一篇文章徹底弄懂Java中二叉樹
一、樹形結(jié)構(gòu)
樹是一種非線性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它是由n（n>=0）個(gè)有限結(jié)點(diǎn)組成一個(gè)具有層次關(guān)系的集合。把它叫做樹是因?yàn)樗雌饋硐褚豢玫箳斓臉?，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點(diǎn)：
- 有一個(gè)特殊的節(jié)點(diǎn)，稱為根節(jié)點(diǎn)，根節(jié)點(diǎn)沒有前驅(qū)節(jié)點(diǎn)；
- 除根節(jié)點(diǎn)外，其余節(jié)點(diǎn)被分成
M(M > 0)個(gè)互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一個(gè)集合Ti (1 <= i<= m)又是一棵與樹類似的子樹。每棵子樹的根節(jié)點(diǎn)有且只有一個(gè)前驅(qū)，可以有0個(gè)或多個(gè)后繼； - 樹是遞歸定義的。
1.1 相關(guān)概念
- 節(jié)點(diǎn)的度：一個(gè)節(jié)點(diǎn)含有的子樹的個(gè)數(shù)稱為該節(jié)點(diǎn)的度； 如上圖：A的度為6；
- 樹的度：一棵樹中，最大的節(jié)點(diǎn)的度稱為樹的度； 如上圖：樹的度為6；
- 葉子節(jié)點(diǎn)或終端節(jié)點(diǎn)：度為0的節(jié)點(diǎn)稱為葉節(jié)點(diǎn)； 如上圖：B、C、H、I…等節(jié)點(diǎn)為葉節(jié)點(diǎn)；
- 雙親節(jié)點(diǎn)或父節(jié)點(diǎn)：若一個(gè)節(jié)點(diǎn)含有子節(jié)點(diǎn)，則這個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為其子節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)； 如上圖：A是B的父節(jié)點(diǎn)；
- 孩子節(jié)點(diǎn)或子節(jié)點(diǎn)：一個(gè)節(jié)點(diǎn)含有的子樹的根節(jié)點(diǎn)稱為該節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)； 如上圖：B是A的孩子節(jié)點(diǎn)；
- 根結(jié)點(diǎn)：一棵樹中，沒有雙親結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)；如上圖：A
- 節(jié)點(diǎn)的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節(jié)點(diǎn)為第2層，以此類推；
- 樹的高度或深度：樹中節(jié)點(diǎn)的最大層次； 如上圖：樹的高度為4
以下概念僅做了解即可：
- 非終端節(jié)點(diǎn)或分支節(jié)點(diǎn)：度不為0的節(jié)點(diǎn)； 如上圖：D、E、F、G...等節(jié)點(diǎn)為分支節(jié)點(diǎn)；
- 兄弟節(jié)點(diǎn)：具有相同父節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)互稱為兄弟節(jié)點(diǎn)； 如上圖：B、C是兄弟節(jié)點(diǎn)；
- 堂兄弟節(jié)點(diǎn)：雙親在同一層的節(jié)點(diǎn)互為堂兄弟；如上圖：H、I互為兄弟節(jié)點(diǎn)；
- 節(jié)點(diǎn)的祖先：從根到該節(jié)點(diǎn)所經(jīng)分支上的所有節(jié)點(diǎn)；如上圖：A是所有節(jié)點(diǎn)的祖先；
- 子孫：以某節(jié)點(diǎn)為根的子樹中任一節(jié)點(diǎn)都稱為該節(jié)點(diǎn)的子孫。如上圖：所有節(jié)點(diǎn)都是A的子孫；
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林。
1.2樹的表示形式
樹結(jié)構(gòu)相對線性表就比較復(fù)雜了，要存儲表示起來就比較麻煩了，實(shí)際中樹有很多種表示方式，如：雙親表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。這里簡單的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
孩子兄弟表示法代碼示例：
class Node {
int value; // 樹中存儲的數(shù)據(jù)
Node firstChild; // 第一個(gè)孩子引用
Node nextBrother; // 下一個(gè)兄弟引用
}
圖示：
1.3樹的應(yīng)用：文件系統(tǒng)管理（目錄和文件）
二、二叉樹
2.1相關(guān)概念
一棵二叉樹是結(jié)點(diǎn)的一個(gè)有限集合，該集合或者為空，或者是由一個(gè)根節(jié)點(diǎn)加上兩棵別稱為左子樹和右子樹的二叉樹組成。
二叉樹的特點(diǎn)：
每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩棵子樹，即二叉樹不存在度大于 2 的結(jié)點(diǎn)。
二叉樹的子樹有左右之分，其子樹的次序不能顛倒，因此二叉樹是有序樹。
2.2 二叉樹的基本形態(tài)
上圖給出了幾種特殊的二叉樹形態(tài)。
從左往右依次是：空樹、只有根節(jié)點(diǎn)的二叉樹、節(jié)點(diǎn)只有左子樹、節(jié)點(diǎn)只有右
子樹、節(jié)點(diǎn)的左右子樹均存在，一般二叉樹都是由上述基本形態(tài)結(jié)合而形成的。
2.3 兩種特殊的二叉樹
滿二叉樹: 一個(gè)二叉樹，如果每一個(gè)層的結(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到最大值，則這個(gè)二叉樹就是滿二叉樹。也就是說，如果一個(gè)二叉樹的層數(shù)為K，且結(jié)點(diǎn)總數(shù)是2k-1 ，則它就是滿二叉樹。
