Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)學習之二叉樹
一、背景知識:樹(Tree)
在之前的筆記中,我們介紹的鏈表、棧、隊列、數(shù)組和字符串都是以線性結(jié)構(gòu)來組織數(shù)據(jù)的。本篇筆記要介紹的樹采用的是樹狀結(jié)構(gòu),這是一種非線性的數(shù)據(jù)組織形式。
樹結(jié)構(gòu)由節(jié)點和邊構(gòu)成,且不存在環(huán)。我們曾在線性表型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中介紹過循環(huán)鏈表和循環(huán)隊列,這兩種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)使得存儲容器中的元素形成一個閉環(huán),具體可參看“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)學習筆記”系列的相關(guān)博文,鏈接貼在下面:
鏈表:http://www.dbjr.com.cn/article/215278.htm
隊列:http://www.dbjr.com.cn/article/211502.htm
樹狀結(jié)構(gòu)與線性結(jié)構(gòu)最重要的區(qū)別在于:樹只能有分叉,不能有閉環(huán)。如下圖所示:
樹結(jié)構(gòu)不允許有環(huán)其實是樹的層級性決定的。樹結(jié)構(gòu)中最頂端的結(jié)點是根節(jié)點, 根節(jié)點即整棵樹的頂級父節(jié)點。除了根節(jié)點只有子節(jié)點,最底層的節(jié)點只有父節(jié)點,其余各層的節(jié)點都是上層節(jié)點的子節(jié)點、下層節(jié)點的父節(jié)點。也就是說,樹中的數(shù)據(jù)只與其上下層的數(shù)據(jù)有關(guān),同層數(shù)據(jù)間不能有直接聯(lián)系,這也就是樹結(jié)構(gòu)不能有環(huán)的原因。
樹層級的多少往往被描述為樹的高度(height),由于我們是從上往下觀察樹結(jié)構(gòu)的,因此也被描述為樹的深度(depth)。上面圖示中兩顆樹的深度都是3.
二、何為二叉樹(Binray Tree)
2.1 二叉樹的概念與結(jié)構(gòu)
二叉樹顧名思義,即每個父節(jié)點最多只有兩個分叉的樹,這是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)領(lǐng)域使用頻率極高的一種樹結(jié)構(gòu),這與我們常常用二元對立的觀點認識世界的思維習慣有關(guān)。
二叉樹的結(jié)構(gòu)不僅具有層級性,還具有遞歸性,一個父節(jié)點連接左子節(jié)點和右子節(jié)點,而左右子節(jié)點又可以作為父節(jié)點再各自連接兩個子節(jié)點,以此類推。因此二叉樹是一種層次嵌套的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),除了根節(jié)點外,樹中任意一個父節(jié)點都能作為一棵子樹的根,位于上層父節(jié)點左側(cè)的子樹被稱為左子樹,位于右側(cè)的子樹被稱為右子樹。
二叉樹體現(xiàn)了人們用二元思維認識自然的方式。筆者的本行是語言學,語言學界主流的對句法結(jié)構(gòu)的分析方法就是類似于二叉樹的二分法。拿漢語的句法結(jié)構(gòu)來說,有主謂、述賓、定中、狀中、述補等基本的結(jié)構(gòu)類型。句法結(jié)構(gòu)具有層次嵌套和遞歸的特點,同時也有對語序的要求,即句法二叉樹中的左右節(jié)點的位置并不是任意的。這種分析方法語言學上被稱為層次分析法,如果我們用該方法分析句子“文程同學熱愛編程”,傳統(tǒng)圖示和句法樹圖示分別如下:
2.2 滿二叉樹與完全二叉樹
二叉樹中有兩個特殊的結(jié)構(gòu)類型:滿二叉樹和完全二叉樹。滿二叉樹的結(jié)構(gòu)特點是除了最后一層外,所有層級的節(jié)點都有兩個子節(jié)點;完全二叉樹的結(jié)構(gòu)特點是除了最后兩層外,所有層級的節(jié)點都有兩個子節(jié)點,倒數(shù)第二層的子節(jié)點(即最后一層節(jié)點)全部靠左排列。如下圖所示:
由此可見,滿二叉樹一定是完全二叉樹,完全二叉樹可滿可不滿。這兩種二叉樹體現(xiàn)了我們采用樹狀結(jié)構(gòu)存儲數(shù)據(jù)時,對于空間利用率的追求。比如我們設計一個深度為n的二叉樹,那么整個二叉樹能容納的最大節(jié)點數(shù)為2^n-1,滿二叉樹就是達到了最大節(jié)點數(shù),用足了二叉樹的容量。完全二叉樹除了n層沒有子節(jié)點,除n-1層外各層父節(jié)點都充分利用了自己擁有子節(jié)點的名額,也算是盡可能做到了對空間的充分利用。
