為什么浮點精度運算會有問題

我們平常使用的編程語言大多都有一個問題——浮點型精度運算會不準確。比如

double num = 0.1 + 0.1 + 0.1;
// 輸出結(jié)果為 0.30000000000000004
double num2 = 0.65 - 0.6;
// 輸出結(jié)果為 0.05000000000000004

筆者在測試的時候發(fā)現(xiàn) C/C++ 竟然不會出現(xiàn)這種問題，我最初以為是編譯器優(yōu)化，把這個問題解決了。但是 C/C++ 如果能解決其他語言為什么不跟進？根據(jù)這個問題的產(chǎn)生原因來看，編譯器優(yōu)化解決這個問題邏輯不通。后來發(fā)現(xiàn)是打印的方法有問題，打印輸出方法會四舍五入。使用 printf("%0.17f\n", num); 以及 cout << setprecision(17) << num2 << endl; 多打印幾位小數(shù)即可看到精度運算不準確的問題。

那么精度運算不準確這是為什么呢？

我們接下來就需要從計算機所有數(shù)據(jù)的表現(xiàn)形式二進制說起了。如果大家很了解二進制與十進制的相互轉(zhuǎn)換，那么就能輕易的知道精度運算不準確的問題原因是什么了。如果不知道就讓我們一起回顧一下十進制與二進制的相互轉(zhuǎn)換流程。

一般情況下二進制轉(zhuǎn)為十進制我們所使用的是按權(quán)相加法。十進制轉(zhuǎn)二進制是除2取余，逆序排列法。很熟的同學可以略過。

// 二進制到十進制
10010 = 0 * 2^0 + 1 * 2^1 + 0 * 2^2 + 0 * 2^3 + 1 * 2^4 = 18  
 
// 十進制到二進制
18 / 2 = 9 .... 0 
9 / 2 = 4 .... 1 
4 / 2 = 2 .... 0 
2 / 2 = 1 .... 0 
1 / 2 = 0 .... 1
 
10010

那么，問題來了十進制小數(shù)和二進制小數(shù)是如何相互轉(zhuǎn)換的呢？

十進制小數(shù)到二進制小數(shù)一般是整數(shù)部分除 2 取余，逆序排列，小數(shù)部分使用乘 2 取整數(shù)位，順序排列。二進制小數(shù)到十進制小數(shù)還是使用按權(quán)相加法。

// 二進制到十進制
10.01 = 1 * 2^-2 + 0 * 2^-1 + 0 * 2^0 + 1 * 2^1 = 2.25
 
// 十進制到二進制
// 整數(shù)部分
2 / 2 = 1 .... 0
1 / 2 = 0 .... 1
// 小數(shù)部分
0.25 * 2 = 0.5 .... 0 
0.5 * 2 = 1 .... 1 
 
// 結(jié)果 10.01

轉(zhuǎn)小數(shù)我們也了解了，接下來我們回歸正題，為什么浮點運算會有精度不準確的問題。接下來我們看一個簡單的例子 2.1 這個十進制數(shù)轉(zhuǎn)成二進制是什么樣子的。

2.1 分成兩部分
// 整數(shù)部分
2 / 2 = 1 .... 0
1 / 2 = 0 .... 1
 
// 小數(shù)部分
0.1 * 2 = 0.2 .... 0
0.2 * 2 = 0.4 .... 0
0.4 * 2 = 0.8 .... 0
0.8 * 2 = 1.6 .... 1
0.6 * 2 = 1.2 .... 1
0.2 * 2 = 0.4 .... 0
0.4 * 2 = 0.8 .... 0
0.8 * 2 = 1.6 .... 1
0.6 * 2 = 1.2 .... 1
0.2 * 2 = 0.4 .... 0
0.4 * 2 = 0.8 .... 0
0.8 * 2 = 1.6 .... 1
0.6 * 2 = 1.2 .... 1
............

