關(guān)于C++中二分法詳解
一、整數(shù)二分
單調(diào)性與二分的關(guān)系:有單調(diào)性一定可以二分,用二分不一定是單調(diào)性。二分的本質(zhì)不是單調(diào)性而是邊界點(diǎn)(找符合條件的最小的數(shù)或者最大的數(shù))整數(shù)二分是求紅色范圍的右端點(diǎn) 或者 綠色范圍的左端點(diǎn)

1.整數(shù)二分模板
bool check(int x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質(zhì)
// 區(qū)間[l, r]被劃分成[l, mid]和[mid + 1, r]時(shí)使用:
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判斷mid是否滿足性質(zhì)
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 區(qū)間[l, r]被劃分成[l, mid - 1]和[mid, r]時(shí)使用:
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
【模板1】
1、求紅色邊界點(diǎn)

注: + 1原因:
/ 是向下取整,當(dāng)l與r只相差1的時(shí)候,即 l = r - 1,最終的結(jié)果mid = l(即結(jié)果不變還是l),補(bǔ)上1之后 mid = r,再次循環(huán)之后l = r 即[r , r],最終結(jié)束循環(huán)。如果不補(bǔ)1將會(huì)出現(xiàn)死循環(huán)。
【模板2】
求綠色邊界點(diǎn)

2.求解二分問(wèn)題的思路
每次先劃分區(qū)間,寫一個(gè)mid,后面再考慮是否補(bǔ)上加1操作然后想一個(gè)check()函數(shù),康康是否滿足性質(zhì),根據(jù)check()函數(shù)的值取判斷怎么劃分(mid在哪一邊),到底是是l = mid,還是r = mid,第一種補(bǔ)上1即可。(關(guān)鍵是找性質(zhì),判斷是否滿足性質(zhì)然后判斷mid在左邊還是右邊)
3.練習(xí)
(1).數(shù)的范圍
給定一個(gè)按照升序排列的長(zhǎng)度為 nn 的整數(shù)數(shù)組,以及 qq 個(gè)查詢。
對(duì)于每個(gè)查詢,返回一個(gè)元素 kk 的起始位置和終止位置(位置從 00 開(kāi)始計(jì)數(shù))。
如果數(shù)組中不存在該元素,則返回
-1 -1。輸入格式
第一行包含整數(shù) n 和 q,表示數(shù)組長(zhǎng)度和詢問(wèn)個(gè)數(shù)。
第二行包含 nn 個(gè)整數(shù)(均在 1∼10000 范圍內(nèi)),表示完整數(shù)組。
接下來(lái) q行,每行包含一個(gè)整數(shù) k,表示一個(gè)詢問(wèn)元素。
輸出格式
共 q 行,每行包含兩個(gè)整數(shù),表示所求元素的起始位置和終止位置。
如果數(shù)組中不存在該元素,則返回
-1 -1。數(shù)據(jù)范圍
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000輸入樣例:
6 31 2 2 3 3 4345輸出樣例:
3 45 5-1 -1
思路:

【參考代碼】
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100000+10;
int q[N];
int main()
{
int n, m;
cin>> n >> m;
for(int i = 0; i < n; i++) cin>>q[i];
while(m--)
{
int x;
cin>> x;
// 尋找起始位置
int l = 0, r = n - 1;
while(l < r)
{
int mid =(l + r)/2;
if(q[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if(q[l] != x) cout<<"-1 -1"<<endl;
else{
cout<<l<<" ";
// 尋找終點(diǎn)位置
int l = 0, r = n - 1;
while(l<r)
{
int mid = (l + r + 1)/2;
if(q[mid] <= x) l = mid;
else r = mid - 1;
}
cout<< l << endl;
}
}
return 0;
}
(2).0到n-1中缺失的數(shù)字
(二分) O(logn)
這道題目給定的是遞增數(shù)組,假設(shè)數(shù)組中第一個(gè)缺失的數(shù)是 x,那么數(shù)組中的數(shù)如下所示;