為了更好地理解完全二叉樹的空間利用率,我們看一個非完全二叉樹的例子,如下圖所示:
上圖是一個深度為4的非完全二叉樹,前3層的父節(jié)點都預留了左右兩個子節(jié)點的位置,然而第二層的第2個結(jié)點只使用了右子節(jié)點的空間,浪費了左子節(jié)點的空間。如果二叉樹的深度很深,其中很多層級的父節(jié)點都存在浪費子節(jié)點“名額”的現(xiàn)象,那么會造成相當大的空間資源的浪費,二叉樹也失去了“二叉”的意義。但是完全二叉樹最多浪費倒數(shù)第二層父節(jié)點的子節(jié)點名額, 整體上能夠保證較高的空間利用率。
2.3 二叉樹的三種遍歷方式
二叉樹的形狀整體上構(gòu)成一個三角形,最小的二叉樹由一個位于中間的父節(jié)點和位于左右兩側(cè)的子節(jié)點構(gòu)成,這導致遍歷訪問一棵二叉樹的所有節(jié)點有三種順序:前序遍歷(Preorder Traversal , VLR)、中序遍歷(Inorder Traversal , LDR)和后序遍歷(Inorder Traversal , LRD)。
無論哪種遍歷方式,二叉樹都是從上到下、從左到右遍歷的,即從父節(jié)點層到子節(jié)點層、從左子樹到右子樹。2.1解釋了二叉樹的遞歸性,遍歷二叉樹時采用的也是遞歸(recursion)的方式。對于整棵樹或某一子樹,都是從根開始,先遍歷其左子樹,再遍歷其右子樹;分別遍歷左右子樹時,同樣是從根開始,從左向右遍歷;以此類推,直到遍歷到最后一個右子節(jié)點。
如果我們以打印節(jié)點數(shù)據(jù)的方式來表示對節(jié)點的訪問,那么前序、中序和后序的區(qū)別就在于打印節(jié)點的時機不同。前序遍歷的操作順序是打印節(jié)點在遍歷左子樹和遍歷右子樹之前,中序遍歷的操作順序是打印節(jié)點在遍歷左子樹和遍歷右子樹之間,后序遍歷的操作順序是打印節(jié)點在遍歷左子樹和遍歷右子樹之后。子樹遍歷的過程是遞歸實現(xiàn)的。
如果我們想遍歷2.1演示的“文程同學熱愛編程”的句法二叉樹,那么用三種遍歷方法得到的遍歷結(jié)果分別如下:
三、二叉樹及其遍歷的簡單實現(xiàn)(Java)
我們用Java語言實現(xiàn)“文程同學熱愛編程”這個句子對應的句法二叉樹,設計思路是:將同層級的父節(jié)點(二叉樹及其各子樹的根節(jié)點)存入數(shù)組中,數(shù)組中存入的是結(jié)點,包括數(shù)據(jù)和左右指針,左右指針分別指向位于下一層節(jié)點的左右子節(jié)點,如果沒有子節(jié)點則指針為空指針。
用數(shù)組的好處是,可以通過節(jié)點所在的索引建立上下層級父節(jié)點和子節(jié)點的指針聯(lián)系。假設父節(jié)點在它所在的層級數(shù)組中的索引為i,那么左子節(jié)點在它所在層級數(shù)組中的索引為(i+1)*2-2,右子節(jié)點的索引為(i+1)*2-1,即左子節(jié)點的索引+1。
遍歷默認從整棵二叉樹的根節(jié)點開始,通過方法的重寫實現(xiàn)默認參數(shù)的效果。
準備工作1:MyBinaryTree.java,創(chuàng)建一個二叉樹的類
package com.notes.data_structure6; import com.notes.data_structure6.NumberOfNodesException; public class MyBinaryTree { // 樹的根結(jié)點 private Node[] root; // 樹的深度(當前層級數(shù)) private int depth; // 將每一層所有的 結(jié)點 都存儲在數(shù)組中,結(jié)點數(shù)是 2的 層數(shù) 次冪 private Node[] currentLevel; public MyBinaryTree(String data) { Node[] rootArray = new Node[] {new Node(data)}; this.root = rootArray; this.currentLevel = rootArray; } // 定義一個結(jié)點類 private class Node{ private String data; // 數(shù)據(jù) private Node leftNext; // 左指針 private Node rightNext; // 右指針 // 構(gòu)造方法:Node實例化時傳入數(shù)據(jù) public Node(String data) { this.data = data; } } // 向樹中增加一層結(jié)點 