落入無限循環(huán)結(jié)果為 10.0001100110011........ ， 我們的計算機在存儲小數(shù)時肯定是有長度限制的，所以會進行截取部分小數(shù)進行存儲，從而導致計算機存儲的數(shù)值只能是個大概的值，而不是精確的值。

從這里看出來我們的計算機根本就無法使用二進制來精確的表示 2.1 這個十進制數(shù)字的值，連表示都無法精確表示出來，計算肯定是會出現(xiàn)問題的。

精度運算丟失的解決辦法

現(xiàn)有有三種辦法

• 如果業(yè)務不是必須非常精確的要求可以采取四舍五入的方法來忽略這個問題。
• 轉(zhuǎn)成整型再進行計算。
• 使用 BCD 碼存儲和運算二進制小數(shù)(感興趣的同學可自行搜索學習)。

一般每種語言都用高精度運算的解決方法（比一般運算耗費性能），比如 Python 的 decimal 模塊，Java 的 BigDecimal，但是一定要把小數(shù)轉(zhuǎn)成字符串傳入構(gòu)造，不然還是有坑，其他語言大家可以自行尋找一下。

# Python 示例
from decimal import Decimal
 
num = Decimal('0.1') + Decimal('0.1') + Decimal('0.1')
print(num)

// Java 示例
import java.math.BigDecimal;
 
BigDecimal add = new BigDecimal("0.1").add(new BigDecimal("0.1")).add(new BigDecimal("0.1"));
System.out.println(add);

拓展：詳解浮點型

上面既然提到了浮點型的存儲是有限制，那么我們看一下我們的計算機是如何存儲浮點型的，是不是真的正如我們上面提到的有小數(shù)長度的限制。

那我們就以 Float 的數(shù)據(jù)存儲結(jié)構(gòu)來說，根據(jù) IEEE 標準浮點型分為符號位，指數(shù)位和尾數(shù)位三部分（各部分大小詳情見下圖）。

IEEE 754 標準

一般情況下我們表示一個很大或很小的數(shù)通常使用科學記數(shù)法，例如：1000.00001 我們一般表示為 1.00000001 * 10^3，或者 0.0001001 一般表示為 1.001 * 10^-4。

符號位

0 是正數(shù)，1 是負數(shù)

指數(shù)位

指數(shù)很有意思因為它需要表示正負，所以人們創(chuàng)造了一個叫 EXCESS 的系統(tǒng)。這個系統(tǒng)是什么意思呢？它規(guī)定 最大值 / 2 - 1 表示指數(shù)為 0。我們使用單精度浮點型舉個例子，單精度浮點型指數(shù)位一共有八位，表示的十進制數(shù)最大就是 255。那么 255 / 2 - 1 = 127，127 就代表指數(shù)為 0。如果指數(shù)位存儲的十進制數(shù)據(jù)為 128 那么指數(shù)就是 128 - 127 = 1，如果存儲的為 126，那么指數(shù)就是 126 - 127 = -1。

尾數(shù)位

比如上述例子中 1.00000001 以及 1.001 就屬于尾數(shù)，但是為什么叫尾數(shù)呢？因為在二進制中比如 1.xx 這個小數(shù)，小數(shù)點前面的 1 是永遠存在的，存了也是浪費空間不如多存一位小數(shù)，所以尾數(shù)位只會存儲小數(shù)部分。也就是上述例子中的 00000001 以及 001 存儲這樣的數(shù)據(jù)。

IEEE 754 標準

通過上述程序我們得到的存儲 1.25 的 float 二進制結(jié)構(gòu)的具體值為 00111111101000000000000000000000 ，我們拆分一下 0 為符號位他是個正值。01111111 為指數(shù)位，01000000000000000000000 是尾數(shù)。接下來我們驗證一下 01111111 轉(zhuǎn)為十進制是 127，那么經(jīng)過計算指數(shù)為 0。尾數(shù)是 01000000000000000000000 加上默認省略的 1 為 1.01（省略后面多余的 0），轉(zhuǎn)換為十進制小數(shù)就是 1.25。

以上為個人經(jīng)驗，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持腳本之家。

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