1 狀態(tài)變化

若將數(shù)學(xué)整體劃分為三類，則可概括為代數(shù)、幾何與分析。對(duì)于前兩者，我們很早就建立了直觀的概念，對(duì)于空間結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)的研究，即為幾何；以數(shù)為核心的研究領(lǐng)域，即為代數(shù)。

而分析則具備更多的非數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，所以初學(xué)者往往難以看透數(shù)學(xué)分析所指向的數(shù)學(xué)本質(zhì)，如果望文生義，會(huì)更傾向于將“分析”理解為一門(mén)數(shù)學(xué)技巧，而非數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

我們最先接觸數(shù)學(xué)分析時(shí)，是將其等同為微積分的?？梢哉J(rèn)為微積分是數(shù)學(xué)分析最基本的知識(shí)對(duì)象，而微積分的理論基礎(chǔ)建立在極限之上。所以，我們可以將極限作為分析學(xué)的根基，為此，需要去理解極限的本質(zhì)，而極限本身則是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，例如下面這個(gè)重要極限

畫(huà)圖方法有很多，在此使用R語(yǔ)言，在RStudio中畫(huà)出，之所以用RStudio，是因?yàn)槠浣缑鎸?duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)更友好。輸入

> x = c(1:100)				#定義x為1到100的數(shù)組
> y = x*sin(1/x)
> plot(x,y,type='l',xlab='x',ylab='y=x·sin(1/x)')	#畫(huà)圖

得到

可以非常清晰地看到，當(dāng)x逐漸變大的時(shí)候，y是趨于1的。這個(gè)趨勢(shì)可以讓我們更加容易理解：極限是一種動(dòng)態(tài)過(guò)程；同時(shí)有助于形成對(duì)分析學(xué)的更加直觀的印象——分析是建立在狀態(tài)變化上的一種動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)。

一旦建立了這種動(dòng)態(tài)的思維，就會(huì)發(fā)現(xiàn)原本安定本分的數(shù)學(xué)世界也發(fā)生了微妙的變化，例如，我們又將如何理解1這個(gè)整數(shù)。

例如無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.999...=1這個(gè)反直覺(jué)的等式是否嚴(yán)格。在初等的觀點(diǎn)看來(lái)，可以很容易得到 10 × 0.999... = 9.999... → ( 10 − 1 ) ∗ 0.999... = 9 → 0.999... = 1 。

進(jìn)而敏銳地發(fā)現(xiàn)，若用一種不厭其煩的方式去求解分式1 \1，會(huì)更加自然地得到0.999...

但無(wú)論如何，0.999...=1是反直覺(jué)的，反來(lái)自于初等數(shù)學(xué)的直覺(jué)。換句話說(shuō)，初等數(shù)學(xué)的直覺(jué)存在矛盾，我們需要一個(gè)更加嚴(yán)格的有關(guān)極限的定義和表示，尤其需要建立一種可以稱之為相等的映射關(guān)系。

2 極限語(yǔ)言

初學(xué)數(shù)學(xué)分析的時(shí)候，很多人包括我在內(nèi)，都對(duì) ε − N深惡痛絕，更妙的是，不理解這種表達(dá)方式，對(duì)做題似乎影響不大。大部分人通過(guò)加深對(duì)上面的那三個(gè)約定（以及更多約定）的記憶來(lái)完成解題，從而避免了加深對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解。

其實(shí)這個(gè)語(yǔ)句并不難理解，當(dāng)我們最開(kāi)始接觸無(wú)窮大這個(gè)概念的時(shí)候，是在描述自然數(shù)的個(gè)數(shù)。那時(shí)我們常說(shuō)的可能是，無(wú)論你舉出一個(gè)多么大的自然數(shù)，我都能舉出一個(gè)更大的數(shù)，所以自然數(shù)是無(wú)窮的。

> x = c(10:100)
> y = 1-x*sin(1/x)
> > plot(x,y,type='l',xlab='x',ylab='y=1-x·sin(1/x)')

其圖像為

3 序列與函數(shù)

若從映射的角度去考察序列與函數(shù)，則二者最大的區(qū)別是定義域。序列是定義域?yàn)檎麛?shù)的特殊函數(shù)。相比之下，微積分中大多名之為函數(shù)的映射，都定義在實(shí)數(shù)域上。從而在函數(shù)的定義域中，隨便抽選出一個(gè)區(qū)間，其元素個(gè)數(shù)都是無(wú)窮多的。即對(duì)于區(qū)間 [ a , b ]而言，只要 a ≠ b ，則區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)就是無(wú)窮多個(gè)。

好在我們有了極限的概念，極限在 ε − N意義上重新定義了相等，從而意味著每一個(gè)實(shí)數(shù)都包含了無(wú)窮多種初等的表示，即 1 = 0.999...0 = 0.999...1 = 0.999... n , n 1=0.999...0=0.999...1=0.999...n,n為任意長(zhǎng)度的數(shù)串，中間的無(wú)窮多位，導(dǎo)致末位信息在變得毫無(wú)意義，乃至于根本不存在最后一位。