完全二叉樹: 完全二叉樹是效率很高的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的。對于深度為K的，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹，當(dāng)且僅當(dāng)其每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都與深度為K的滿二叉樹中編號從1至n的結(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)時(shí)稱之為完全二叉樹。（另一種解釋：如果二叉樹中除去最后一層節(jié)點(diǎn)為滿二叉樹，且最后一層的結(jié)點(diǎn)依次從左到右分布，則此二叉樹被稱為完全二叉樹。 ）要注意的是滿二叉樹是一種特殊的完全二叉樹。
非完全二叉樹：
2.4 二叉樹的性質(zhì)
- 若規(guī)定根節(jié)點(diǎn)的層數(shù)為1，則一棵非空二叉樹的第i層上最多有2i-1 (i>0)個(gè)結(jié)點(diǎn)；
- 若規(guī)定只有根節(jié)點(diǎn)的二叉樹的深度為1，則深度為K的二叉樹的最大結(jié)點(diǎn)數(shù)是2k-1 (k>=0)；
- 對任何一棵二叉樹, 如果其葉結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為 n0, 度為2的非葉結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為 n2,則有n0＝n2＋1；
- 具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度k為log2(n+1) 上取整；
- 對于具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹，如果按照從上至下從左至右的順序?qū)λ泄?jié)點(diǎn)從0開始編號，則對于序號為i的結(jié)點(diǎn)有：
- 若
i>0，雙親序號：(i-1)/2；i=0，i為根節(jié)點(diǎn)編號，無雙親節(jié)點(diǎn)； - 若
2i+1<n，左孩子序號：2i+1，否則無左孩子； - 若
2i+2<n，右孩子序號：2i+2，否則無右孩子；
如：假設(shè)一棵完全二叉樹中總共有1000個(gè)節(jié)點(diǎn)，則該二叉樹中__500___個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，__500___個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)，__1___個(gè)節(jié)點(diǎn)只有左孩子，__0___個(gè)只有右孩子。
題解：將該二叉樹節(jié)點(diǎn)縮小100倍，變?yōu)樵撏耆鏄渲锌偣灿?0個(gè)節(jié)點(diǎn)，由性質(zhì)2可得深度K為：4，前三層共有7個(gè)節(jié)點(diǎn)，則最后一層有10-7=3個(gè)節(jié)點(diǎn)，由性質(zhì)1的第三層有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中有2個(gè)節(jié)點(diǎn)上面有子節(jié)點(diǎn)，剩余2個(gè)為葉子結(jié)點(diǎn)，則該二叉樹共有3+2=5個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，擴(kuò)大100倍為500個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，則剩余的就位非葉子結(jié)點(diǎn)。有相關(guān)分析可知該二叉樹有1個(gè)節(jié)點(diǎn)只有左孩子，0個(gè)節(jié)點(diǎn)只有右孩子。
2.5 二叉樹的存儲
二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)分為：順序存儲和類似于鏈表的鏈?zhǔn)酱鎯?/strong>。
二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?/strong>是通過一個(gè)一個(gè)的節(jié)點(diǎn)引用起來的，常見的表示方式有二叉和三叉表示方式，具體如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 數(shù)據(jù)域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子為根的整棵左子樹
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子為根的整棵右子樹
}
// 孩子雙親表示法
class Node {
int val; // 數(shù)據(jù)域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子為根的整棵左子樹
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子為根的整棵右子樹
Node parent; // 當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的根節(jié)點(diǎn)
}
2.6 二叉樹的基本操作
2.6.1二叉樹的遍歷
遍歷(Traversal)是指沿著某條搜索路線，依次對樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)均做一次且僅做一次訪問。訪問結(jié)點(diǎn)所做的操作依賴于具體的應(yīng)用問題(比如：打印節(jié)點(diǎn)內(nèi)容、節(jié)點(diǎn)內(nèi)容加1)。 遍歷是二叉樹上最重要的操作之一，是二叉樹上進(jìn)行其它運(yùn)算之基礎(chǔ)。
