Java 關于時間復雜度和空間復雜度的深度刨析
1.算法效率
算法效率分析分為兩種:第一種是時間效率,第二種是空間效率。時間效率被稱為時間復雜度,而空間效率被稱作空間復雜度。
時間復雜度主要衡量的是一個算法的運行速度,而空間復雜度主要衡量一個算法所需要的額外空間
如今我們更關注的是時間復雜度,而對空間復雜度已不再關注。
2.時間復雜度
2.1時間復雜度的概念
時間復雜度的定義:在計算機科學中,算法的時間復雜度是一個函數(shù),它定量描述了該算法的運行時間。
一個算法所花費的時間與其中語句的執(zhí)行次數(shù)成正比例,因此算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù),為算法的時間復雜度
2.2大O的漸進表示法
請看如下代碼:
// 請計算一下func1基本操作執(zhí)行了多少次? void func1(int N){ int count = 0; for (int i = 0; i < N ; i++) { for (int j = 0; j < N ; j++) {//N^2次 count++; } } for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {//2N次 count++; } int M = 10; while ((M--) > 0){//10次 count++; } System.out.println(count); }
F(N) = N^2 + 2N + 10
Func1 執(zhí)行的基本操作次數(shù) :
N = 10 , F(N) = 130
N = 100 , F(N) = 10210
N = 1000 , F(N) = 1002010
實際中我們計算時間復雜度時,我們其實并不一定要計算精確的執(zhí)行次數(shù),而只需要大概執(zhí)行次數(shù),那么這里我們使用大O的漸進表示法
大O符號(Big O notation):是用于描述函數(shù)漸進行為的數(shù)學符號
推導大O階方法:
- 用常數(shù)1取代運行時間中的所有加法常數(shù)。
- 在修改后的運行次數(shù)函數(shù)中,只保留最高階項。
- 如果最高階項存在且不是1,則去除與這個項目相乘的常數(shù)。得到的結果就是大O階。
使用大O的漸進表示法以后,F(xiàn)unc1的時間復雜度為 O(N^2)
另外有些算法的時間復雜度存在最好、平均和最壞情況:
最壞情況:任意輸入規(guī)模的最大運行次數(shù)(上限)
平均情況:任意輸入規(guī)模的期望運行次數(shù)
最好情況:任意輸入規(guī)模的最小運行次數(shù)
在實際中一般情況關注的是算法的最壞運行情況,所以數(shù)組中搜索數(shù)據(jù)時間復雜度為O(N)
2.3常見時間復雜度計算
2.3.1常用的時間復雜度量級
2.3.2常見示例舉例
2.3.1.1計算 bubbleSort 的時間復雜度
// 計算bubbleSort的時間復雜度? void bubbleSort(int[] array){ for (int end = array.length; end > 0; end--){ boolean sorted = true; for (int i = 1; i < end; i++){ if (array[i - 1] > array[i]){ Swap(array, i - 1, i); sorted = false; } } if (sorted == true){ break; } } }
2.3.1.2計算 binarySearch 的時間復雜度
// 計算binarySearch的時間復雜度? int binarySearch(int[] array, int value) { int begin = 0; int end = array.length - 1; while (begin <= end) { int mid = begin + ((end-begin) / 2); if (array[mid] < value) begin = mid + 1; else if (array[mid] > value) end = mid - 1; else return mid; } return -1; }
2.3.1.3計算階乘遞歸 factorial 的時間復雜度
// 計算階乘遞歸factorial的時間復雜度? long factorial(int N) { return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; }
2.3.1.4計算斐波那契遞歸 fibonacci 的時間復雜度
// 計算斐波那契遞歸fibonacci的時間復雜度? int fibonacci(int N){ return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2); }
2.3.2示例答案及分析
2.3.2.1 bubbleSort 的時間復雜度
實例4基本操作執(zhí)行最好N次,最壞執(zhí)行了(N*(N-1))/2次,通過推導大O階方法+時間復雜度一般看最壞,時間復雜度為 O(N^2)
2.3.2.2 binarySearch 的時間復雜度
實例5基本操作執(zhí)行最好1次,最壞O(logN)次,時間復雜度為 O(logN) ps:logN在算法分析中表示是底數(shù)為2,對數(shù)為N。有些地方會寫成lgN。(建議通過折半查找的方式講解logN是怎么計算出來的)(因為二分查找每次排除掉一半的不適合值,一次二分剩下:n/2/2=4)
2.3.2.3 階乘遞歸 factorial 的時間復雜度
遞歸的時間復雜度=遞歸的次數(shù)*每次遞歸的次數(shù)
實例6通過計算分析發(fā)現(xiàn)基本操作遞歸了N次,時間復雜度為O(N)
2.3.2.4 斐波那契遞歸 fibonacci 的時間復雜度
實例7通過計算分析發(fā)現(xiàn)基本操作遞歸了2^N次 ,時間復雜度為 O(2^N)
3.空間復雜度
空間復雜度是對一個算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的量度??臻g復雜度不是程序占用了多少bytes的空間,因為這個也沒太大意義,所以空間復雜度算的是變量的個數(shù)??臻g復雜度計算規(guī)則基本跟實踐復雜度類似,也使用大O漸進表示法。
示例1:計算 bubbleSort 的空間復雜度?
// 計算bubbleSort的空間復雜度? void bubbleSort(int[] array) { for (int end = array.length; end > 0; end--) { boolean sorted = true; for (int i = 1; i < end; i++) { if (array[i - 1] > array[i]) { Swap(array, i - 1, i); sorted = false; } } if (sorted == true) { break; } } }
實例1使用了常數(shù)個額外空間,所以空間復雜度為 O(1)
示例2:
// 計算fibonacci的空間復雜度? int[] fibonacci(int n) { long[] fibArray = new long[n + 1]; fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n ; i++) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2]; } return fibArray; }
實例2動態(tài)開辟了N個空間,空間復雜度為 O(N)
示例3:
// 計算階乘遞歸Factorial的時間復雜度? long factorial(int N) { return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N; }
實例3遞歸調用了N次,開辟了N個棧幀,每個棧幀使用常數(shù)的空間,空間復雜度為 O(N)
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