public void add(String[] datas) throws NumberOfNodesException { // 層級數(shù)增加1 depth++; // 新增 層級 的最大結(jié)點數(shù) int nodeNum = numberOfNextNodes(); // 如果傳入的 數(shù)據(jù)數(shù) 與 當前層級 最大結(jié)點數(shù) 不符,拋出異常 if(datas.length != nodeNum) { throw new NumberOfNodesException("第"+depth+"層最大父節(jié)點數(shù)為"+nodeNum); } // 將傳入的 數(shù)據(jù)數(shù)組 轉(zhuǎn)換為 結(jié)點數(shù)組 Node[] newLevel = new Node[nodeNum]; // 當前 層級的 結(jié)點數(shù)量(新增層級的父) int nodeNum2 = (int) Math.pow(2, depth-1); // 讓每一個結(jié)點都與上層 父結(jié)點 建立連接 for(int i=0;i<nodeNum2;i++) { // 讓父結(jié)點 的左指針 指向 左子結(jié)點 int leftIndex = (i+1)*2-2; // 計算左子結(jié)點對應的新層級數(shù)組的索引 currentLevel[i].leftNext = new Node(datas[leftIndex]); // 建立指針指向 newLevel[leftIndex] = currentLevel[i].leftNext; // 將結(jié)點加入新層級結(jié)點數(shù)組 // 讓父結(jié)點 的右指針 指向 右子結(jié)點 int rightIndex = leftIndex+1; // 計算右子結(jié)點對應的新層級數(shù)組的索引 currentLevel[i].rightNext = new Node(datas[rightIndex]); // 建立指針指向 newLevel[rightIndex] = currentLevel[i].rightNext; // 將結(jié)點加入新層級結(jié)點數(shù)組 } // 讓新增層級的數(shù)組成為當前層級的數(shù)組 currentLevel = newLevel; } // 前序遍歷所有結(jié)點 public void preTraversal(Node node) { if(node==null) { return; } System.out.print(node.data+" "); preTraversal(node.leftNext); preTraversal(node.rightNext); } // 重寫 前序遍歷 方法,讓遍歷從 根結(jié)點 開始 public void preTraversal() { Node node = root[0]; if(node==null) { return; } // 遞歸時調(diào)用帶參數(shù)的方法 System.out.print(node.data+" "); preTraversal(node.leftNext); preTraversal(node.rightNext); } // 中序遍歷所有結(jié)點 public void midTraversal(Node node) { if(node==null) { return; } midTraversal(node.leftNext); System.out.print(node.data+" "); midTraversal(node.rightNext); } // 重寫中序遍歷 方法,讓遍歷從 根結(jié)點 開始 public void midTraversal() { Node node = root[0]; if(node==null) { return; } // 遞歸時調(diào)用帶參數(shù)的方法 midTraversal(node.leftNext); System.out.print(node.data+" "); midTraversal(node.rightNext); } // 后序遍歷所有結(jié)點 public void posTraversal(Node node) { if(node==null) { return; } posTraversal(node.leftNext); posTraversal(node.rightNext); System.out.print(node.data+" "); } // 重寫后序遍歷 方法,讓遍歷從 根結(jié)點 開始 public void posTraversal() { Node node = root[0]; if(node==null) { return; } // 遞歸時調(diào)用帶參數(shù)的方法 posTraversal(node.leftNext); posTraversal(node.rightNext); System.out.print(node.data+" "); } // 查看 新增層級 的最大結(jié)點數(shù) public int numberOfNextNodes() { return (int) Math.pow(2,depth); } // 查看 樹 的深度(層級數(shù)) public int getDepth() { return depth; } }
