帶你了解Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法之哈希表
1、哈希函數(shù)的引入
大家都用過字典,字典的優(yōu)點(diǎn)是我們可以通過前面的目錄快速定位到所要查找的單詞。如果我們想把一本英文字典的每個(gè)單詞,從 a 到 zyzzyva(這是牛津字典的最后一個(gè)單詞),都寫入計(jì)算機(jī)內(nèi)存,以便快速讀寫,那么哈希表是個(gè)不錯(cuò)的選擇。
這里我們將范圍縮小點(diǎn),比如想在內(nèi)存中存儲(chǔ)5000個(gè)英文單詞。我們可能想到每個(gè)單詞會(huì)占用一個(gè)數(shù)組單元,那么數(shù)組的大小是5000,同時(shí)可以用數(shù)組下標(biāo)存取單詞,這樣設(shè)想很完美,但是數(shù)組下標(biāo)和單詞怎么建立聯(lián)系呢?
首先我們要建立單詞和數(shù)字(數(shù)組下標(biāo))的關(guān)系:
我們知道 ASCII 是一種編碼,其中 a 表示97,b表示98,以此類推,一直到122表示z,而每個(gè)單詞都是由這26個(gè)字母組成,我們可以不用 ASCII 編碼那么大的數(shù)字,自己設(shè)計(jì)一套類似 ASCII的編碼,比如a表示1,b表示2,依次類推,z表示26,那么表示方法我們就知道了。
接下來如何把單個(gè)字母的數(shù)字組合成代表整個(gè)單詞的數(shù)字呢?
①、把數(shù)字相加
首先第一種簡(jiǎn)單的方法就是把單詞的每個(gè)字母表示的數(shù)字相加,得到的和便是數(shù)組的下標(biāo)。
比如單詞 cats 轉(zhuǎn)換成數(shù)字:
cats = 3 + 1 + 20 + 19 = 43
那么單詞 cats 存儲(chǔ)在數(shù)組中的下標(biāo)為43,所有的英文單詞都可以用這個(gè)辦法轉(zhuǎn)換成數(shù)組下標(biāo)。但是這個(gè)辦法真的可行嗎?
假設(shè)我們約定一個(gè)單詞最多有 10 個(gè)字母,那么字典的最后一個(gè)單詞為 zzzzzzzzzz ,其轉(zhuǎn)換為數(shù)字:
zzzzzzzzzz = 26*10 = 260
那么我們可以得到單詞編碼的范圍是從1-260。很顯然,這個(gè)范圍是不夠存儲(chǔ)5000個(gè)單詞的,那么肯定有一個(gè)位置存儲(chǔ)了多個(gè)單詞,每個(gè)數(shù)組的數(shù)據(jù)項(xiàng)平均要存儲(chǔ)192個(gè)單詞(5000除以260)。
對(duì)于上面的問題,我們?nèi)绾谓鉀Q呢?
第一種方法:考慮每個(gè)數(shù)組項(xiàng)包含一個(gè)子數(shù)組或者一個(gè)子鏈表,這個(gè)辦法存數(shù)據(jù)項(xiàng)確實(shí)很快,但是如果我們想要從192個(gè)單詞中查找到其中一個(gè),那么還是很慢。
第二種方法:為啥要讓那么多單詞占據(jù)同一個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)呢?也就是說我們沒有把單詞分的足夠開,數(shù)組能表示的元素太少,我們需要擴(kuò)展數(shù)組的下標(biāo),使其每個(gè)位置都只存放一個(gè)單詞。
對(duì)于上面的第二種方法,問題產(chǎn)生了,我們?nèi)绾螖U(kuò)展數(shù)組的下標(biāo)呢?
