1、前綴和

前綴和是指某序列的前n項(xiàng)和，可以把它理解為數(shù)學(xué)上的數(shù)列的前n項(xiàng)和，而差分可以看成前綴和的逆運(yùn)算。合理的使用前綴和與差分，可以將某些復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。

2、前綴和算法有什么好處？

先來(lái)了解這樣一個(gè)問題：

輸入一個(gè)長(zhǎng)度為n的整數(shù)序列。接下來(lái)再輸入m個(gè)詢問，每個(gè)詢問輸入一對(duì)l, r。對(duì)于每個(gè)詢問，輸出原序列中從第l個(gè)數(shù)到第r個(gè)數(shù)的和。

我們很容易想出暴力解法，遍歷區(qū)間求和。

代碼如下：

int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
while(m--)
{
    int l,r;
    int sum=0;
    scanf("%d%d",&l,&r);
    for(int i=l;i<=r;i++)
    { 
        sum+=a[i];
    }
    printf("%d\n",sum);
}

這樣的時(shí)間復(fù)雜度為O(n*m)，如果n和m的數(shù)據(jù)量稍微大一點(diǎn)就有可能超時(shí)，而我們?nèi)绻褂们熬Y和的方法來(lái)做的話就能夠?qū)r(shí)間復(fù)雜度降到O(n+m),大大提高了運(yùn)算效率。

具體做法：

首先做一個(gè)預(yù)處理，定義一個(gè)sum[]數(shù)組，sum[i]代表a數(shù)組中前i個(gè)數(shù)的和。

求前綴和運(yùn)算：

const int N=1e5+10;
int sum[N],a[N]; //sum[i]=a[1]+a[2]+a[3].....a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{ 
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];   
}

然后查詢操作：

 scanf("%d%d",&l,&r);
 printf("%d\n", sum[r]-sum[l-1]);

對(duì)于每次查詢，只需執(zhí)行sum[r]-sum[l-1] ，時(shí)間復(fù)雜度為O(1)

原理

sum[r] =a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]+a[l]+a[l+1]......a[r];
sum[l-1]=a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1];
sum[r]-sum[l-1]=a[l]+a[l+1]+......+a[r];

圖解

這樣，對(duì)于每個(gè)詢問，只需要執(zhí)行 sum[r]-sum[l-1]。輸出原序列中從第l個(gè)數(shù)到第r個(gè)數(shù)的和的時(shí)間復(fù)雜度變成了O(1)。

我們把它叫做一維前綴和。

總結(jié)：

練習(xí)一道題目

輸入一個(gè)長(zhǎng)度為n的整數(shù)序列。
接下來(lái)再輸入m個(gè)詢問，每個(gè)詢問輸入一對(duì)l, r。
對(duì)于每個(gè)詢問，輸出原序列中從第l個(gè)數(shù)到第r個(gè)數(shù)的和。

輸入格式

第一行包含兩個(gè)整數(shù)n和m。
第二行包含n個(gè)整數(shù)，表示整數(shù)數(shù)列。
接下來(lái)m行，每行包含兩個(gè)整數(shù)l和r，表示一個(gè)詢問的區(qū)間范圍。

輸出格式

共m行，每行輸出一個(gè)詢問的結(jié)果。

數(shù)據(jù)范圍

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤數(shù)列中元素的值≤1000

輸入樣例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

輸出樣例：

3
6

10

代碼：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], s[N];
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前綴和的初始化
    while (m -- )
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]); // 區(qū)間和的計(jì)算
    }
    return 0;
}

3、二維前綴和

如果數(shù)組變成了二維數(shù)組怎么辦呢？

先給出問題：

輸入一個(gè)n行m列的整數(shù)矩陣，再輸入q個(gè)詢問，每個(gè)詢問包含四個(gè)整數(shù)x1, y1, x2, y2，表示一個(gè)子矩陣的左上角坐標(biāo)和右下角坐標(biāo)。對(duì)于每個(gè)詢問輸出子矩陣中所有數(shù)的和。

同一維前綴和一樣，我們先來(lái)定義一個(gè)二維數(shù)組s[][], s[i][j]表示二維數(shù)組中，左上角(1,1)到右下角( i,j )所包圍的矩陣元素的和。接下來(lái)推導(dǎo)二維前綴和的公式。

先看一張圖：

紫色面積是指(1,1)左上角到(i,j-1)右下角的矩形面積, 綠色面積是指(1,1)左上角到(i-1, j )右下角的矩形面積。每一個(gè)顏色的矩形面積都代表了它所包圍元素的和。