從中可以看出,數(shù)組左邊藍(lán)色部分都滿足nums[i] == i,數(shù)組右邊橙色部分都不滿足nums[i] == i,因此我們可以二分出分界點(diǎn) x 的值。
另外要注意特殊情況:當(dāng)所有數(shù)都滿足nums[i] == i時(shí),表示缺失的是 n。
時(shí)間復(fù)雜度分析
二分中的迭代只會(huì)執(zhí)行 O(logn) 次,因此時(shí)間復(fù)雜度是O(logn)。

class Solution {
public:
int getMissingNumber(vector<int>& nums) {
if(nums.size() == 0) return 0;
int l = 0, r = nums.size() - 1;
while(l < r)
{
int mid = (l + r)/2;
if(nums[mid] != mid) r = mid; //在紅色半邊(滿足條件)
else l = mid + 1;
}
//缺的是n這個(gè)數(shù)
if(nums[r] == r) r++;
return r;
}
};
二、浮點(diǎn)數(shù)二分
1.浮點(diǎn)數(shù)二分模板
浮點(diǎn)數(shù)二分算法模板 —— 模板題 AcWing 790. 數(shù)的三次方根
bool check(double x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質(zhì)(包含了計(jì)算和條件)
double bsearch_3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度,取決于題目對(duì)精度的要求(一般比題目要求的大2)
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}
注:與整數(shù)二分的最大區(qū)別是,else那里的條件l = mid不進(jìn)行+1或者-1,浮點(diǎn)數(shù)沒(méi)有整除(/ 下取整)這種問(wèn)題,不需要處理邊界。
2.練習(xí)
(1).數(shù)的三次方跟
給定一個(gè)浮點(diǎn)數(shù) n,求它的三次方根。
輸入格式
共一行,包含一個(gè)浮點(diǎn)數(shù) n。
輸出格式
共一行,包含一個(gè)浮點(diǎn)數(shù),表示問(wèn)題的解。
注意,結(jié)果保留 6 位小數(shù)。
數(shù)據(jù)范圍
−10000≤n≤10000
輸入樣例:
1000.00輸出樣例:
10.000000
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
double n;
cin>>n;
double l = -10000, r = 10000;
// eps 表示精度,取決于題目對(duì)精度的要求(保險(xiǎn)1e-8)
const double eps = 1e-8;
while(r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if(mid * mid * mid >= n) r = mid;
else l = mid;
}
printf("%.6lf\n", l);
return 0;
}
(2).一元三次方程求解

提示:記方程f(x)=0,若存在2個(gè)數(shù)x1和x2,且f(x1)*f(x2)<0,則在(x1,x2)之間一定有一個(gè)根。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
double a, b, c, d;// 全局變量方便在cal中使用
const double eps = 1e-6;// 定義精度
//計(jì)算一元三次方程
double cal(double x)
{
return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d;
}
int main()
{
cin>>a>>b>>c>>d;
//枚舉根
for(int i = -100; i <= 100; i++)
{
//根與根之差的絕對(duì)值 ≥1
double l = double(i), r = double(i + 1);// 細(xì)節(jié):要將l,r轉(zhuǎn)為double
if(cal(l) == 0) printf("%.2lf ", l); //若f(x) = 0,根即為x
//f(x1)×f(x2) < 0 根在(x1,x2)之間—— 浮點(diǎn)二分
else if(cal(l) * cal(r) < 0)
{
while(r - l > eps)
{
//x1 < x,f(x1)×f(x2)<0,則在(x1, x2)之間一定有一個(gè)根
double mid = (l + r)/2;
// check()條件
if(cal(l) * cal(mid) <= 0) r = mid;
else l = mid;
}
printf("%.2lf ", l);
}
}
}

【參考代碼】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double check(double x)
{
return 7*x*x*x*x + 5*x*x*x + 11*x + 6;
}
double erfen(double Y)
{
double l=0.0, r=99.0, mid;
while(r - l > 1e-6){
mid = (l + r)/2;
if(check(mid) > Y) r = mid;
else l = mid;
}
return mid;
}
int main()
{
double Y;
while(~scanf("%lf", &Y)){
if(Y < 6 || Y > 677269824)
puts("None");
else
printf("%.4f\n", erfen(Y));
}
return 0;
}
三、總結(jié)
以上就是對(duì)基礎(chǔ)二分知識(shí)和模板的再次回顧和總結(jié),二分再掌握了基本原理之后,關(guān)鍵還是多練多總結(jié),找到那種敏銳的體感,QAQ…,希望對(duì)你有所幫助呀!
到此這篇關(guān)于關(guān)于C++中二分法詳解的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C++二分法內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!
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