在遍歷二叉樹時(shí)，如果沒有進(jìn)行某種約定，每個(gè)人都按照自己的方式遍歷，得出的結(jié)果就比較混亂，如果按照某種規(guī)則進(jìn)行約定，則每個(gè)人對于同一棵樹的遍歷結(jié)果肯定是相同的。如果N代表根節(jié)點(diǎn)，L代表根節(jié)點(diǎn)的左子樹，R代表根節(jié)點(diǎn)的右子樹，則根據(jù)遍歷根節(jié)點(diǎn)的先后次序有以下遍歷方式：
- NLR：前序遍歷(Preorder Traversal 亦稱先序遍歷)——訪問根結(jié)點(diǎn)—>根的左子樹—>根的右子樹。
- LNR：中序遍歷(Inorder Traversal)——根的左子樹—>根節(jié)點(diǎn)—>根的右子樹。
- LRN：后序遍歷(Postorder Traversal)——根的左子樹—>根的右子樹—>根節(jié)點(diǎn)。
由于被訪問的結(jié)點(diǎn)必是某子樹的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解釋為根、根的左子樹和根的右子樹。NLR、LNR和LRN分別又稱為先根遍歷、中根遍歷和后根遍歷。
如上面這張圖,
其前序遍歷：ABDEHCFG;
中序遍歷：DBEHAFCG；
后序遍歷：DHEBFGCA。
2.6.2 二叉樹的基本操作
構(gòu)建一顆二叉樹：
代碼示例：
class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val){
this.val = val;
}
}
public class BinaryTree {
//創(chuàng)建一個(gè)二叉樹
public TreeNode createTree(){
TreeNode A = new TreeNode('a');
TreeNode B = new TreeNode('b');
TreeNode C = new TreeNode('c');
TreeNode D= new TreeNode('d');
TreeNode E = new TreeNode('e');
TreeNode F = new TreeNode('f');
TreeNode G = new TreeNode('g');
TreeNode H = new TreeNode('h');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
E.right = H;
C.left = F;
C.right = G;
return A;
}
1. 前序遍歷
根–》左–》右
void preOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
System.out.print(root.val + " ");
preOrderTraversal(root.left);
preOrderTraversal(root.right);
}
測試代碼：
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.preOrderTraversal(root);//前序遍歷
}
輸出結(jié)果：
2. 中序遍歷
左–》根–》右
// 中序遍歷
void inOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
inOrderTraversal(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrderTraversal(root.right);
}
測試代碼：
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.inOrderTraversal(root);//中序遍歷
}
輸出結(jié)果：
3. 后序遍歷
左–》右–》根
// 后序遍歷
void postOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
postOrderTraversal(root.left);
postOrderTraversal(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}
測試代碼：
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.postOrderTraversal(root);//后序遍歷
}
輸出結(jié)果：
4. 遍歷思路-求結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
static int size = 0;//靜態(tài)變量
void getSize1(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
size++;
getSize1(root.left);
getSize1(root.right);
}
5. 子問題思路-求結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
int getSize2(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
return getSize2(root.left) + getSize2(root.right)+1;
}
測試代碼：
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.getSize1(root);
System.out.println(BinaryTree.size);
System.out.println("============");
System.out.println(binaryTree.getSize2(root));
}
輸出結(jié)果：
6. 遍歷思路-求葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
//遍歷這顆二叉樹，只要節(jié)點(diǎn)的左子樹和右子樹都是空的，那么就是葉子
static int leafSize = 0;
void getLeafSize1(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
if(root.left == null && root.right == null){
leafSize++;
}
getLeafSize1(root.left);