②、冪的連乘
我們將單詞表示的數(shù)拆成數(shù)列,用適當(dāng)?shù)?27 的冪乘以這些位數(shù)(因?yàn)橛?6個(gè)可能的字符,以及空格,一共27個(gè)),然后把乘積相加,這樣就得出了每個(gè)單詞獨(dú)一無二的數(shù)字。
比如把單詞cats 轉(zhuǎn)換為數(shù)字:
cats = 3*273 + 1*272 + 20*271 + 19*270 = 59049 + 729 + 540 + 19 = 60337
這個(gè)過程會(huì)為每個(gè)單詞創(chuàng)建一個(gè)獨(dú)一無二的數(shù),但是注意的是我們這里只是計(jì)算了 4 個(gè)字母組成的單詞,如果單詞很長(zhǎng),比如最長(zhǎng)的10個(gè)字母的單詞 zzzzzzzzzz,僅僅是279 結(jié)果就超出了7000000000000,這個(gè)結(jié)果是很巨大的,在實(shí)際內(nèi)存中,根本不可能為一個(gè)數(shù)組分配這么大的空間。
所以這個(gè)方案的問題就是雖然為每個(gè)單詞都分配了獨(dú)一無二的下標(biāo),但是只有一小部分存放了單詞,很大一部分都是空著的。那么現(xiàn)在就需要一種方法,把數(shù)位冪的連乘系統(tǒng)中得到的巨大的整數(shù)范圍壓縮到可接受的數(shù)組范圍中。
對(duì)于英語字典,假設(shè)只有5000個(gè)單詞,這里我們選定容量為10000 的數(shù)組空間來存放(后面會(huì)介紹為啥需要多出一倍的空間)。那么我們就需要將從 0 到超過 7000000000000 的范圍,壓縮到從0到10000的范圍。
第一種方法:取余,得到一個(gè)數(shù)被另一個(gè)整數(shù)除后的余數(shù)。首先我們假設(shè)要把從0-199的數(shù)字(用largeNumber表示),壓縮為從0-9的數(shù)字(用smallNumber表示),后者有10個(gè)數(shù),所以變量smallRange 的值為10,這個(gè)轉(zhuǎn)換的表達(dá)式為:
smallNumber = largeNumber % smallRange
當(dāng)一個(gè)數(shù)被 10 整除時(shí),余數(shù)一定在0-9之間,這樣,我們就把從0-199的數(shù)壓縮為從0-9的數(shù),壓縮率為 20 :1。
我們也可以用類似的方法把表示單詞唯一的數(shù)壓縮成數(shù)組的下標(biāo):
arrayIndex = largerNumber % smallRange
這也就是哈希函數(shù)。它把一個(gè)大范圍的數(shù)字哈希(轉(zhuǎn)化)成一個(gè)小范圍的數(shù)字,這個(gè)小范圍的數(shù)對(duì)應(yīng)著數(shù)組的下標(biāo)。使用哈希函數(shù)向數(shù)組插入數(shù)據(jù)后,這個(gè)數(shù)組就是哈希表。
2、沖突
把巨大的數(shù)字范圍壓縮到較小的數(shù)字范圍,那么肯定會(huì)有幾個(gè)不同的單詞哈希化到同一個(gè)數(shù)組下標(biāo),即產(chǎn)生了沖突。
沖突可能會(huì)導(dǎo)致哈?;桨笩o法實(shí)施,前面我們說指定的數(shù)組范圍大小是實(shí)際存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的兩倍,因此可能有一半的空間是空著的,所以,當(dāng)沖突產(chǎn)生時(shí),一個(gè)方法是通過系統(tǒng)的方法找到數(shù)組的一個(gè)空位,并把這個(gè)單詞填入,而不再用哈希函數(shù)得到數(shù)組的下標(biāo),這種方法稱為開放地址法。比如加入單詞 cats 哈?;慕Y(jié)果為5421,但是它的位置已經(jīng)被單詞parsnip占用了,那么我們會(huì)考慮將單詞 cats 存放在parsnip后面的一個(gè)位置 5422 上。
另一種方法,前面我們也提到過,就是數(shù)組的每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)都創(chuàng)建一個(gè)子鏈表或子數(shù)組,那么數(shù)組內(nèi)不直接存放單詞,當(dāng)產(chǎn)生沖突時(shí),新的數(shù)據(jù)項(xiàng)直接存放到這個(gè)數(shù)組下標(biāo)表示的鏈表中,這種方法稱為鏈地址法。
3、開放地址法
開發(fā)地址法中,若數(shù)據(jù)項(xiàng)不能直接存放在由哈希函數(shù)所計(jì)算出來的數(shù)組下標(biāo)時(shí),就要尋找其他的位置。分別有三種方法:線性探測(cè)、二次探測(cè)以及再哈希法。
①、線性探測(cè)
