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C 語言基礎實現(xiàn)青蛙跳臺階和漢諾塔問題

 更新時間:2021年09月14日 17:25:23   作者:吞吞吐吐大魔王  
這篇文章我們九里講講C 語言基礎實現(xiàn)青蛙跳臺階和漢諾塔問題,感興趣的小伙伴可以參考下面文章的具體內容

一、青蛙跳臺階

題目

一只青蛙一次可以跳上1級臺階,也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法

思路

遇見題目我們可以在紙上先動手畫畫,把最簡單的幾種方式列出來,作比較,找規(guī)律。


分析

按照上面表格可以從跳法次數(shù),過程,或者兩者結合找規(guī)律

1. 從跳法次數(shù)分析

  • 觀察表格,可以知道從n>=3時,第n個數(shù)就是前兩個數(shù)的和(與斐波那契數(shù)列一樣)
  • 我們自己推論,當臺階數(shù)為n時,設跳法有f(n)次,如果青蛙先跳1階,則剩下的臺階數(shù)為n-1,即剩余跳法有f(n-1)次;如果青蛙先跳2階,則剩下的臺階數(shù)為n-2,即剩余跳法有f(n-2)次。
  • 故跳法次數(shù)f(n)=f(n-1)+f(n-2),因為等號右邊有兩個值,故當n=1,n=2時為最后的特殊限制條件
  • 下面代碼為遞歸求法,如果想用非遞歸,可以將遞歸通項改成循環(huán)

代碼1(遞歸)

#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
 if (n == 1)
  return 1;
 if (n == 2)
  return 2;
 return jump(n - 1) + jump(n - 2);
}
int main()
{
 int n;
 scanf("%d", &n);
 int ret = jump(n);
 printf("%d", ret);
 return 0;
}

2. 從過程分析

  • 觀察表格,可以知道,跳n階臺階,跳兩階臺階次數(shù)可以為0到n/2次,而每一次跳兩階臺階的順序也是不定的??梢酝ㄟ^計數(shù)原理的組合數(shù)C(n,m),表示從n個數(shù)中選m個數(shù)排列。n表示每次需要跳的次數(shù),m表示一次跳兩階的次數(shù)
  • 組合數(shù)C(n,m),可以由n!/(m!*(n-m)!)求得
  • 下面代碼為非遞歸求法,如果想要寫成遞歸,可以根據(jù)循環(huán)修改

代碼2(非遞歸)

#include <stdio.h>
int fac(int m)
{
 int i = 0;
 int count = 1;
 for (i = 1; i <= m; i++)
 {
  count *= i;
 }
 return count;
}
int jump(int n)
{
 int i = 0;      //i為跳兩階臺階的次數(shù)
 int sum = 0;     //sum為計算跳法
 for (i = 0; i <= n / 2; i++)
 {
  int a = 0;
  a = n - i * 2 + i;   //a為跳到n階臺階跳的次數(shù) 
  sum += fac(a) / (fac(i)*fac(a - i));
 }
 return sum;
}
int main()
{
 int n;
 scanf("%d", &n);
 int ret = jump(n);
 printf("%d", ret);
 return 0;
}

二、青蛙跳臺階變式1

題目

一只青蛙一次可以跳上1級臺階,也可以跳上2級臺階…也可以跳n級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法

分析

  • 根據(jù)原題推論,當臺階數(shù)為n時,設跳法有f(n)次,如果青蛙先跳1階,則剩下的臺階數(shù)為n-1,即剩余跳法有f(n-1)次;如果青蛙先跳2階,則剩下的臺階數(shù)為n-2,即剩余跳法有f(n-2)次。
  • 那么當青蛙跳3階臺階,則剩下的臺階數(shù)為n-3,即剩余跳法有f(n-3)次…當青蛙跳n階臺階,則剩下的臺階數(shù)為n-n,即剩余跳法有f(n-n)次
  • 故跳法次數(shù)f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)
  • 由推論可得f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n),將其代入上面式子
  • 故跳法次數(shù)為f(n)=2*f(n-1),因為等號右邊只有一個值,故n=1為最后的特殊限制條件

代碼3(遞歸)

#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
 if (n == 1)
  return 1;
 return 2*jump(n - 1);
}
int main()
{
 int n;
 scanf("%d", &n);
 int ret = jump(n);
 printf("%d", ret);
 return 0;
}

三、青蛙跳臺階變式2

題目

一只青蛙一次可以跳上1級臺階,也可以跳上2級臺階…也可以跳m級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法(m<=n)

分析

  • 根據(jù)變式1推論得f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)
  • 而這里最多一次只能跳m階,故f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-m)
  • 由推論得f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)…+f(n-m)+f(n-m-1),代入上面式子
  • 故跳法次數(shù)為f(n)=2*f(n-1)-f(n-m-1)
  • 因為通過遞歸n的值在減少,當n<m時,其實最多就只能跳n階,與變式1就是一樣的問題了

代碼4(遞歸)

#include <stdio.h>
int jump(int n,int m)
{
 if (n > m)
  return 2 * jump(n - 1, m) - jump(n - 1 - m, m);
 else
 {
  if (n == 1)
   return 1;
  return 2 * jump(n - 1, n);
 }
}
int main()
{
 int n, m;
 scanf("%d%d", &n, &m);
 int ret = jump(n,m);
 printf("%d", ret);
 return 0;
}

四、漢諾塔問題(求步數(shù))

題目

有A,B,C三個柱子,A柱子上從上到下,從小到大排列著n個圓盤?,F(xiàn)要求將A柱子上的n個圓盤全部移動到C柱子上,依然按照從上到下,從小到大的順序排列。且對移動過程要求如下:

a)一次只能移動一個盤子。

b)移動過程中大盤子不允許出現(xiàn)在小盤子上方。

問:總共需要移動的步數(shù)是多少?