getLeafSize1(root.right);
}
7. 子問題思路-求葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
//整棵樹的葉子結(jié)點(diǎn) = 左子樹葉子 + 右子樹葉子
int getLeafSize2(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
if(root.left == null && root.right == null){
return 1;
}
return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
}
測試代碼：
public class test01 {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.getLeafSize1(root);
System.out.println(BinaryTree.leafSize);//遍歷思路-求葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
System.out.println("+++++++++++++");
//binaryTree.getLeafSize2(root);
//System.out.println(BinaryTree.leafSize);//子問題思路-求葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
System.out.println(binaryTree.getLeafSize2(root));
}
輸出結(jié)果：
8. 子問題思路-求第 k 層結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
// 子問題思路-求第 k 層結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
int getKLevelSize(TreeNode root,int k){
if(root == null){
return 0;
}
if(k == 1){
return 1;
}
return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k - 1);
}
測試代碼：
public class test01 {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.println(binaryTree.getKLevelSize(root,3));
}
輸出結(jié)果：
9. 獲取二叉樹的高度
int getHeight(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
int leftTree = getHeight(root.left);
int rightTree = getHeight(root.right);
return ((leftTree > rightTree) ? leftTree + 1 : rightTree + 1);
}
測試代碼：
public class test01 {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
int hight = binaryTree.getHeight(root);
System.out.println(hight);
}
輸出結(jié)果：
10. 查找val所在的節(jié)點(diǎn)
查找 val 所在結(jié)點(diǎn)，沒有找到返回 null；
按照 根 -> 左子樹 -> 右子樹的順序進(jìn)行查找；
一旦找到，立即返回，不需要繼續(xù)在其他位置查找。
TreeNode find(TreeNode root, char val){
if(root == null){
return null;
}
if(root.val == val){
return root;
}
TreeNode ret = find(root.left,val);
if(ret != null){
return ret;
}
ret = find(root.right,val );
if(ret != null){
return ret;
}
return null;
}
測試代碼：
public class test01 {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
//查找樹中得指定val值
TreeNode ret = binaryTree.find(root,'f');//如果沒有找到則顯示空指針異常
System.out.println(ret.val);
}
輸出結(jié)果：
11.二叉樹的層序遍歷
// 層序遍歷
void levelOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode top = queue.poll();
System.out.print(top.val+" ");
if(top.left != null){
queue.offer(top.left);
}
if (top.right != null){
queue.offer(top.right);
}
}
System.out.println();
}
測試代碼：
public class test01 {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.levelOrderTraversal(root);//層序遍歷
}
輸出結(jié)果：
12.判斷一棵樹是不是完全二叉樹
// 判斷一棵樹是不是完全二叉樹
boolean isCompleteTree(TreeNode root){
if(root == null){
return true;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode top = queue.poll();//彈出一個(gè)元素
if(top != null){
queue.offer(top.left);
queue.offer(top.right);
}else{
break;
}
}