在線性探測(cè)中,它會(huì)線性的查找空白單元。比如如果 5421 是要插入數(shù)據(jù)的位置,但是它已經(jīng)被占用了,那么就使用5422,如果5422也被占用了,那么使用5423,以此類推,數(shù)組下標(biāo)依次遞增,直到找到空白的位置。這就叫做線性探測(cè),因?yàn)樗刂鴶?shù)組下標(biāo)一步一步順序的查找空白單元。
完整代碼:
需要注意的是,當(dāng)哈希表變得太滿時(shí),我們需要擴(kuò)展數(shù)組,但是需要注意的是,數(shù)據(jù)項(xiàng)不能放到新數(shù)組中和老數(shù)組相同的位置,而是要根據(jù)數(shù)組大小重新計(jì)算插入位置。這是一個(gè)比較耗時(shí)的過程,所以一般我們要確定數(shù)據(jù)的范圍,給定好數(shù)組的大小,而不再擴(kuò)容。
另外,當(dāng)哈希表變得比較滿時(shí),我們每插入一個(gè)新的數(shù)據(jù),都要頻繁的探測(cè)插入位置,因?yàn)榭赡芎芏辔恢枚急磺懊娌迦氲臄?shù)據(jù)所占用了,這稱為聚集。數(shù)組填的越滿,聚集越可能發(fā)生。
這就像人群,當(dāng)某個(gè)人在商場(chǎng)暈倒時(shí),人群就會(huì)慢慢聚集。最初的人群聚過來是因?yàn)榭吹搅四莻€(gè)倒下的人,而后面聚過來的人是因?yàn)樗鼈兿胫肋@些人聚在一起看什么。人群聚集的越大,吸引的人就會(huì)越多。
②、裝填因子
已填入哈希表的數(shù)據(jù)項(xiàng)和表長(zhǎng)的比率叫做裝填因子,比如有10000個(gè)單元的哈希表填入了6667 個(gè)數(shù)據(jù)后,其裝填因子為 2/3。當(dāng)裝填因子不太大時(shí),聚集分布的比較連貫,而裝填因子比較大時(shí),則聚集發(fā)生的很大了。
我們知道線性探測(cè)是一步一步的往后面探測(cè),當(dāng)裝填因子比較大時(shí),會(huì)頻繁的產(chǎn)生聚集,那么如果我們探測(cè)比較大的單元,而不是一步一步的探測(cè)呢,這就是下面要講的二次探測(cè)。
③、二次探測(cè)
二測(cè)探測(cè)是防止聚集產(chǎn)生的一種方式,思想是探測(cè)相距較遠(yuǎn)的單元,而不是和原始位置相鄰的單元。
線性探測(cè)中,如果哈希函數(shù)計(jì)算的原始下標(biāo)是x, 線性探測(cè)就是x+1, x+2, x+3, 以此類推;而在二次探測(cè)中,探測(cè)的過程是x+1, x+4, x+9, x+16,以此類推,到原始位置的距離是步數(shù)的平方。二次探測(cè)雖然消除了原始的聚集問題,但是產(chǎn)生了另一種更細(xì)的聚集問題,叫二次聚集:比如講184,302,420和544依次插入表中,它們的映射都是7,那么302需要以1為步長(zhǎng)探測(cè),420需要以4為步長(zhǎng)探測(cè), 544需要以9為步長(zhǎng)探測(cè)。只要有一項(xiàng)其關(guān)鍵字映射到7,就需要更長(zhǎng)步長(zhǎng)的探測(cè),這個(gè)現(xiàn)象叫做二次聚集。二次聚集不是一個(gè)嚴(yán)重的問題,但是二次探測(cè)不會(huì)經(jīng)常使用,因?yàn)檫€有好的解決方法,比如再哈希法。
④、再哈希法
為了消除原始聚集和二次聚集,我們使用另外一種方法:再哈希法。
我們知道二次聚集的原因是,二測(cè)探測(cè)的算法產(chǎn)生的探測(cè)序列步長(zhǎng)總是固定的:1,4,9,16以此類推。那么我們想到的是需要產(chǎn)生一種依賴關(guān)鍵字的探測(cè)序列,而不是每個(gè)關(guān)鍵字都一樣,那么,不同的關(guān)鍵字即使映射到相同的數(shù)組下標(biāo),也可以使用不同的探測(cè)序列。
方法是把關(guān)鍵字用不同的哈希函數(shù)再做一遍哈?;眠@個(gè)結(jié)果作為步長(zhǎng)。對(duì)于指定的關(guān)鍵字,步長(zhǎng)在整個(gè)探測(cè)中是不變的,不過不同的關(guān)鍵字使用不同的步長(zhǎng)。
第二個(gè)哈希函數(shù)必須具備如下特點(diǎn):
一、和第一個(gè)哈希函數(shù)不同
二、不能輸出0(否則,將沒有步長(zhǎng),每次探測(cè)都是原地踏步,算法將陷入死循環(huán))。
專家們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)下面形式的哈希函數(shù)工作的非常好:stepSize = constant - key % constant; 其中constant是質(zhì)數(shù),且小于數(shù)組容量。
再哈希法要求表的容量是一個(gè)質(zhì)數(shù),假如表長(zhǎng)度為15(0-14),非質(zhì)數(shù),有一個(gè)特定關(guān)鍵字映射到0,步長(zhǎng)為5,則探測(cè)序列是0,5,10,0,5,10,以此類推一直循環(huán)下去。算法只嘗試這三個(gè)單元,所以不可能找到某些空白單元,最終算法導(dǎo)致崩潰。如果數(shù)組容量為13, 質(zhì)數(shù),探測(cè)序列最終會(huì)訪問所有單元。即0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,一直下去,只要表中有一個(gè)空位,就可以探測(cè)到它。
