帶你了解Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法之2-3-4樹
1、2-3-4 樹介紹
2-3-4樹每個節(jié)點最多有四個字節(jié)點和三個數(shù)據(jù)項,名字中 2,3,4 的數(shù)字含義是指一個節(jié)點可能含有的子節(jié)點的個數(shù)。對于非葉節(jié)點有三種可能的情況:
①、有一個數(shù)據(jù)項的節(jié)點總是有兩個子節(jié)點;
②、有二個數(shù)據(jù)項的節(jié)點總是有三個子節(jié)點;
③、有三個數(shù)據(jù)項的節(jié)點總是有四個子節(jié)點;
簡而言之,非葉節(jié)點的子節(jié)點數(shù)總是比它含有的數(shù)據(jù)項多1。如果子節(jié)點個數(shù)為L,數(shù)據(jù)項個數(shù)為D,那么:L = D + 1

葉節(jié)點(上圖最下面的一排)是沒有子節(jié)點的,然而它可能含有一個、兩個或三個數(shù)據(jù)項。空節(jié)點是不會存在的。
樹結(jié)構(gòu)中很重要的一點就是節(jié)點之間關(guān)鍵字值大小的關(guān)系。在二叉樹中,所有關(guān)鍵字值比某個節(jié)點值小的節(jié)點都在這個節(jié)點左子節(jié)點為根的子樹上;所有關(guān)鍵字值比某個節(jié)點值大的節(jié)點都在這個節(jié)點右子節(jié)點為根的子樹上。2-3-4 樹規(guī)則也是一樣,并且還加上以下幾點:
為了方便描述,用從0到2的數(shù)字給數(shù)據(jù)項編號,用0到3的數(shù)字給子節(jié)點編號,如下圖:

①、根是child0的子樹的所有子節(jié)點的關(guān)鍵字值小于key0;
②、根是child1的子樹的所有子節(jié)點的關(guān)鍵字值大于key0并且小于key1;
③、根是child2的子樹的所有子節(jié)點的關(guān)鍵字值大于key1并且小于key2;
④、根是child3的子樹的所有子節(jié)點的關(guān)鍵字值大于key2。
簡化關(guān)系如下圖,由于2-3-4樹中一般不允許出現(xiàn)重復(fù)關(guān)鍵值,所以不用考慮比較關(guān)鍵值相同的情況。

2、搜索2-3-4樹
查找特定關(guān)鍵字值的數(shù)據(jù)項和在二叉樹中的搜索類似。從根節(jié)點開始搜索,除非查找的關(guān)鍵字值就是根,否則選擇關(guān)鍵字值所在的合適范圍,轉(zhuǎn)向那個方向,直到找到為止。
比如對于下面這幅圖,我們需要查找關(guān)鍵字值為 64 的數(shù)據(jù)項。

首先從根節(jié)點開始,根節(jié)點只有一個數(shù)據(jù)項50,沒有找到,而且因為64比50大,那么轉(zhuǎn)到根節(jié)點的子節(jié)點child1。60|70|80 也沒有找到,而且60<64<70,所以我們還是找該節(jié)點的child1,62|64|66,我們發(fā)現(xiàn)其第二個數(shù)據(jù)項正好是64,于是找到了。
3、插入
新的數(shù)據(jù)項一般要插在葉節(jié)點里,在樹的最底層。如果你插入到有子節(jié)點的節(jié)點里,那么子節(jié)點的編號就要發(fā)生變化來維持樹的結(jié)構(gòu),因為在2-3-4樹中節(jié)點的子節(jié)點要比數(shù)據(jù)項多1。
插入操作有時比較簡單,有時卻很復(fù)雜。
①、當(dāng)插入沒有滿數(shù)據(jù)項的節(jié)點時是很簡單的,找到合適的位置,只需要把新數(shù)據(jù)項插入就可以了,插入可能會涉及到在一個節(jié)點中移動一個或其他兩個數(shù)據(jù)項,這樣在新的數(shù)據(jù)項插入后關(guān)鍵字值仍保持正確的順序。如下圖:

