什么是約瑟夫問題？ 

約瑟夫問題：n個(gè)人圍成一圈，初始編號(hào)從1~n排列，從約定編號(hào)為x的人開始報(bào)數(shù)，數(shù)到第m個(gè)人出圈，接著又從1開始報(bào)數(shù)，報(bào)到第m個(gè)數(shù)的人又退出圈，以此類推，最后圈內(nèi)只剩下一個(gè)人，這個(gè)人就是贏家，求出贏家的編號(hào)。

是不是有點(diǎn)點(diǎn)復(fù)雜，其實(shí)該問題歸結(jié)為模擬類型的算法題，根據(jù)題目要求模擬即可。

我說，一行代碼解決約瑟夫問題！

？？？我去

別著急，我們一步一步學(xué)習(xí)

方法一：數(shù)組

在第一次遇到這個(gè)題的時(shí)候，我是用數(shù)組做的，我猜絕大多數(shù)人也都知道怎么做。方法是這樣的：

用一個(gè)數(shù)組來存放 1，2，3 ... n 這 n 個(gè)編號(hào)，如圖（這里我們假設(shè)n = 6, m = 3）

 然后不停著遍歷數(shù)組，對(duì)于被選中的編號(hào)，我們就做一個(gè)標(biāo)記，例如編號(hào) arr[2] = 3 被選中了，那么我們可以做一個(gè)標(biāo)記，例如讓 arr[2] = -1，來表示 arr[2] 存放的編號(hào)已經(jīng)出局的了。

然后就按照這種方法，不停著遍歷數(shù)組，不停著做標(biāo)記，直到數(shù)組中只有一個(gè)元素是非 -1 的，這樣，剩下的那個(gè)元素就是我們要找的元素了。我演示一下吧：

這種方法簡單嗎？思路簡單，但是編碼卻沒那么簡單，臨界條件特別多，每次遍歷到數(shù)組最后一個(gè)元素的時(shí)候，還得重新設(shè)置下標(biāo)為 0，并且遍歷的時(shí)候還得判斷該元素時(shí)候是否是 -1。用這種數(shù)組的方式做，千萬不要覺得很簡單，編碼這個(gè)過程還是挺考驗(yàn)人的。

這種做法的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n * m), 空間復(fù)雜度是 O(n);

下面給出數(shù)組方法的參考代碼：

#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	int a[1001]={0}; //初始化化數(shù)組作為環(huán)
	int n,m;//n代表總的人數(shù)，m代表報(bào)數(shù)到幾退出
	cin>>n>>m;
	int count=0;//記錄退出的個(gè)數(shù)
	int k=-1;//這里假定開始為第一個(gè)人，下標(biāo)為0，編號(hào)為1，如需從編號(hào)x開始，則k=x-2
	while(count<n-1){  //總共需要退出n-1個(gè)人
		int i=0;//記錄當(dāng)前報(bào)數(shù)編號(hào)
		while(i<m){
			k=(k+1)%n; //循環(huán)處理下標(biāo)
			if(a[k]==0){
				i++;
				if(i==m){
					a[k]=-1;
					count++;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(a[i]==0){
			printf("%d\n",i+1);
			break;
		}
	}
	return 0;
}

方法二：環(huán)形鏈表

學(xué)過鏈表的人，估計(jì)都會(huì)用鏈表來處理約瑟夫環(huán)問題，用鏈表來處理其實(shí)和上面處理的思路差不多，只是用鏈表來處理的時(shí)候，對(duì)于被選中的編號(hào)，不再是做標(biāo)記，而是直接移除，因?yàn)閺逆湵硪瞥粋€(gè)元素的時(shí)間復(fù)雜度很低，為 O(1)。當(dāng)然，上面數(shù)組的方法你也可以采用移除的方式，不過數(shù)組移除的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n)。所以采用鏈表的解決方法如下：

1、先創(chuàng)建一個(gè)環(huán)形鏈表來存放元素：

2、然后一邊遍歷鏈表一遍刪除，直到鏈表只剩下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，我這里就不全部演示了

感興趣的友友可以自己實(shí)現(xiàn)以下代碼，這里就不放了

下面我們來看看，是如何一行代碼實(shí)現(xiàn)約瑟夫問題！

方法三：遞歸

其實(shí)這道題還可以用遞歸來解決，遞歸是思路是每次我們刪除了某一個(gè)人之后，我們就對(duì)這些人重新編號(hào)，然后我們的難點(diǎn)就是找出刪除前和刪除后編號(hào)的映射關(guān)系。

我們定義遞歸函數(shù) f(n，m) 的返回結(jié)果是存活士兵的編號(hào)，顯然當(dāng) n = 1 時(shí)，f(n, m) = 1。假如我們能夠找出 f(n，m) 和 f(n-1，m) 之間的關(guān)系的話，我們就可以用遞歸的方式來解決了。我們假設(shè)人員數(shù)為 n, 報(bào)數(shù)到 m 的人就自殺。則剛開始的編號(hào)為

… 1 ... m - 2

m - 1

m

m + 1

m + 2 ... n …

進(jìn)行了一次刪除之后，刪除了編號(hào)為 m 的節(jié)點(diǎn)。刪除之后，就只剩下 n - 1 個(gè)節(jié)點(diǎn)了，刪除前和刪除之后的編號(hào)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

刪除前 --- 刪除后

… --- …

m - 2 --- n - 2

m - 1 --- n - 1

m ---- 無(因?yàn)榫幪?hào)被刪除了)

m + 1 --- 1(因?yàn)橄麓尉蛷倪@里報(bào)數(shù)了)

m + 2 ---- 2

… ---- …

新的環(huán)中只有 n - 1 個(gè)節(jié)點(diǎn)。且刪除前編號(hào)為 m + 1, m + 2, m + 3 的節(jié)點(diǎn)成了刪除后編號(hào)為 1， 2， 3 的節(jié)點(diǎn)。

假設(shè) old 為刪除之前的節(jié)點(diǎn)編號(hào)， new 為刪除了一個(gè)節(jié)點(diǎn)之后的編號(hào)，則 old 與 new 之間的關(guān)系為 old = (new + m - 1) % n + 1。

 注：有些人可能會(huì)疑惑為什么不是 old = (new + m ) % n 呢？主要是因?yàn)榫幪?hào)是從 1 開始的，而不是從 0 開始的。如果 new + m == n的話，會(huì)導(dǎo)致最后的計(jì)算結(jié)果為 old = 0。所以 old = (new + m - 1) % n + 1. 這樣，我們就得出 f(n, m) 與 f(n - 1, m)之間的關(guān)系了，而 f(1, m) = 1.所以我們可以采用遞歸的方式來做。

 代碼如下：

int f(int n, int m){
    return n == 1 ? n : (f(n - 1, m) + m - 1) % n + 1;
}

臥槽，以后有人讓你手寫約瑟夫問題，你就扔這一行代碼給它。 

總結(jié)

到此這篇關(guān)于C/C++經(jīng)典算法之約瑟夫問題的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C/C++約瑟夫問題內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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