C++數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)二叉搜索樹的實現(xiàn)應(yīng)用與分析

更新時間：2022年02月28日 14:48:32 作者：呆呆獸學(xué)編程

從這篇博客開始，我就要和大家介紹有關(guān)二叉搜索樹的知識，它還衍生出了兩棵樹——AVL樹和紅黑樹，在后面兩篇博客我都會介紹。今天先從二叉搜索樹開始引入

??概念

二叉搜索樹又稱為二叉排序書，因為這棵樹的中序遍歷是有序的。二叉搜索樹總結(jié)起來有以下幾個性質(zhì)：

若它的左子樹不為空，則左子樹上所有節(jié)點的值都小于根節(jié)點的值
若它的右子樹不為空，則右子樹上所有節(jié)點的值都大于于根節(jié)點的值
它的左右子樹都是二叉搜索樹
這棵樹中沒有重復(fù)的元素

??二叉搜索樹的實現(xiàn)

??基本框架

由一個節(jié)點的成員構(gòu)成，先構(gòu)建節(jié)點的類型，和我們之前數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的二叉樹的節(jié)點定義是一樣的。二叉搜索樹的根節(jié)點先默認(rèn)給空。

template <class K, class V>
struct BSTNode
{
	BSTNode<K, V>* _left;
	BSTNode<K, V>* _right;
	K _key;
	V _value;

	BSTNode(const K& key, const V& value)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key)
		,_value(value)
	{}
};
template <class K, class V>
class BSTree //Binary Search Tree
{
	typedef BSTNode<K, V> Node;
private:
	Node* _root = nullptr;
};

??二叉搜索樹的插入

插入分為下面幾個步驟：

先判斷樹是否為空，為空就讓要插入的這個節(jié)點作為根節(jié)點，然后結(jié)束
部署就確定要插入節(jié)點的位置
用一個cur記錄當(dāng)前節(jié)點，parent記錄父節(jié)點
要插入節(jié)點的值如果比當(dāng)前節(jié)點的值小，cur就往左走，如果比當(dāng)前節(jié)點的值大，就往右子樹走，如果等于就返回false，表面這棵樹中有這個數(shù)據(jù)，不需要插入。

下面是一個簡單的動圖演示

請?zhí)砑訄D片描述

注意：這里不用擔(dān)心新插入節(jié)點會在樹中間插入，它一定是在最下面插入的，它會走到最下面，然后在樹的底部插入。

代碼實現(xiàn)如下：

bool Insert(const K& key, const V& value)
{
	// 沒有節(jié)點時第一個節(jié)點就是根節(jié)點
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key, value);
		return true;
	}

	// 用一個父親節(jié)點記錄cur的上一個節(jié)點
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		parent = cur;
		// 小于往左邊走
		if (key < cur->_key)
			cur = cur->_left;
		else if (key > cur->_key)
			cur = cur->_right;
		else
			return false;// 已有的節(jié)點不插入，此次插入失敗
	}

	cur = new Node(key, value);
	// 判斷應(yīng)該插在父節(jié)點的左邊還是右邊
	if (cur->_key < parent->_key)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}

	return true;
}

為了更好地觀察這棵樹插入后是否有效，我們可以實現(xiàn)一個中序遍歷，將其打印出來。中序遍歷代碼如下：

void InOrder()
{
	// 利用子函數(shù)遍歷
	_InOrder(_root);
	cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;

	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
	_InOrder(root->_right);
}

測試代碼如下：

void TestBSTree()
{
	BSTree<int> bt;
	int arr[] = { 5,3,4,1,7,8,2,6,0,9 };
	//int arr[] = { 1,2,3,4 };
	//int arr[] = { 4,3,2,1};
	for (auto e : arr)
	{
		bt.Insert(e);
	}

	bt.InOrder();
}

代碼運行結(jié)果如下：

??二叉搜索樹的查找

查找的步驟如下：（和插入的步驟有些類似）

如果查找值key比當(dāng)前節(jié)點的值小，就往左子樹走
如果查找值key比當(dāng)前節(jié)點的值大，就往右子樹走
如果查找值key和當(dāng)前節(jié)點的值相等，就返回當(dāng)前節(jié)點的指針

代碼實現(xiàn)如下：

Node* Find(const K& key)
{
	if (_root == nullptr)
		return nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		// 小于往左邊走
		if (key < cur->_key)
			cur = cur->_left;
		else if (key > cur->_key)
			cur = cur->_right;
		else
			return cur;
	}

	return nullptr;
}

??二叉搜索樹的刪除（重點）

二叉搜索樹的刪除相對來說會復(fù)雜一些，下面我要給大家分析一下。有四種情況先看下面這棵樹，分別對以下四個節(jié)點進行刪除會發(fā)生什么（如何處理）？

