前言：

所謂的復(fù)雜度就是衡量算法的效率，衡量算發(fā)效率又分為兩種，一種叫做時(shí)間復(fù)雜度，一種叫做空間復(fù)雜度。

一、算法效率

算法效率分析分為兩種：第一種是時(shí)間效率，第二種是空間效率。時(shí)間效率被稱為時(shí)間復(fù)雜度，而空間效率被 稱作空間復(fù)雜度。 時(shí)間復(fù)雜度主要衡量的是一個(gè)算法的運(yùn)行速度，而空間復(fù)雜度主要衡量一個(gè)算法所需要的額 外空間，在計(jì)算機(jī)發(fā)展的早期，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量很小。所以對空間復(fù)雜度很是在乎。但是經(jīng)過計(jì)算機(jī)行業(yè)的 迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量已經(jīng)達(dá)到了很高的程度。所以我們?nèi)缃褚呀?jīng)不需要再特別關(guān)注一個(gè)算法的空間復(fù) 雜度。

二、時(shí)間復(fù)雜度

1.時(shí)間復(fù)雜度概念

一個(gè)算法所花費(fèi)的時(shí)間與其中語句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù)，為算法的時(shí)間復(fù) 雜度。也就是說當(dāng)我們拿到一個(gè)代碼，來看這個(gè)代碼的時(shí)間復(fù)雜度的時(shí)候，主要是去找這個(gè)代碼當(dāng)中執(zhí)行語句次數(shù)最多的代碼執(zhí)行了多少次。

2.大O的漸進(jìn)表示法

看圖分析：

當(dāng)N的值越來越大，2N和10的值就可以忽略不記了。 

實(shí)際中我們計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度時(shí)，我們其實(shí)并不一定要計(jì)算精確的執(zhí)行次數(shù)，而只需要大概執(zhí)行次數(shù)，那么這里 我們使用大O的漸進(jìn)表示法。

 大O符號（Big O notation）：是用于描述函數(shù)漸進(jìn)行為的數(shù)學(xué)符號。

1、用常數(shù)1取代運(yùn)行時(shí)間中的所有加法常數(shù)。

2、在修改后的運(yùn)行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項(xiàng)。

3、如果最高階項(xiàng)存在且不是1，則去除與這個(gè)項(xiàng)目相乘的常數(shù)。得到的結(jié)果就是大O階。

通過上面我們會(huì)發(fā)現(xiàn)大O的漸進(jìn)表示法去掉了那些對結(jié)果影響不大的項(xiàng)，簡潔明了的表示出了執(zhí)行次數(shù)。

另外有些算法的時(shí)間復(fù)雜度存在最好、平均和最壞情況：

最壞情況：任意輸入規(guī)模的最大運(yùn)行次數(shù)(上界)

平均情況：任意輸入規(guī)模的期望運(yùn)行次數(shù)

最好情況：任意輸入規(guī)模的最小運(yùn)行次數(shù)(下界) 

例如：在一個(gè)長度為N數(shù)組中搜索一個(gè)數(shù)據(jù)x

最好情況：1次找到

最壞情況：N次找到

平均情況：N/2次找到 

在實(shí)際中一般情況關(guān)注的是算法的最壞運(yùn)行情況，所以數(shù)組中搜索數(shù)據(jù)時(shí)間復(fù)雜度為O(N)

計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度  

例題1：

基本操作執(zhí)行了2N+10次，通過推導(dǎo)大O階方法知道，時(shí)間復(fù)雜度為 O(N)

例題2：

基本操作執(zhí)行了M+N次，有兩個(gè)未知數(shù)M和N，時(shí)間復(fù)雜度為 O(N+M)

例題3：

基本操作執(zhí)行了100次，通過推導(dǎo)大O階方法，時(shí)間復(fù)雜度為 O(1)

例題4：計(jì)算冒泡排序的時(shí)間復(fù)雜度

基本操作執(zhí)行最好N次，最壞執(zhí)行了(N*(N-1))/2次，通過推導(dǎo)大O階方法+時(shí)間復(fù)雜度一般看最壞， 時(shí)間復(fù)雜度為 O(N^2

例題5：二分查找的時(shí)間復(fù)雜度

基本操作執(zhí)行最好1次，最壞O(logN)次，時(shí)間復(fù)雜度為 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底數(shù) 為2，對數(shù)為N。有些地方會(huì)寫成lgN。（建議通過折紙查找的方式講解logN是怎么計(jì)算出來的）(因?yàn)槎?分查找每次排除掉一半的不適合值,一次二分剩下：n/2 兩次二分剩下：n/2/2 = n/4)

例題6：計(jì)算階乘遞歸的時(shí)間復(fù)雜度

遞歸的時(shí)間復(fù)雜度 = 遞歸的次數(shù)*每次遞歸執(zhí)行的次數(shù)

通過計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)基本操作遞歸了N次，時(shí)間復(fù)雜度為O(N)。

例題7：計(jì)算斐波那契遞歸的時(shí)間復(fù)雜度

通過計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)基本操作遞歸了2^N次，時(shí)間復(fù)雜度為O(2^N)。

規(guī)律： 

 2^0+2^1+2^2+2^3……2^(n-(n-1))

等比數(shù)列求和

 a1就代表第一項(xiàng)，q是等比就是2，1(1-2^n)/-1,相當(dāng)于2^n+1,所以時(shí)間復(fù)雜度為O(2^n)

三、空間復(fù)雜度 

空間復(fù)雜度是對一個(gè)算法在運(yùn)行過程中臨時(shí)占用存儲(chǔ)空間大小的量度 ?？臻g復(fù)雜度不是程序占用了多少bytes 的空間，因?yàn)檫@個(gè)也沒太大意義，所以空間復(fù)雜度算的是變量的個(gè)數(shù)?？臻g復(fù)雜度計(jì)算規(guī)則基本跟實(shí)踐復(fù)雜度 類似，也使用大O漸進(jìn)表示法。

 例題1：計(jì)算冒泡排序的空間復(fù)雜度

使用了常數(shù)個(gè)額外空間，所以空間復(fù)雜度為 O(1)

 例題2：計(jì)算斐波那契的空間復(fù)雜度

動(dòng)態(tài)開辟了N個(gè)空間，空間復(fù)雜度為 O(N)

例題3：計(jì)算階乘遞歸的空間復(fù)雜度

  遞歸調(diào)用了N次，開辟了N個(gè)棧幀，每個(gè)棧幀使用了常數(shù)個(gè)空間。空間復(fù)雜度為O(N)

總結(jié)：

本文簡單介紹了什么是時(shí)間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度，通過簡單例題的方式加深對數(shù)組的理解。上述就是今天的內(nèi)容，有任何疑問的話可以隨時(shí)私信我，文章哪里出現(xiàn)了問題我都會(huì)積極改正，也希望大家能更快的掌握自己想要的知識，讓我們一起加油?。。。。?/p>

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