準備工作2:NumberOfNodesException.java,為add()方法創(chuàng)建一個自定義異常,如果傳入的數(shù)據(jù)數(shù)與當前層級最大結(jié)點數(shù)不符,則拋出該異常(如果二叉樹不滿,在數(shù)組的相應位置傳入null)。
package com.notes.data_structure6; public class NumberOfNodesException extends Exception{ public NumberOfNodesException(String message) { super(message); } }
句法二叉樹的實現(xiàn)及其遍歷:TreeDemo.java
package com.notes.data_structure6; public class TreeDemo { public static void main(String[] args) throws NumberOfNodesException { // 實例化二叉樹類,并且傳入根節(jié)點的數(shù)據(jù) MyBinaryTree tree = new MyBinaryTree("句子"); // 加入第一層節(jié)點的數(shù)據(jù) tree.add(new String[] {"主語","謂語"}); // 加入第二層節(jié)點的數(shù)據(jù) tree.add(new String[] {"定語","中心語","述語","賓語"}); // 前序遍歷 tree.preTraversal(); // 句子 主語 定語 中心語 謂語 述語 賓語 System.out.println(); // 中序遍歷 tree.midTraversal(); // 定語 主語 中心語 句子 述語 謂語 賓語 System.out.println(); // 后序遍歷 tree.posTraversal(); // 定語 中心語 主語 述語 賓語 謂語 句子 } }
到此這篇關(guān)于Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)學習之二叉樹的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Java二叉樹內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!
相關(guān)文章
將java普通項目打包成exe可執(zhí)行文件的步驟記錄
將JAVA代碼打包為exe文件,會讓程序運行更加方便,這篇文章主要給大家介紹了關(guān)于將java普通項目打包成exe可執(zhí)行文件的相關(guān)資料,需要的朋友可以參考下2021-07-07spring boot啟動時mybatis報循環(huán)依賴的錯誤(推薦)
今天小編抽時間給大家分享spring boot啟動時mybatis報循環(huán)依賴的錯誤,非常不錯,具有參考借鑒價值,需要的朋友參考下吧2017-12-12Springboot mybais配置多數(shù)據(jù)源過程解析
這篇文章主要介紹了Springboot+mybais配置多數(shù)據(jù)源過程解析,文中通過示例代碼介紹的非常詳細,對大家的學習或者工作具有一定的參考學習價值,需要的朋友可以參考下2020-03-03IDEA 集成 Docker 插件一鍵部署 SpringBoot 應用
通過本文介紹的方法,我們期望能幫助開發(fā)者更輕松地在IDEA中實現(xiàn)Spring Boot應用的Docker化部署,為現(xiàn)代軟件開發(fā)提供更便捷的解決方案,感興趣的朋友一起看看吧2023-11-11SpringBoot無法解析parameter參數(shù)問題的解決方法
使用最新版的 Springboot 3.2.1(我使用3.2.0)搭建開發(fā)環(huán)境進行開發(fā),調(diào)用接口時出現(xiàn)奇怪的錯,本文小編給大家介紹了SpringBoot無法解析parameter參數(shù)問題的原因及解決方法,需要的朋友可以參考下2024-04-04