從圖中我們很容易看出，整個(gè)外圍藍(lán)色矩形面積s[i][j] = 綠色面積s[i-1][j] + 紫色面積s[i][j-1] - 重復(fù)加的紅色的面積s[i-1][j-1]+小方塊的面積a[i][j];

因此得出二維前綴和預(yù)處理公式

s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i] [j] - s[i-1][ j-1]

接下來(lái)回歸問題去求以(x1,y1)為左上角和以(x2,y2)為右下角的矩陣的元素的和。

如圖：

紫色面積是指 ( 1,1 )左上角到(x1-1,y2)右下角的矩形面積 ，黃色面積是指(1,1)左上角到(x2,y1-1)右下角的矩形面積；

不難推出：

綠色矩形的面積 = 整個(gè)外圍面積s[x2, y2] - 黃色面積s[x2, y1 - 1] - 紫色面積s[x1 - 1, y2] + 重復(fù)減去的紅色面積 s[x1 - 1, y1 - 1]

因此二維前綴和的結(jié)論為：

以(x1, y1)為左上角，(x2, y2)為右下角的子矩陣的和為：

s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]

總結(jié)：

練習(xí)一道完整題目：
輸入一個(gè)n行m列的整數(shù)矩陣，再輸入q個(gè)詢問，每個(gè)詢問包含四個(gè)整數(shù)x1, y1, x2, y2，表示一個(gè)子矩陣的左上角坐標(biāo)和右下角坐標(biāo)。

對(duì)于每個(gè)詢問輸出子矩陣中所有數(shù)的和。

輸入格式

第一行包含三個(gè)整數(shù)n，m，q。
接下來(lái)n行，每行包含m個(gè)整數(shù)，表示整數(shù)矩陣。
接下來(lái)q行，每行包含四個(gè)整數(shù)x1, y1, x2, y2，表示一組詢問。

輸出格式

共q行，每行輸出一個(gè)詢問的結(jié)果。

數(shù)據(jù)范圍

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩陣內(nèi)元素的值≤1000

輸入樣例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

輸出樣例：

17
27
21

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
       scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
        s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1];
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}

4、差分

5、一維差分

類似于數(shù)學(xué)中的求導(dǎo)和積分，差分可以看成前綴和的逆運(yùn)算。

差分?jǐn)?shù)組：

首先給定一個(gè)原數(shù)組a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];

然后我們構(gòu)造一個(gè)數(shù)組b ： b[1] ,b[2] , b[3],,,,,, b[i];

使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +,,,,,, + b[i]

也就是說(shuō)，a數(shù)組是b數(shù)組的前綴和數(shù)組，反過來(lái)我們把b數(shù)組叫做a數(shù)組的差分?jǐn)?shù)組。換句話說(shuō)，每一個(gè)a[i]都是b數(shù)組中從頭開始的一段區(qū)間和。

考慮如何構(gòu)造差分b數(shù)組？

最為直接的方法

如下：

a[0 ]= 0;

b[1] = a[1] - a[0];

b[2] = a[2] - a[1];

b[3] =a [3] - a[2];

........

b[n] = a[n] - a[n-1];

圖示:

我們只要有b數(shù)組，通過前綴和運(yùn)算，就可以在O(n) 的時(shí)間內(nèi)得到a數(shù)組 。

知道了差分?jǐn)?shù)組有什么用呢？ 別著急，慢慢往下看。

話說(shuō)有這么一個(gè)問題：

給定區(qū)間[l ,r ]，讓我們把a數(shù)組中的[ l, r]區(qū)間中的每一個(gè)數(shù)都加上c,

即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c ,,,,,, a[r] + c;

暴力做法是for循環(huán)l到r區(qū)間，時(shí)間復(fù)雜度O(n)，如果我們需要對(duì)原數(shù)組執(zhí)行m次這樣的操作，時(shí)間復(fù)雜度就會(huì)變成O(n*m)。有沒有更高效的做法嗎? 考慮差分做法，(差分?jǐn)?shù)組派上用場(chǎng)了)。

始終要記得，a數(shù)組是b數(shù)組的前綴和數(shù)組，比如對(duì)b數(shù)組的b[i]的修改，會(huì)影響到a數(shù)組中從a[i]及往后的每一個(gè)數(shù)。