這時(shí)我們會(huì)異想天開(kāi)地希望建立整數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如將整數(shù)環(huán)映射到區(qū)間 [ − 1 , 1 ] 內(nèi)，這個(gè)區(qū)間也會(huì)出現(xiàn)實(shí)數(shù)區(qū)間的性質(zhì)，即任意一個(gè)長(zhǎng)度大于一的子區(qū)間，存在無(wú)窮多個(gè)元素。但眾所周知，實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)是比整數(shù)更高的無(wú)窮，也就是說(shuō)實(shí)數(shù)區(qū)間 [ − 1 , 1 ] 的元素個(gè)數(shù)是遠(yuǎn)多于整數(shù)的。

當(dāng)然，我們此后會(huì)接觸更多的讓人摸不著頭腦的函數(shù)，這些函數(shù)過(guò)于奇葩，以至于上面的這些似乎完全不適用呢。。。

4 極限常數(shù)

圓周率 π

歷史上很早就產(chǎn)生了極限思想，而割圓術(shù)就是這種思想的絕佳體現(xiàn)。

N = c(3:100)
Pi = N*sin(pi/N)
plot(N,Pi,type='l',xlab='N',ylab='Pi')

由于到了后面，誤差變得越來(lái)越小，所以用對(duì)數(shù)來(lái)看一下誤差的變化

N = c(3:10000)
err =log(pi-N*sin(pi/N),10)
plot(N,err,type='l',xlab='N',ylab='err')

可見(jiàn)割到了正10000邊形，也只能得到 1 0 − 7 10^{-7} 10−7的精度，通過(guò)計(jì)算可以得到正10000邊形算出的圓周率約為3.14159260，所以我們至今也無(wú)法知道祖沖之他老人家到底是怎么得到的。

options(digits=15)
10000*sin(pi/10000)
[1] 3.14159260191267

圓周率的這種定義其實(shí)也提供了一個(gè)重要極限，即

自然對(duì)數(shù)e

很多人喜歡把自然對(duì)數(shù)和復(fù)利計(jì)算聯(lián)系在一起。

問(wèn)題來(lái)了，是不是隨著 n n n逐漸增大，一年的收獲會(huì)越來(lái)越多呢？

為了計(jì)算方便，假設(shè) x = 1 ，即正常 W 存一年，一年之后本息翻倍為2W。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)

最終這個(gè)值趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就定義為 e，看來(lái)一年最多翻e倍，這個(gè)方法沒(méi)辦法發(fā)財(cái)了。但至少明白了一個(gè)著名的極限

很合理。

歐拉常數(shù) γ

對(duì) e兩側(cè)以 e為底取對(duì)數(shù)，可得

是一個(gè)常數(shù)：

N = c(1:10000)
for(i in c(1:0000)){
    H[i]=sum(1/N[0:i])
}
plot(N,gamma,type='l',xlab='N',ylab='gamma')
gamma[10000]
[1] 0.577265664068198

我們猜對(duì)了，這個(gè)常數(shù)即歐拉常數(shù)。

其證明過(guò)程也不復(fù)雜

5 洛必達(dá)法則

令 N 為常數(shù)，則常規(guī)的極限運(yùn)算大致有以下幾種

所以，盡管二者都為0，但0和0也有不同。問(wèn)題是這種不同是否明顯？如果定義域在 [ − 1 , 1 ] 這個(gè)區(qū)間，的確看不出太多的區(qū)別

x = seq(-1,1,0.01)  #生成等差數(shù)列
plot(x,x^2,type='l')
lines(x,x^3)
lines(x,x^4)
lines(x,x^5)
lines(x,x^6)

然而隨著坐標(biāo)尺度的縮小，區(qū)別變得明顯起來(lái)

> x = seq(-0.1,0.1,0.001)
> plot(x,x^2,type='l')
> lines(x,x^3)

這意味著越是逼近0，不同階數(shù)的冪函數(shù)將漸行漸遠(yuǎn)，回顧極限的定義，對(duì)于

受到這種運(yùn)算形式的啟發(fā)，對(duì)于一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的表達(dá)式，或許可以對(duì)上式進(jìn)行一點(diǎn)更改

可以畫(huà)圖驗(yàn)證一下二者在趨近于0時(shí)的特性

x = seq(-0.01,0.01,0.001)
plot(x,x,ylab="x/sin(x)")
lines(x,sin(x),col='red')

由于實(shí)在靠的太近，所以用差的對(duì)數(shù)來(lái)表示一下

x = seq(-0.1,0.1,0.001)
err = log(abs(x-sin(x)),10)
plot(x,err,type='l')

可見(jiàn)這個(gè)收斂速度是很快的，當(dāng) x = 0.001時(shí)，二者之間的差就已經(jīng)達(dá)到了 10^ -9

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