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.peek();
if (cur == null){
queue.poll();
}else {
//說明不是完全二叉樹
return false;
}
}
return true;
}
測試代碼：
public class test01 {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
//判斷一棵樹是不是完全二叉樹
System.out.println(binaryTree.isCompleteTree(root));
}
輸出結(jié)果：
13.非遞歸實(shí)現(xiàn)前序遍歷
//非遞歸實(shí)現(xiàn)
// 前序遍歷
void preOrderTraversalNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
TreeNode cur = root;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
while (cur != null || !stack.empty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val + " ");
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
cur = top.right;
}
}
14.非遞歸實(shí)現(xiàn)中序遍歷
// 中序遍歷
void inOrderTraversalNor(TreeNode root){
if (root == null) {
return;
}
TreeNode cur = root;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
while (cur != null || !stack.empty()){
while (cur != null){
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
System.out.print(top.val + " ");
cur = top.right;
}
}
15.非遞歸實(shí)現(xiàn)后序遍歷
// 后序遍歷非遞歸
void postOrderTraversalNor(TreeNode root){
if (root == null) {
return;
}
TreeNode cur = root;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode pre = null;//用來指定上一個(gè)被打印過的元素
while (cur != null || !stack.empty()){
while (cur != null){
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
cur = stack.peek();
if(cur.right == null || cur.right == pre ){
TreeNode popNode = stack.pop();
System.out.print(popNode.val + " ");
pre = cur;
cur = null;
}else {
cur = cur.right;
}
}
}
測試代碼：
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
// binaryTree.preOrderTraversal(root);//前序遍歷
//System.out.println();
binaryTree.preOrderTraversalNor(root);//前序遍歷非遞歸
System.out.println();
//binaryTree.postOrderTraversal(root);//后序遍歷
//System.out.println();
binaryTree.postOrderTraversalNor(root);//后序遍歷非遞歸
System.out.println();
//binaryTree.inOrderTraversal(root);//中序遍歷
//System.out.println();
binaryTree.inOrderTraversalNor(root);//中序遍歷非遞歸
System.out.println();
}
輸出結(jié)果：前、后、中
以上。
總結(jié)
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這篇文章主要介紹了使用SpringAOP獲取用戶操作日志入庫，具有很好的參考價(jià)值，希望對大家有所幫助。如有錯(cuò)誤或未考慮完全的地方，望不吝賜教2021-11-11
SpringBoot實(shí)現(xiàn)圖片識別文字的四種方式小結(jié)
本文主要介紹了SpringBoot實(shí)現(xiàn)圖片識別文字的四種方式，包括Tess4J，百度智能云，阿里云，騰訊云這四種，具有一定的參考價(jià)值，感興趣的可以了解一下2024-02-02
以下簡單介紹了下我對于這些java基本知識點(diǎn)和技術(shù)點(diǎn)的一些看法和心得，這些內(nèi)容都源自于我這些年來使用java的一些總結(jié),希望能夠給你帶來幫助2021-06-06
使用SpringBoot簡單了解Druid的監(jiān)控系統(tǒng)的配置方法
這篇文章主要介紹了使用SpringBoot簡單了解Druid的監(jiān)控系統(tǒng)的配置，本文給大家介紹的非常詳細(xì)，對大家的學(xué)習(xí)或工作具有一定的參考借鑒價(jià)值,需要的朋友可以參考下2020-06-06
今天給大家復(fù)習(xí)一下Java基礎(chǔ)知識,簡單介紹Maven,文中有非常詳細(xì)的解釋,對Java初學(xué)者很有幫助喲,需要的朋友可以參考下，希望能夠給你帶來幫助2021-09-09
這篇文章主要介紹了快速入門HarmonyOS的Java UI框架,本文給大家介紹的非常詳細(xì)對大家的學(xué)習(xí)或工作具有一定的參考借鑒價(jià)值，需要的朋友可以參考下2020-09-09