完整再哈希法代碼:
package com.ys.hash; public class HashDouble { private DataItem[] hashArray; //DataItem類,表示每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)信息 private int arraySize;//數(shù)組的初始大小 private int itemNum;//數(shù)組實(shí)際存儲(chǔ)了多少項(xiàng)數(shù)據(jù) private DataItem nonItem;//用于刪除數(shù)據(jù)項(xiàng) public HashDouble(){ this.arraySize = 13; hashArray = new DataItem[arraySize]; nonItem = new DataItem(-1);//刪除的數(shù)據(jù)項(xiàng)下標(biāo)為-1 } //判斷數(shù)組是否存儲(chǔ)滿了 public boolean isFull(){ return (itemNum == arraySize); } //判斷數(shù)組是否為空 public boolean isEmpty(){ return (itemNum == 0); } //打印數(shù)組內(nèi)容 public void display(){ System.out.println("Table:"); for(int j = 0 ; j < arraySize ; j++){ if(hashArray[j] != null){ System.out.print(hashArray[j].getKey() + " "); }else{ System.out.print("** "); } } } //通過哈希函數(shù)轉(zhuǎn)換得到數(shù)組下標(biāo) public int hashFunction1(int key){ return key%arraySize; } public int hashFunction2(int key){ return 5 - key%5; } //插入數(shù)據(jù)項(xiàng) public void insert(DataItem item){ if(isFull()){ //擴(kuò)展哈希表 System.out.println("哈希表已滿,重新哈?;?.."); extendHashTable(); } int key = item.getKey(); int hashVal = hashFunction1(key); int stepSize = hashFunction2(key);//用第二個(gè)哈希函數(shù)計(jì)算探測(cè)步數(shù) while(hashArray[hashVal] != null && hashArray[hashVal].getKey() != -1){ hashVal += stepSize; hashVal %= arraySize;//以指定的步數(shù)向后探測(cè) } hashArray[hashVal] = item; itemNum++; } /** * 數(shù)組有固定的大小,而且不能擴(kuò)展,所以擴(kuò)展哈希表只能另外創(chuàng)建一個(gè)更大的數(shù)組,然后把舊數(shù)組中的數(shù)據(jù)插到新的數(shù)組中。 * 但是哈希表是根據(jù)數(shù)組大小計(jì)算給定數(shù)據(jù)的位置的,所以這些數(shù)據(jù)項(xiàng)不能再放在新數(shù)組中和老數(shù)組相同的位置上。 * 因此不能直接拷貝,需要按順序遍歷老數(shù)組,并使用insert方法向新數(shù)組中插入每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)。 * 這個(gè)過程叫做重新哈?;?。這是一個(gè)耗時(shí)的過程,但如果數(shù)組要進(jìn)行擴(kuò)展,這個(gè)過程是必須的。 */ public void extendHashTable(){ int num = arraySize; itemNum = 0;//重新計(jì)數(shù),因?yàn)橄旅嬉言瓉淼臄?shù)據(jù)轉(zhuǎn)移到新的擴(kuò)張的數(shù)組中 arraySize *= 2;//數(shù)組大小翻倍 DataItem[] oldHashArray = hashArray; hashArray = new DataItem[arraySize]; for(int i = 0 ; i < num ; i++){ insert(oldHashArray[i]); } } //刪除數(shù)據(jù)項(xiàng) public DataItem delete(int key){ if(isEmpty()){ System.out.println("Hash Table is Empty!"); return null; } int hashVal = hashFunction1(key); int stepSize = hashFunction2(key); while(hashArray[hashVal] != null){ if(hashArray[hashVal].getKey() == key){ DataItem temp = hashArray[hashVal]; hashArray[hashVal] = nonItem;//nonItem表示空Item,其key為-1 itemNum--; return temp; } hashVal += stepSize; hashVal %= arraySize; } return null; } //查找數(shù)據(jù)項(xiàng) public DataItem find(int key){ int hashVal = hashFunction1(key); int stepSize = hashFunction2(key); while(hashArray[hashVal] != null){ if(hashArray[hashVal].getKey() == key){ return hashArray[hashVal]; } hashVal += stepSize; hashVal %= arraySize; } return null; } public static class DataItem{ private int iData; public DataItem(int iData){ this.iData = iData; } public int getKey(){ return iData; } } }
4、鏈地址法
在開放地址法中,通過再哈希法尋找一個(gè)空位解決沖突問題,另一個(gè)方法是在哈希表每個(gè)單元中設(shè)置鏈表(即鏈地址法),某個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)的關(guān)鍵字值還是像通常一樣映射到哈希表的單元,而數(shù)據(jù)項(xiàng)本身插入到這個(gè)單元的鏈表中。其他同樣映射到這個(gè)位置的數(shù)據(jù)項(xiàng)只需要加到鏈表中,不需要在原始的數(shù)組中尋找空位。
有序鏈表:
package com.ys.hash; public class SortLink { private LinkNode first; public SortLink(){ first = null; } public boolean isEmpty(){ return (first == null); } public void insert(LinkNode node){ int key = node.getKey(); LinkNode previous = null; LinkNode current = first; while(current != null && current.getKey() < key){ previous = current; current = current.next; } if(previous == null){ first = node; }else{ previous.next = node; } node.next = curent; } public void delete(int key){ LinkNode previous = null; LinkNode current = first; if(isEmpty()){ System.out.println("Linked is Empty!!!"); return; } while(current != null && current.getKey() != key){ previous = current; current = current.next; } if(previous == null){ first = first.next; }else{ previous.next = current.next; } } public LinkNode find(int key){ LinkNode current = first; while(current != null && current.getKey() <= key){ if(current.getKey() == key){ return current; } current = current.next; } return null; } public void displayLink(){ System.out.println("Link(First->Last)"); LinkNode current = first; while(current != null){ current.displayLink(); current = current.next; } System.out.println(""); } class LinkNode{ private int iData; public LinkNode next; public LinkNode(int iData){ this.iData = iData; } public int getKey(){ return iData; } public void displayLink(){ System.out.println(iData + " "); } } }