思路

因為求的是步數(shù),我們可以通過找前面幾組數(shù)據(jù),觀察是否有什么規(guī)律

分析

  • 通過表格觀察,可以知道盤子數(shù)為n時,步數(shù)為20+21+…+2n-1,即2n-1
  • 我們可以通過下面這張圖片來推論:

  • 假設盤子數(shù)量為n,通過化繁為簡思想,我們可以把盤子分成兩個部分。上面n-1個盤子,和最下面一個盤子。移動步驟如下:
  1. 將最上面的n-1個盤子移動到B柱上
  2. 將最下面的盤子移動到C柱上
  3. 再將B柱上的n-1個盤子移動到C柱上
  • 問題轉化成如何移動最上面n-1個盤子。按照上面的思路解決n-1個盤子移動的問題。
  • 假設移動n個盤子需要的步數(shù)為f(n),則移動n-1個盤子需要f(n-1)步。
  • 故移動步數(shù)為f(n)=f(n-1)+1+f(n-1),即f(n)=2*f(n-1)+1
  • 通過等比數(shù)列變形又可以得到f(n)=2n-1

代碼5(非遞歸)

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
 int n;
 scanf("%d", &n);
 int count =0;
    count=(int)pow(2,n)-1;
 printf("%d", count);
 return 0;
}

代碼6(遞歸)

#include <stdio.h>
int tower(int n)
{
 if (n == 1)
  return 1;
 else
  return 2 * tower(n - 1) + 1;
}
int main()
{
 int n;
 scanf("%d", &n);
 int ret=tower(n);
 printf("%d", ret);
 return 0;
}

五、漢諾塔問題(求移動過程)

題目

有A,B,C三個柱子,A柱子上從上到下,從小到大排列著n個圓盤?,F(xiàn)要求將A柱子上的n個圓盤全部移動到C柱子上,依然按照從上到下,從小到大的順序排列。且對移動過程要求如下:

a)一次只能移動一個盤子。

b)移動過程中大盤子不允許出現(xiàn)在小盤子上方。

問:打印移動的方案 (例如, 移動A柱最上面的圓盤到C柱, 則輸出"A -> C")

思路

因為求的是移動方案,所以我們可以將前幾組數(shù)據(jù)列出來,結合遞歸化簡為繁的思想找共性和非共性


分析

  • 通過觀察得到:除了n=1,n>1時,都是先將A柱上面n-1個盤子拿到B柱(粗字體為其過程),再將A柱最下面盤子拿到C柱。此時A柱變成輔助柱,再將B柱上的盤子放到C柱
  • 故將A柱最下面盤子移到C柱為中間過程
  • 上一步為將初始柱(A柱)上面n-1個盤子借助輔助柱(C柱)移到目標柱(B柱)【其實可以這里看作單獨一個n-1的漢諾塔,將A柱上的盤子移動到B柱】
  • 下一步為將初始柱(B柱)上面n-1個盤子借助輔助柱(A柱)移到目標柱(C柱)【其實可以這里看作單獨一個n-1的漢諾塔,將B柱上的盤子移動到C柱】
  • 而上一步,中間過程,下一布就是遞歸的核心思想
  • 而當n=1時,盤子數(shù)只有一個,我們將其直接放到目標柱即可(其為最終的限制條件)
  • 初始柱,輔助柱,目標柱,其實就是把該步驟的移動過程當作一個單獨的漢諾塔問題,需要移動盤子現(xiàn)在所在的位置為初始柱,要將其放到的位置就是目標柱

代碼7(遞歸)

#include <stdio.h>
void hanio(int n, char x, char y, char z)
{
 if (n == 1)
  printf("%c->%c\n",x,z);  //當盤子只剩一個時,直接打印初始柱移動到目標柱的過程
 else
 {
  hanio(n - 1, x, z, y);  //將n-1個盤子從起始柱放到目標柱(第一次A->B,第二次B->A,后面往復)
        
  printf("%c->%c\n", x, z); //打印初始柱移動到目標柱的過程
        
  hanio(n - 1, y, x, z);  //將n-1個盤子從起始柱放到目標柱(第一次B->C,第二次C->B,后面往復)
 }
}
int main()
{
 int n;
 scanf("%d", &n);
 hanio(n,'A','B','C');
 return 0;
}

結語:

到此這篇關于C 語言基礎實現(xiàn)青蛙跳臺階和漢諾塔問題的文章就介紹到這了,更多相關C 語言實現(xiàn)青蛙跳臺階和漢諾塔內容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持腳本之家!

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