計(jì)算實(shí)例

例 6.9 某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產(chǎn)品市場(chǎng)，有效地管理庫(kù)存，公司董事會(huì)要求銷售部門根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，找出公司生產(chǎn)的牙膏銷售量與銷售價(jià)格，廣告投入等之間的關(guān)系，從而預(yù)測(cè)出在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下銷售量。為此，銷售部門的研究人員收集了過(guò)去30個(gè)銷售周期（每個(gè)銷售周期為4周）公司生產(chǎn)的牙膏的銷售量、銷售價(jià)格、投入的廣告費(fèi)用，以及周期其他廠家生產(chǎn)同類牙膏的市場(chǎng)平均銷售價(jià)格，如表6.4所示。

試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析牙膏銷售量與其他因素的關(guān)系，為制訂價(jià)格策略和廣告投入策略提供數(shù)量依據(jù)。

分析

由于牙膏是生活的必需品，對(duì)于大多數(shù)顧客來(lái)說(shuō)，在購(gòu)買同類牙膏時(shí)，更多的會(huì)關(guān)心不同品牌之間的價(jià)格差，而不是它們的價(jià)格本身。因此，在研究各個(gè)因素對(duì)銷售量的影響時(shí)，用價(jià)格差代替公司銷售價(jià)格和其他廠家平均價(jià)格更為合適。

模型的建立與求解

記牙膏銷售量為Y，價(jià)格差為X1，公司的廣告費(fèi)為X2，假設(shè)基本模型為線性模型:

輸入數(shù)據(jù)，調(diào)用R軟件中的lm（）函數(shù)求解，并用summary（）顯示計(jì)算結(jié)果（程序名：exam0609.R）

計(jì)算結(jié)果通過(guò)線性回歸系數(shù)檢驗(yàn)和回歸方程檢驗(yàn)，由此得到銷售量與價(jià)格差與廣告費(fèi)之間的關(guān)系為：

模型的進(jìn)一步分析

為進(jìn)一步分析回歸模型，我們畫出y與x1和y與x2散點(diǎn)圖。從散點(diǎn)圖上可以看出，對(duì)于y與x1，用直線擬合較好。而對(duì)于y與x2，則用二次曲線擬合較好，如下圖：

繪制x1與y的散點(diǎn)圖和回歸直線

繪制x2與y的散點(diǎn)圖和回歸曲線

其中 I(X2^2)，表示模型中X2的平方項(xiàng)，及X22，從上圖中，將銷售量模型改為：

似乎更合理，我們做相應(yīng)的回歸分析：

此時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，模型殘差的標(biāo)準(zhǔn)差Residual standard error有所下降，相關(guān)系數(shù)的平方Multiple R-squared有所上升，這說(shuō)明模型修正的是合理的。但同時(shí)也出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題，就是對(duì)于β2的P-值>0.05。為進(jìn)一步分析，做β的區(qū)間估計(jì)。

如上錯(cuò)誤出現(xiàn)？？？？！?。。≈苯右媒Y(jié)果如下：

β2的區(qū)間估計(jì)為[ –7.49886317, 0.1076898 ]，它包含了0，也就是說(shuō)，β2的值可能為0. 因此，去掉X2的一次項(xiàng)，在進(jìn)行分析：

此模型雖然通過(guò)了F檢驗(yàn)和T檢驗(yàn)，但與上一模型對(duì)比來(lái)看，Residual standard error上升，Multiple R-squared下降。這又是此模型的不足之處。

在做進(jìn)一步的修正，考慮X1和X2交互作用，及模型為：

模型通過(guò)T檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)，并且Residual standard error減少，Multiple R-squared增加。因此，最終模型選為：

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