②、如果往下尋找插入位置的途中,節(jié)點已經(jīng)滿了,那么插入就變得復(fù)雜了。發(fā)生這種情況時,節(jié)點必須分裂,分裂能保證2-3-4樹的平衡。
ps:這里討論的是自頂向下的2-3-4樹,因為是在向下找到插入點的路途中節(jié)點發(fā)生了分裂。把要分裂的數(shù)據(jù)項設(shè)為A,B,C,下面是節(jié)點分裂的情況(假設(shè)分裂的節(jié)點不是根節(jié)點):
1、節(jié)點分裂
一、創(chuàng)建一個新的空節(jié)點,它是要分裂節(jié)點的兄弟,在要分裂節(jié)點的右邊;
二、數(shù)據(jù)項C移到新節(jié)點中;
三、數(shù)據(jù)項B移到要分裂節(jié)點的父節(jié)點中;
四、數(shù)據(jù)項A保留在原來的位置;
五、最右邊的兩個子節(jié)點從要分裂處斷開,連到新節(jié)點上。

上圖描述了節(jié)點分裂的例子,另一種描述節(jié)點分裂的說法是4-節(jié)點變成了兩個 2- 節(jié)點。節(jié)點分裂是把數(shù)據(jù)向上和向右移動,從而保持了數(shù)的平衡。一般插入只需要分裂一個節(jié)點,除非插入路徑上存在不止一個滿節(jié)點時,這種情況就需要多重分裂。
2、根的分裂
如果一開始查找插入節(jié)點時就碰到滿的根節(jié)點,那么插入過程更復(fù)雜:
①、創(chuàng)建新的根節(jié)點,它是要分裂節(jié)點的父節(jié)點。
②、創(chuàng)建第二個新的節(jié)點,它是要分裂節(jié)點的兄弟節(jié)點;
③、數(shù)據(jù)項C移到新的兄弟節(jié)點中;
④、數(shù)據(jù)項B移到新的根節(jié)點中;
⑤、數(shù)據(jù)項A保留在原來的位置;
⑥、要分裂節(jié)點最右邊的兩個子節(jié)點斷開連接,連到新的兄弟節(jié)點中。

上圖便是根分裂的情況,分裂完成之后,整個樹的高度加1。另外一種描述根分裂的方法是說4-節(jié)點變成三個2-節(jié)點。
注意:插入時,碰到?jīng)]有滿的節(jié)點時,要繼續(xù)向下尋找其子節(jié)點進(jìn)行插入。如果直接插入該節(jié)點,那么還要進(jìn)行子節(jié)點的增加,因為在2-3-4樹中節(jié)點的子節(jié)點個數(shù)要比數(shù)據(jù)項多1;如果插入的節(jié)點滿了,那么就要進(jìn)行節(jié)點分裂。下圖是一系列插入過程,有4個節(jié)點分裂了,兩個是根,兩個是葉節(jié)點:

