雜度均為O(V+E)。

五、完整的代碼和輸出展示

topological_sort.h文件的代碼

#pragma once
//#pragma once是一個比較常用的C/C++雜注,
//只要在頭文件的最開始加入這條雜注,
//就能夠保證頭文件只被編譯一次。

/*
拓撲排序必須是對有向圖的操作
算法實現(xiàn):
(1)Kahn算法
(2)DFS算法
采用鄰接表存儲圖
*/
#include<iostream>
#include<string>
#include<stack>
using namespace std;
//表結點
struct ArcNode {
    ArcNode * next; //下一個關聯(lián)的邊
    int adjvex;   //保存弧尾頂點在頂點表中的下標
};
struct Vnode {
    string data; //頂點名稱
    ArcNode * firstarc; //第一個依附在該頂點邊
};

class Graph_DG {
private:
    int vexnum; //圖的頂點數(shù)
    int edge;   //圖的邊數(shù)
    int * indegree; //每條邊的入度情況
    Vnode * arc; //鄰接表
public:
    Graph_DG(int, int);
    ~Graph_DG();
    //檢查輸入邊的頂點是否合法
    bool check_edge_value(int,int);
    //創(chuàng)建一個圖
    void createGraph();
    //打印鄰接表
    void print();
    //進行拓撲排序,Kahn算法
    bool topological_sort();
    //進行拓撲排序,DFS算法
    bool topological_sort_by_dfs();
    void dfs(int n,bool * & visit, stack<string> & result);
};

topological_sort.cpp文件代碼

#include"topological_sort.h"

Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) {
    this->vexnum = vexnum;
    this->edge = edge;
    this->arc = new Vnode[this->vexnum];
    this->indegree = new int[this->vexnum];
    for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        this->indegree[i] = 0;
        this->arc[i].firstarc = NULL;
        this->arc[i].data = "v" + to_string(i + 1);
    }
}
//釋放內(nèi)存空間
Graph_DG::~Graph_DG() {
    ArcNode * p, *q;
    for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        if (this->arc[i].firstarc) {
            p = this->arc[i].firstarc;
            while (p) {
                q = p->next;
                delete p;
                p = q;
            }
        }
    }
    delete [] this->arc;
    delete [] this->indegree;
}
//判斷我們每次輸入的的邊的信息是否合法
//頂點從1開始編號
bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end) {
    if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum) {
        return false;
    }
    return true;
}
void Graph_DG::createGraph() {
    int count = 0;
    int start, end;
    cout << "輸入每條起點和終點的頂點編號(從1開始編號)" << endl;
    while (count != this->edge) {
        cin >> start;
        cin >> end;
        //檢查邊是否合法
        while (!this->check_edge_value(start, end)) {
            cout << "輸入的頂點不合法,請重新輸入" << endl;
            cin >> start;
            cin >> end;
        }
        //聲明一個新的表結點
        ArcNode * temp = new ArcNode;
        temp->adjvex = end - 1;
        temp->next = NULL;
        //如果當前頂點的還沒有邊依附時,
        if (this->arc[start - 1].firstarc == NULL) {
            this->arc[start - 1].firstarc = temp;
        }
        else {
            ArcNode * now = this->arc[start - 1].firstarc;
            while(now->next) {
                now = now->next;
            }//找到該鏈表的最后一個結點
            now->next = temp;
        }
        ++count;
    }
}
void Graph_DG::print() {
    int count = 0;
    cout << "圖的鄰接矩陣為:" << endl;
    //遍歷鏈表,輸出鏈表的內(nèi)容
    while (count != this->vexnum) {
        //輸出鏈表的結點
        cout << this->arc[count].data<<" ";
        ArcNode * temp = this->arc[count].firstarc;
        while (temp) {
            cout<<"<"<< this->arc[count].data<<","<< this->arc[temp->adjvex].data<<"> ";
            temp = temp->next;
        }
        cout << "^" << endl;
        ++count;
    }
}

bool Graph_DG::topological_sort() {
    cout << "圖的拓撲序列為:" << endl;
    //棧s用于保存棧為空的頂點下標
    stack<int> s;
    int i;
    ArcNode * temp;
    //計算每個頂點的入度,保存在indgree數(shù)組中
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            ++this->indegree[temp->adjvex];
            temp = temp->next;
        }