首先讓差分b數(shù)組中的 b[l] + c ,通過前綴和運(yùn)算，a數(shù)組變成 a[l] + c ,a[l+1] + c,,,,,, a[n] + c;

然后我們打個(gè)補(bǔ)丁，b[r+1] - c, 通過前綴和運(yùn)算，a數(shù)組變成 a[r+1] - c,a[r+2] - c,,,,,,,a[n] - c;

為啥還要打個(gè)補(bǔ)?。?/p>

我們畫個(gè)圖理解一下這個(gè)公式的由來(lái):

b[l] + c，效果使得a數(shù)組中 a[l]及以后的數(shù)都加上了c(紅色部分)，但我們只要求l到r區(qū)間加上c, 因此還需要執(zhí)行 b[r+1] - c,讓a數(shù)組中a[r+1]及往后的區(qū)間再減去c(綠色部分)，這樣對(duì)于a[r] 以后區(qū)間的數(shù)相當(dāng)于沒有發(fā)生改變。

因此我們得出一維差分結(jié)論：給a數(shù)組中的[ l, r]區(qū)間中的每一個(gè)數(shù)都加上c,只需對(duì)差分?jǐn)?shù)組b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。時(shí)間復(fù)雜度為O(1), 大大提高了效率。

總結(jié)：

題目練習(xí)： AcWing 797. 差分

輸入一個(gè)長(zhǎng)度為n的整數(shù)序列。
接下來(lái)輸入m個(gè)操作，每個(gè)操作包含三個(gè)整數(shù)l, r, c，表示將序列中[l, r]之間的每個(gè)數(shù)加上c。
請(qǐng)你輸出進(jìn)行完所有操作后的序列。

輸入格式

第一行包含兩個(gè)整數(shù)n和m。
第二行包含n個(gè)整數(shù)，表示整數(shù)序列。
接下來(lái)m行，每行包含三個(gè)整數(shù)l，r，c，表示一個(gè)操作。

輸出格式

共一行，包含n個(gè)整數(shù)，表示最終序列。

數(shù)據(jù)范圍

1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整數(shù)序列中元素的值≤1000

輸入樣例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

輸出樣例：

3 4 5 3 4 2
AC代碼

//差分 時(shí)間復(fù)雜度 o(m)
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],b[N]; 
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]=a[i]-a[i-1];      //構(gòu)建差分?jǐn)?shù)組
    }
    int l,r,c;
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        b[l]+=c;     //表示將序列中[l, r]之間的每個(gè)數(shù)加上c
        b[r+1]-=c;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        b[i]+=b[i-1];  //求前綴和運(yùn)算
        printf("%d ",b[i]);
    }
    return 0;
}

6、二維差分

如果擴(kuò)展到二維，我們需要讓二維數(shù)組被選中的子矩陣中的每個(gè)元素的值加上c,是否也可以達(dá)到O(1)的時(shí)間復(fù)雜度。答案是可以的，考慮二維差分。

a[][]數(shù)組是b[][]數(shù)組的前綴和數(shù)組，那么b[][]是a[][]的差分?jǐn)?shù)組

原數(shù)組： a[i][j]

我們?nèi)?gòu)造差分?jǐn)?shù)組： b[i][j]

使得a數(shù)組中a[i][j]是b數(shù)組左上角(1,1)到右下角(i,j)所包圍矩形元素的和。

如何構(gòu)造b數(shù)組呢？

其實(shí)關(guān)于差分?jǐn)?shù)組，我們并不用考慮其構(gòu)造方法，因?yàn)槲覀兪褂貌罘植僮髟趯?duì)原數(shù)組進(jìn)行修改的過程中，實(shí)際上就可以構(gòu)造出差分?jǐn)?shù)組。

同一維差分，我們構(gòu)造二維差分?jǐn)?shù)組目的是為了 讓原二維數(shù)組a中所選中子矩陣中的每一個(gè)元素加上c的操作，可以由O(n*n)的時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化成O(1)

已知原數(shù)組a中被選中的子矩陣為 以(x1,y1)為左上角，以(x2,y2)為右上角所圍成的矩形區(qū)域;

始終要記得，a數(shù)組是b數(shù)組的前綴和數(shù)組，比如對(duì)b數(shù)組的b[i][j]的修改，會(huì)影響到a數(shù)組中從a[i][j]及往后的每一個(gè)數(shù)。