鏈地址法:
package com.ys.hash; import com.ys.hash.SortLink.LinkNode; public class HashChain { private SortLink[] hashArray;//數(shù)組中存放鏈表 private int arraySize; public HashChain(int size){ arraySize = size; hashArray = new SortLink[arraySize]; //new 出每個(gè)空鏈表初始化數(shù)組 for(int i = 0 ; i < arraySize ; i++){ hashArray[i] = new SortLink(); } } public void displayTable(){ for(int i = 0 ; i < arraySize ; i++){ System.out.print(i + ":"); hashArray[i].displayLink(); } } public int hashFunction(int key){ return key%arraySize; } public void insert(LinkNode node){ int key = node.getKey(); int hashVal = hashFunction(key); hashArray[hashVal].insert(node);//直接往鏈表中添加即可 } public LinkNode delete(int key){ int hashVal = hashFunction(key); LinkNode temp = find(key); hashArray[hashVal].delete(key);//從鏈表中找到要?jiǎng)h除的數(shù)據(jù)項(xiàng),直接刪除 return temp; } public LinkNode find(int key){ int hashVal = hashFunction(key); LinkNode node = hashArray[hashVal].find(key); return node; } }
鏈地址法中,裝填因子(數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)和哈希表容量的比值)與開放地址法不同,在鏈地址法中,需要有N個(gè)單元的數(shù)組中轉(zhuǎn)入N個(gè)或更多的數(shù)據(jù)項(xiàng),因此裝填因子一般為1,或比1大(有可能某些位置包含的鏈表中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)項(xiàng))。
找到初始單元需要O(1)的時(shí)間級(jí)別,而搜索鏈表的時(shí)間與M成正比,M為鏈表包含的平均項(xiàng)數(shù),即O(M)的時(shí)間級(jí)別。
5、桶
另外一種方法類似于鏈地址法,它是在每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)中使用子數(shù)組,而不是鏈表。這樣的數(shù)組稱為桶。
這個(gè)方法顯然不如鏈表有效,因?yàn)橥暗娜萘坎缓眠x擇,如果容量太小,可能會(huì)溢出,如果太大,又造成性能浪費(fèi),而鏈表是動(dòng)態(tài)分配的,不存在此問題。所以一般不使用桶。
6、總結(jié)
哈希表基于數(shù)組,類似于key-value的存儲(chǔ)形式,關(guān)鍵字值通過哈希函數(shù)映射為數(shù)組的下標(biāo),如果一個(gè)關(guān)鍵字哈?;揭颜加玫臄?shù)組單元,這種情況稱為沖突。用來解決沖突的有兩種方法:開放地址法和鏈地址法。在開發(fā)地址法中,把沖突的數(shù)據(jù)項(xiàng)放在數(shù)組的其它位置;在鏈地址法中,每個(gè)單元都包含一個(gè)鏈表,把所有映射到同一數(shù)組下標(biāo)的數(shù)據(jù)項(xiàng)都插入到這個(gè)鏈表中。
本篇文章就到這里了,希望能夠給你帶來幫助,也希望您能夠多多關(guān)注腳本之家的更多內(nèi)容!
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