    }

    //把入度為0的頂點入棧
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        if (!indegree[i]) {
            s.push(i); 
        }
    }
    //count用于計算輸出的頂點個數(shù)
    int count=0;
    while (!s.empty()) {//如果棧為空,則結束循環(huán)
        i = s.top();
        s.pop();//保存棧頂元素,并且棧頂元素出棧
        cout << this->arc[i].data<<" ";//輸出拓撲序列
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            if (!(--this->indegree[temp->adjvex])) {//如果入度減少到為0,則入棧
                s.push(temp->adjvex);
            }
            temp = temp->next;
        }
        ++count;
    }
    if (count == this->vexnum) {
        cout << endl;
        return true;
    } 
    cout << "此圖有環(huán),無拓撲序列" << endl;
    return false;//說明這個圖有環(huán)
}
bool Graph_DG::topological_sort_by_dfs() {
    stack<string> result;
    int i;
    bool * visit = new bool[this->vexnum];
    //初始化我們的visit數(shù)組
    memset(visit, 0, this->vexnum);
    cout << "基于DFS的拓撲排序為:" << endl;
    //開始執(zhí)行DFS算法
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        if (!visit[i]) {
            dfs(i, visit, result);
        }
    }
    //輸出拓撲序列,因為我們每次都是找到了出度為0的頂點加入棧中,
    //所以輸出時其實就要逆序輸出,這樣就是每次都是輸出入度為0的頂點
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        cout << result.top() << " ";
        result.pop();
    }
    cout << endl;
    return true;
}
void Graph_DG::dfs(int n, bool * & visit, stack<string> & result) {

        visit[n] = true;
        ArcNode * temp = this->arc[n].firstarc;
        while (temp) {
            if (!visit[temp->adjvex]) {
                dfs(temp->adjvex, visit,result);
            }
            temp = temp->next;
        }
        //由于加入頂點到集合中的時機是在dfs方法即將退出之時,
        //而dfs方法本身是個遞歸方法,
        //僅僅要當前頂點還存在邊指向其他不論什么頂點,
        //它就會遞歸調(diào)用dfs方法,而不會退出。
        //因此,退出dfs方法,意味著當前頂點沒有指向其他頂點的邊了
        //,即當前頂點是一條路徑上的最后一個頂點。
        //換句話說其實就是此時該頂點出度為0了
        result.push(this->arc[n].data);

}

main.cpp文件:

#include"topological_sort.h"

//檢驗輸入邊數(shù)和頂點數(shù)的值是否有效,可以自己推算為啥:
//頂點數(shù)和邊數(shù)的關系是:((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge
bool check(int Vexnum, int edge) {
    if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)
        return false;
    return true;
}
int main() {
    int vexnum; int edge;


    cout << "輸入圖的頂點個數(shù)和邊的條數(shù):" << endl;
    cin >> vexnum >> edge;
    while (!check(vexnum, edge)) {
        cout << "輸入的數(shù)值不合法,請重新輸入" << endl;
        cin >> vexnum >> edge;
    }
    Graph_DG graph(vexnum, edge);
    graph.createGraph();
    graph.print();
    graph.topological_sort();
    graph.topological_sort_by_dfs();
    system("pause");
    return 0;

}

輸入:

6 8

1 2

1 3

1 4

3 2

3 5

4 5

6 4

6 5

輸出:

這里寫圖片描述

輸入:

13 15

1 2

1 6

1 7

3 1

3 4

4 6

6 5

7 4

7 10

8 7

9 8

10 11

10 12

10 13

12 13

輸出:

這里寫圖片描述

以上就是詳解C++實現(xiàn)拓撲排序算法的詳細內(nèi)容,更多關于C++ 拓撲排序算法的資料請關注腳本之家其它相關文章!

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