刪除節(jié)點1時，它的左右都為空，可以直接刪除
刪除節(jié)點2時，它的左不為空右為空，刪除方法如下：

還要分析一種特殊的情況，就是此時2沒有父親節(jié)點，也就是自己為根時，看下面如何操作

刪除節(jié)點7時，它的左為為右不為空，刪除方法如下：

和情況2一樣，該節(jié)點如果為根節(jié)點，就讓自己的右孩子變成根節(jié)點。

左右都不為空（替代法）

這種情況我們采用替代法來解決，替代法就是找一個節(jié)點和現(xiàn)在這個節(jié)點交換，然后轉(zhuǎn)移為上面的情況，具體如下：我們可以選擇用左子樹的最右節(jié)點（左子樹最大的節(jié)點）或右子樹的最左節(jié)點（右子樹的最小節(jié)點）和當(dāng)前節(jié)點互換，然后刪除互換后的節(jié)點，這里我們統(tǒng)一采用用右子樹的最右節(jié)點來進行替換。

然后這里可以轉(zhuǎn)化為情況3來對節(jié)點進行刪除，因為所有的最左孩子一定是左為空，右是不確定的。

總結(jié)：一共有四種情況，但是情況1可以歸為情況3，因為它也是左為空，所以整體處理下來是三種情況。

代碼實現(xiàn)如下：

bool Erase(const K& key)
{
		// 如果樹為空，刪除失敗
		if (_root == nullptr)
			return false;

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			// 小于往左邊走
			if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				// 找到了，開始刪除
				// 1.左右子樹都為空 直接刪除  可以歸類為左為空
				// 2.左右子樹只有一邊為空  左為空，父親指向我的右，右為空，父親指向我的左  
				// 3.左右子樹都不為空  取左子樹最大的節(jié)點或右子樹最小的節(jié)點和要刪除的節(jié)點交換，然后再刪除
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					// 要刪除節(jié)點為根節(jié)點時，直接把右子樹的根節(jié)點賦值給——root
					// 根節(jié)點的話會導(dǎo)致parent為nullptr
					if (_root == cur)
					{
						_root = _root->_right;
					}
					else
					{
						// 左為空，父親指向我的右
						// 判斷cur在父親的左還是右
						if (parent->_left == cur) // cur->_key < parent->_key
							parent->_left = cur->_right;
						else
							parent->_right = cur->_right;
					}

					delete cur;
					cur = nullptr;
				}
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (_root == cur)
					{
						_root = _root->_left;
					}
					else
					{
						// 右為空，父親指向我的左
						// 判斷cur在父親的左還是右
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_left;
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}

					delete cur;
					cur = nullptr;
				}
				else
				{
					// 找右子樹中最小的節(jié)點
					Node* rightMinParent = cur;
					Node* rightMin = cur->_right;// 去右子樹找
					while (rightMin->_left)
					{
						rightMinParent = rightMin;
						rightMin = rightMin->_left;
					}
					//swap(cur->_key, rightMin->_key);
					// 替代刪除
					cur->_key = rightMin->_key;

					// 轉(zhuǎn)換成了第一種情況  左為空
					if (rightMinParent->_left == rightMin)
						rightMinParent->_left = rightMin->_right;
					else
						rightMinParent->_right = rightMin->_right;


					delete rightMin;
					rightMin = nullptr;
				}
				return true;
			}
		}

		return false;
	}

測試代碼如下：（要測試每種情況，還有測試刪空的情況）

void TestBSTree()
{
	BSTree<int> bt;
	int arr[] = { 5,3,4,1,7,8,2,6,0,9 };
	for (auto e : arr)
	{
		cout << "插入 " << e << " 后：";
		bt.Insert(e);
		bt.InOrder();
	}
	
	cout << "------------------------------" << endl;
	for (auto e : arr)
	{
		cout << "刪除 " << e << " 后：";
		bt.Erase(e);
		bt.InOrder();
	}

}

代碼運行結(jié)果如下：

??二叉搜索樹的應(yīng)用

二叉搜索樹有兩種模型：

K模型： K模型只有key值，節(jié)點只存儲key值。這里主要應(yīng)用就是查找判斷某個元素在不在。
KV模型： KV模型每個key值都對應(yīng)著一個value，主要應(yīng)用就是通過key找value。（我們平時查找單詞就是通過中文找英文，或者通過英文找中文）

下面我把上面的K模型的代碼簡單改造一下，實現(xiàn)KV模型：（這里沒有使用傳鍵值對的方法，之后的博客我會給大家介紹，這里使用傳兩個值的方式）

template <class K, class V>
struct BSTNode
{
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;

BSTNode(const K& key, const V& value)
	:_left(nullptr)
	, _right(nullptr)
	, _key(key)
	,_value(value)
{}
};
template <class K, class V>
class BSTree //Binary Search Tree
{
typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
~BSTree()
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		Erase(cur->_key);
		cur = _root;
	}
}
Node* Find(const K& key)
{
	if (_root == nullptr)
		return nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		// 小于往左邊走
		if (key < cur->_key)
			cur = cur->_left;
		else if (key > cur->_key)
			cur = cur->_right;
		else
			return cur;
	}

	return nullptr;
}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
	// 沒有節(jié)點時第一個節(jié)點就是根節(jié)點
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key, value);
		return true;
	}