4、完整源碼實現(xiàn)
分為節(jié)點類Node,表示每個節(jié)點的數(shù)據(jù)項類DataItem,以及最后的2-3-4樹類Tree234.class
package com.ys.tree.twothreefour;
public class Tree234 {
private Node root = new Node() ;
/*public Tree234(){
root = new Node();
}*/
//查找關(guān)鍵字值
public int find(long key){
Node curNode = root;
int childNumber ;
while(true){
if((childNumber = curNode.findItem(key))!=-1){
return childNumber;
}else if(curNode.isLeaf()){//節(jié)點是葉節(jié)點
return -1;
}else{
curNode = getNextChild(curNode,key);
}
}
}
public Node getNextChild(Node theNode,long theValue){
int j;
int numItems = theNode.getNumItems();
for(j = 0 ; j < numItems ; j++){
if(theValue < theNode.getItem(j).dData){
return theNode.getChild(j);
}
}
return theNode.getChild(j);
}
//插入數(shù)據(jù)項
public void insert(long dValue){
Node curNode = root;
DataItem tempItem = new DataItem(dValue);
while(true){
if(curNode.isFull()){//如果節(jié)點滿數(shù)據(jù)項了,則分裂節(jié)點
split(curNode);
curNode = curNode.getParent();
curNode = getNextChild(curNode, dValue);
}else if(curNode.isLeaf()){//當(dāng)前節(jié)點是葉節(jié)點
break;
}else{
curNode = getNextChild(curNode, dValue);
}
}//end while
curNode.insertItem(tempItem);
}
public void split(Node thisNode){
DataItem itemB,itemC;
Node parent,child2,child3;
int itemIndex;
itemC = thisNode.removeItem();
itemB = thisNode.removeItem();
child2 = thisNode.disconnectChild(2);
child3 = thisNode.disconnectChild(3);
Node newRight = new Node();
if(thisNode == root){//如果當(dāng)前節(jié)點是根節(jié)點,執(zhí)行根分裂
root = new Node();
parent = root;
root.connectChild(0, thisNode);
}else{
parent = thisNode.getParent();
}
//處理父節(jié)點
itemIndex = parent.insertItem(itemB);
int n = parent.getNumItems();
for(int j = n-1; j > itemIndex ; j--){
Node temp = parent.disconnectChild(j);
parent.connectChild(j+1, temp);
}
parent.connectChild(itemIndex+1, newRight);
//處理新建的右節(jié)點
newRight.insertItem(itemC);
newRight.connectChild(0, child2);
newRight.connectChild(1, child3);
}
//打印樹節(jié)點
public void displayTree(){
recDisplayTree(root,0,0);
}
private void recDisplayTree(Node thisNode,int level,int childNumber){
System.out.println("levle="+level+" child="+childNumber+" ");
thisNode.displayNode();
int numItems = thisNode.getNumItems();
for(int j = 0; j < numItems+1 ; j++){
Node nextNode = thisNode.getChild(j);
if(nextNode != null){
recDisplayTree(nextNode, level+1, j);
}else{
return;
}
}
}
//數(shù)據(jù)項
class DataItem{
public long dData;
public DataItem(long dData){
this.dData = dData;
}
public void displayItem(){
System.out.println("/"+dData);
}
}
//節(jié)點
class Node{
private static final int ORDER = 4;
private int numItems;//表示該節(jié)點有多少個數(shù)據(jù)項
private Node parent;//父節(jié)點
private Node childArray[] = new Node[ORDER];//存儲子節(jié)點的數(shù)組,最多有4個子節(jié)點
private DataItem itemArray[] = new DataItem[ORDER-1];//存放數(shù)據(jù)項的數(shù)組,一個節(jié)點最多有三個數(shù)據(jù)項
//連接子節(jié)點
public void connectChild(int childNum,Node child){
childArray[childNum] = child;
if(child != null){
child.parent = this;
}
}
//斷開與子節(jié)點的連接,并返回該子節(jié)點
public Node disconnectChild(int childNum){
Node tempNode = childArray[childNum];
childArray[childNum] = null;
return tempNode;
}
//得到節(jié)點的某個子節(jié)點
public Node getChild(int childNum){
return childArray[childNum];
}
//得到父節(jié)點
public Node getParent(){
return parent;
}
//判斷是否是葉節(jié)點
public boolean isLeaf(){
return (childArray[0] == null)?true:false;
}
//得到節(jié)點數(shù)據(jù)項的個數(shù)
public int getNumItems(){
return numItems;
}
//得到節(jié)點的某個數(shù)據(jù)項
public DataItem getItem(int index){
return itemArray[index];
}
//判斷節(jié)點的數(shù)據(jù)項是否滿了(最多3個)
public boolean isFull(){
return (numItems == ORDER-1) ? true:false;
}
//找到數(shù)據(jù)項在節(jié)點中的位置
public int findItem(long key){
for(int j = 0 ; j < ORDER-1 ; j++){
if(itemArray[j]==null){
break;
}else if(itemArray[j].dData == key){
return j;
}
}
return -1;
}
//將數(shù)據(jù)項插入到節(jié)點
public int insertItem(DataItem newItem){
numItems++;
long newKey = newItem.dData;
for(int j = ORDER-2 ; j >= 0 ; j--){
if(itemArray[j] == null){//如果為空,繼續(xù)向前循環(huán)
continue;
}else{
long itsKey = itemArray[j].dData;//保存節(jié)點某個位置的數(shù)據(jù)項
if(newKey < itsKey){//如果比新插入的數(shù)據(jù)項大
itemArray[j+1] = itemArray[j];//將大數(shù)據(jù)項向后移動一位
}else{
itemArray[j+1] = newItem;//如果比新插入的數(shù)據(jù)項小,則直接插入
return j+1;
}
}
}
//如果都為空,或者都比待插入的數(shù)據(jù)項大,則將待插入的數(shù)據(jù)項放在節(jié)點第一個位置
itemArray[0] = newItem;
return 0;
}
//移除節(jié)點的數(shù)據(jù)項
public DataItem removeItem(){
DataItem temp = itemArray[numItems-1];
itemArray[numItems-1] = null;
numItems--;
return temp;
}
//打印節(jié)點的所有數(shù)據(jù)項
public void displayNode(){
for(int j = 0 ; j < numItems ; j++){
itemArray[j].displayItem();
}
System.out.println("/");
}
}
}5、2-3-4樹和紅黑樹
2-3-4樹是多叉樹,而紅黑樹是二叉樹,看上去可能完全不同,但是,在某種意義上它們又是完全相同的,一個可以通過應(yīng)用一些簡單的規(guī)則變成另一個,而且使他們保持平衡的操作也是一樣,數(shù)學(xué)上稱他們?yōu)橥瑯?gòu)。
①、對應(yīng)規(guī)則
應(yīng)用如下三條規(guī)則可以將2-3-4樹轉(zhuǎn)化為紅黑樹:
一、把2-3-4樹中的每個2-節(jié)點轉(zhuǎn)化為紅-黑樹的黑色節(jié)點。
二、把每個3-節(jié)點轉(zhuǎn)化為一個子節(jié)點和一個父節(jié)點,子節(jié)點有兩個自己的子節(jié)點:W和X或X和Y。父節(jié)點有另一個子節(jié)點:Y或W。哪個節(jié)點變成子節(jié)點或父節(jié)點都無所謂。子節(jié)點涂成紅色,父節(jié)點涂成黑色。
三、把每個4-節(jié)點轉(zhuǎn)化為一個父節(jié)點和兩個子節(jié)點。第一個子節(jié)點有它自己的子節(jié)點W和X;第二個子節(jié)點擁有子節(jié)點Y和Z。和前面一樣,子節(jié)點涂成紅色,父節(jié)點涂成黑色。

