C/C++經(jīng)典算法之約瑟夫問(wèn)題詳解
什么是約瑟夫問(wèn)題?
約瑟夫問(wèn)題:n個(gè)人圍成一圈,初始編號(hào)從1~n排列,從約定編號(hào)為x的人開始報(bào)數(shù),數(shù)到第m個(gè)人出圈,接著又從1開始報(bào)數(shù),報(bào)到第m個(gè)數(shù)的人又退出圈,以此類推,最后圈內(nèi)只剩下一個(gè)人,這個(gè)人就是贏家,求出贏家的編號(hào)。
是不是有點(diǎn)點(diǎn)復(fù)雜,其實(shí)該問(wèn)題歸結(jié)為模擬類型的算法題,根據(jù)題目要求模擬即可。
我說(shuō),一行代碼解決約瑟夫問(wèn)題!
???我去
別著急,我們一步一步學(xué)習(xí)
方法一:數(shù)組
在第一次遇到這個(gè)題的時(shí)候,我是用數(shù)組做的,我猜絕大多數(shù)人也都知道怎么做。方法是這樣的:
用一個(gè)數(shù)組來(lái)存放 1,2,3 ... n 這 n 個(gè)編號(hào),如圖(這里我們假設(shè)n = 6, m = 3)
然后不停著遍歷數(shù)組,對(duì)于被選中的編號(hào),我們就做一個(gè)標(biāo)記,例如編號(hào) arr[2] = 3 被選中了,那么我們可以做一個(gè)標(biāo)記,例如讓 arr[2] = -1,來(lái)表示 arr[2] 存放的編號(hào)已經(jīng)出局的了。
然后就按照這種方法,不停著遍歷數(shù)組,不停著做標(biāo)記,直到數(shù)組中只有一個(gè)元素是非 -1 的,這樣,剩下的那個(gè)元素就是我們要找的元素了。我演示一下吧:
這種方法簡(jiǎn)單嗎?思路簡(jiǎn)單,但是編碼卻沒那么簡(jiǎn)單,臨界條件特別多,每次遍歷到數(shù)組最后一個(gè)元素的時(shí)候,還得重新設(shè)置下標(biāo)為 0,并且遍歷的時(shí)候還得判斷該元素時(shí)候是否是 -1。用這種數(shù)組的方式做,千萬(wàn)不要覺得很簡(jiǎn)單,編碼這個(gè)過(guò)程還是挺考驗(yàn)人的。
這種做法的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n * m), 空間復(fù)雜度是 O(n);
下面給出數(shù)組方法的參考代碼:
#include<algorithm> #include<iostream> using namespace std; int main(){ int a[1001]={0}; //初始化化數(shù)組作為環(huán) int n,m;//n代表總的人數(shù),m代表報(bào)數(shù)到幾退出 cin>>n>>m; int count=0;//記錄退出的個(gè)數(shù) int k=-1;//這里假定開始為第一個(gè)人,下標(biāo)為0,編號(hào)為1,如需從編號(hào)x開始,則k=x-2 while(count<n-1){ //總共需要退出n-1個(gè)人 int i=0;//記錄當(dāng)前報(bào)數(shù)編號(hào) while(i<m){ k=(k+1)%n; //循環(huán)處理下標(biāo) if(a[k]==0){ i++; if(i==m){ a[k]=-1; count++; } } } } for(int i=0;i<n;i++){ if(a[i]==0){ printf("%d\n",i+1); break; } } return 0; }
方法二:環(huán)形鏈表
學(xué)過(guò)鏈表的人,估計(jì)都會(huì)用鏈表來(lái)處理約瑟夫環(huán)問(wèn)題,用鏈表來(lái)處理其實(shí)和上面處理的思路差不多,只是用鏈表來(lái)處理的時(shí)候,對(duì)于被選中的編號(hào),不再是做標(biāo)記,而是直接移除,因?yàn)閺逆湵硪瞥粋€(gè)元素的時(shí)間復(fù)雜度很低,為 O(1)。當(dāng)然,上面數(shù)組的方法你也可以采用移除的方式,不過(guò)數(shù)組移除的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n)。所以采用鏈表的解決方法如下:
1、先創(chuàng)建一個(gè)環(huán)形鏈表來(lái)存放元素:
2、然后一邊遍歷鏈表一遍刪除,直到鏈表只剩下一個(gè)節(jié)點(diǎn),我這里就不全部演示了
感興趣的友友可以自己實(shí)現(xiàn)以下代碼,這里就不放了
下面我們來(lái)看看,是如何一行代碼實(shí)現(xiàn)約瑟夫問(wèn)題!
方法三:遞歸
其實(shí)這道題還可以用遞歸來(lái)解決,遞歸是思路是每次我們刪除了某一個(gè)人之后,我們就對(duì)這些人重新編號(hào),然后我們的難點(diǎn)就是找出刪除前和刪除后編號(hào)的映射關(guān)系。
我們定義遞歸函數(shù) f(n,m) 的返回結(jié)果是存活士兵的編號(hào),顯然當(dāng) n = 1 時(shí),f(n, m) = 1。假如我們能夠找出 f(n,m) 和 f(n-1,m) 之間的關(guān)系的話,我們就可以用遞歸的方式來(lái)解決了。我們假設(shè)人員數(shù)為 n, 報(bào)數(shù)到 m 的人就自殺。則剛開始的編號(hào)為
… 1 ... m - 2
m - 1
m
m + 1
m + 2 ... n …
進(jìn)行了一次刪除之后,刪除了編號(hào)為 m 的節(jié)點(diǎn)。刪除之后,就只剩下 n - 1 個(gè)節(jié)點(diǎn)了,刪除前和刪除之后的編號(hào)轉(zhuǎn)換關(guān)系為:
刪除前 --- 刪除后
… --- …
m - 2 --- n - 2
m - 1 --- n - 1
m ---- 無(wú)(因?yàn)榫幪?hào)被刪除了)
m + 1 --- 1(因?yàn)橄麓尉蛷倪@里報(bào)數(shù)了)
m + 2 ---- 2
… ---- …
新的環(huán)中只有 n - 1 個(gè)節(jié)點(diǎn)。且刪除前編號(hào)為 m + 1, m + 2, m + 3 的節(jié)點(diǎn)成了刪除后編號(hào)為 1, 2, 3 的節(jié)點(diǎn)。
假設(shè) old 為刪除之前的節(jié)點(diǎn)編號(hào), new 為刪除了一個(gè)節(jié)點(diǎn)之后的編號(hào),則 old 與 new 之間的關(guān)系為 old = (new + m - 1) % n + 1。
注:有些人可能會(huì)疑惑為什么不是 old = (new + m ) % n 呢?主要是因?yàn)榫幪?hào)是從 1 開始的,而不是從 0 開始的。如果 new + m == n的話,會(huì)導(dǎo)致最后的計(jì)算結(jié)果為 old = 0。所以 old = (new + m - 1) % n + 1. 這樣,我們就得出 f(n, m) 與 f(n - 1, m)之間的關(guān)系了,而 f(1, m) = 1.所以我們可以采用遞歸的方式來(lái)做。
代碼如下:
int f(int n, int m){ return n == 1 ? n : (f(n - 1, m) + m - 1) % n + 1; }
臥槽,以后有人讓你手寫約瑟夫問(wèn)題,你就扔這一行代碼給它。
總結(jié)
到此這篇關(guān)于C/C++經(jīng)典算法之約瑟夫問(wèn)題的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C/C++約瑟夫問(wèn)題內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!
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