	// 用一個父親節(jié)點記錄cur的上一個節(jié)點
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		parent = cur;
		// 小于往左邊走
		if (key < cur->_key)
			cur = cur->_left;
		else if (key > cur->_key)
			cur = cur->_right;
		else
			return false;// 已有的節(jié)點不插入，此次插入失敗
	}

	cur = new Node(key, value);
	// 判斷應(yīng)該插在父節(jié)點的左邊還是右邊
	if (cur->_key < parent->_key)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}

	return true;
}
bool Erase(const K& key)
{
	// 如果樹為空，刪除失敗
	if (_root == nullptr)
		return false;

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		// 小于往左邊走
		if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			// 找到了，開始刪除
			// 1.左右子樹都為空 直接刪除  可以歸類為左為空
			// 2.左右子樹只有一邊為空  左為空，父親指向我的右，右為空，父親指向我的左  
			// 3.左右子樹都不為空  取左子樹最大的節(jié)點或右子樹最小的節(jié)點和要刪除的節(jié)點交換，然后再刪除
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				// 要刪除節(jié)點為根節(jié)點時，直接把右子樹的根節(jié)點賦值給——root
				// 根節(jié)點的話會導(dǎo)致parent為nullptr
				if (_root == cur)
				{
					_root = _root->_right;
				}
				else
				{
					// 左為空，父親指向我的右
					// 判斷cur在父親的左還是右
					if (parent->_left == cur) // cur->_key < parent->_key
						parent->_left = cur->_right;
					else
						parent->_right = cur->_right;
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (_root == cur)
				{
					_root = _root->_left;
				}
				else
				{
					// 右為空，父親指向我的左
					// 判斷cur在父親的左還是右
					if (parent->_left == cur)
						parent->_left = cur->_left;
					else
						parent->_right = cur->_left;
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else
			{
				// 找右子樹中最小的節(jié)點
				Node* rightMinParent = cur;
				Node* rightMin = cur->_right;// 去右子樹找
				while (rightMin->_left)
				{
					rightMinParent = rightMin;
					rightMin = rightMin->_left;
				}
				//swap(cur->_key, rightMin->_key);
				// 替代刪除
				cur->_key = rightMin->_key;

				// 轉(zhuǎn)換成了第一種情況  左為空
				if (rightMinParent->_left == rightMin)
					rightMinParent->_left = rightMin->_right;
				else
					rightMinParent->_right = rightMin->_right;


				delete rightMin;
				rightMin = nullptr;
			}
			return true;
		}
	}

	return false;
}
void InOrder()
{
	// 利用子函數(shù)遍歷
	_InOrder(_root);
	cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;

	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
	_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};

void TestBSTree_KV1()
{
// 創(chuàng)建一個簡易的字典
BSTree<string, string> dict;

dict.Insert("蘋果", "apple");
dict.Insert("排序", "sort");
dict.Insert("培養(yǎng)", "cultivate");
dict.Insert("通過", "pass");
dict.Insert("apple", "蘋果");
dict.Insert("sort", "排序");
dict.Insert("cultivate", "培養(yǎng)");
dict.Insert("pass", "通過");

string str;
while (cin >> str)
{
	BSTNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
	if (ret)
	{
		cout << ret->_value << endl;
	}
	else
	{
		cout << "本字典無此詞" << endl;
	}
}

下面測試幾個應(yīng)用：實例1 英漢字典

void TestBSTree_KV1()
	{
		// 創(chuàng)建一個簡易的字典
		BSTree<string, string> dict;

		dict.Insert("蘋果", "apple");
		dict.Insert("排序", "sort");
		dict.Insert("培養(yǎng)", "cultivate");
		dict.Insert("通過", "pass");
		dict.Insert("apple", "蘋果");
		dict.Insert("sort", "排序");
		dict.Insert("cultivate", "培養(yǎng)");
		dict.Insert("pass", "通過");

		string str;
		while (cin >> str)
		{
			BSTNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
			if (ret)
			{
				cout << ret->_value << endl;
			}
			else
			{
				cout << "本字典無此詞" << endl;
			}
		}
	}

代碼運行結(jié)果演示：

實例2：統(tǒng)計樹

void TestBSTree_KV2()
{
	// 統(tǒng)計水果個數(shù)
	BSTree<string, int> countTree;

	string strArr[] = { "香蕉","水蜜桃","西瓜","蘋果","香蕉" ,"西瓜","香蕉" ,"蘋果","西瓜","蘋果","蘋果","香蕉" ,"水蜜桃" };

	for (auto e : strArr)
	{
		BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(e);
		if (ret == nullptr)
		{
			// 第一次插入
			countTree.Insert(e, 1);
		}
		else
		{
			ret->_value++;
		}
	}

	countTree.InOrder();
}

代碼運行結(jié)果如下：