下圖是一顆2-3-4樹轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的紅-黑樹。虛線環(huán)繞的子樹是由3-節(jié)點和4-節(jié)點變成的。轉(zhuǎn)化后符合紅-黑樹的規(guī)則,根節(jié)點為紅色,兩個紅色節(jié)點不會相連,每條從根到葉節(jié)點的路徑上的黑節(jié)點個數(shù)是一樣的。

②、操作等價
不僅紅-黑樹的結(jié)構(gòu)與2-3-4樹對應(yīng),而且兩種樹操作也一樣。2-3-4樹用節(jié)點分裂保持平衡,紅-黑樹用顏色變換和旋轉(zhuǎn)保持平衡。

上圖是4-節(jié)點分裂。虛線環(huán)繞的部分等價于4-節(jié)點。顏色變換之后,40,60節(jié)點都為黑色的,50節(jié)點是紅色的。因此,節(jié)點 50 和它的父節(jié)點70 對于3-節(jié)點,如上圖虛線所示。
6、2-3-4 樹的效率
分析2-3-4樹我們可以和紅黑樹作比較分析。紅-黑樹的層數(shù)(平衡二叉樹)大約是log2(N+1),而2-3-4樹每個節(jié)點可以最多有4個數(shù)據(jù)項,如果節(jié)點都是滿的,那么高度和log4N。因此在所有節(jié)點都滿的情況下,2-3-4樹的高度大致是紅-黑樹的一半。不過他們不可能都是滿的,所以2-3-4樹的高度大致在log2(N+1)和log2(N+1)/2。減少2-3-4樹的高度可以使它的查找時間比紅-黑樹的短一些。
但是另一方面,每個節(jié)點要查看的數(shù)據(jù)項就多了,這會增加查找時間。因為節(jié)點中用線性搜索來查看數(shù)據(jù)項,使得查找時間的倍數(shù)和M成正比,即每個節(jié)點數(shù)據(jù)項的平均數(shù)量??偟牟檎視r間和M*log4N成正比。
總結(jié)
本篇文章就到這里了,希望能夠給你帶來幫助,也希望您能夠多多關(guān)注腳本之家的更多內(nèi)容!
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