假定我們已經(jīng)構(gòu)造好了b數(shù)組，類比一維差分，我們執(zhí)行以下操作
來(lái)使被選中的子矩陣中的每個(gè)元素的值加上c

b[x1][y1] + = c;

b[x1,][y2+1] - = c;

b[x2+1][y1] - = c;

b[x2+1][y2+1] + = c;

每次對(duì)b數(shù)組執(zhí)行以上操作，等價(jià)于：

for(int i=x1;i<=x2;i++)
  for(int j=y1;j<=y2;j++)
    a[i][j]+=c;

我們畫個(gè)圖去理解一下這個(gè)過程：

b[x1][ y1 ] +=c ; 對(duì)應(yīng)圖1 ,讓整個(gè)a數(shù)組中藍(lán)色矩形面積的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c ; 對(duì)應(yīng)圖2 ,讓整個(gè)a數(shù)組中綠色矩形面積的元素再減去c，使其內(nèi)元素不發(fā)生改變。
b[x2+1][y1]- =c ; 對(duì)應(yīng)圖3 ,讓整個(gè)a數(shù)組中紫色矩形面積的元素再減去c，使其內(nèi)元素不發(fā)生改變。
b[x2+1][y2+1]+=c; 對(duì)應(yīng)圖4,讓整個(gè)a數(shù)組中紅色矩形面積的元素再加上c，紅色內(nèi)的相當(dāng)于被減了兩次，再加上一次c，才能使其恢復(fù)。

我們將上述操作封裝成一個(gè)插入函數(shù):

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{     //對(duì)b數(shù)組執(zhí)行插入操作，等價(jià)于對(duì)a數(shù)組中的(x1,y1)到(x2,y2)之間的元素都加上了c
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

我們可以先假想a數(shù)組為空，那么b數(shù)組一開始也為空，但是實(shí)際上a數(shù)組并不為空，因此我們每次讓以(i,j)為左上角到以(i,j)為右上角面積內(nèi)元素(其實(shí)就是一個(gè)小方格的面積)去插入 c=a[i][j]，等價(jià)于原數(shù)組a中(i,j) 到(i,j)范圍內(nèi) 加上了 a[i][j] ,因此執(zhí)行n*m次插入操作，就成功構(gòu)建了差分b數(shù)組.

這叫做曲線救國(guó)。

代碼如下：

  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
          insert(i,j,i,j,a[i][j]);    //構(gòu)建差分?jǐn)?shù)組
      }
  }

當(dāng)然關(guān)于二維差分操作也有直接的構(gòu)造方法，公式如下：

b[i][j]=a[i][j]−a[i−1][j]−a[i][j−1]+a[i−1][j−1]

二維差分?jǐn)?shù)組的構(gòu)造同一維差分思維相同，因次在這里就不再展開敘述了。

總結(jié)：

題目練習(xí)： AcWing 798. 差分矩陣

輸入一個(gè)n行m列的整數(shù)矩陣，再輸入q個(gè)操作，每個(gè)操作包含五個(gè)整數(shù)x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一個(gè)子矩陣的左上角坐標(biāo)和右下角坐標(biāo)。
每個(gè)操作都要將選中的子矩陣中的每個(gè)元素的值加上c。
請(qǐng)你將進(jìn)行完所有操作后的矩陣輸出。

輸入格式

第一行包含整數(shù)n,m,q。
接下來(lái)n行，每行包含m個(gè)整數(shù)，表示整數(shù)矩陣。
接下來(lái)q行，每行包含5個(gè)整數(shù)x1, y1, x2, y2, c，表示一個(gè)操作。

輸出格式

共 n 行，每行 m 個(gè)整數(shù)，表示所有操作進(jìn)行完畢后的最終矩陣。
數(shù)據(jù)范圍

1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩陣內(nèi)元素的值≤1000

輸入樣例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

輸出樣例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

AC代碼：

include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
  int n,m,q;
  cin>>n>>m>>q;  
  for(int i=1;i<=n;i++)
   for(int j=1;j<=m;j++)
    cin>>a[i][j];
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
          insert(i,j,i,j,a[i][j]);    //構(gòu)建差分?jǐn)?shù)組
      }
  }
  while(q--)
  {
      int x1,y1,x2,y2,c;
      cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
      insert(x1,y1,x2,y2,c);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
          b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
      }
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
          printf("%d ",b[i][j]);
      }
      printf("\n");
  }
  return 0;
}

以上就是通俗易懂的C++前綴和與差分算法圖文詳解的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于C++前綴和與差分算法的資料請(qǐng)關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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