二叉搜索樹(shù)

二叉搜索樹(shù)結(jié)合了無(wú)序鏈表插入便捷和有序數(shù)組二分查找快速的特點(diǎn)，較為高效地實(shí)現(xiàn)了有序符號(hào)表。下圖顯示了二叉搜索樹(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（圖片來(lái)自《算法第四版》）：

可以看到每個(gè)父節(jié)點(diǎn)下都可以連著兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，鍵寫在節(jié)點(diǎn)上，其中左邊的子節(jié)點(diǎn)的鍵小于父節(jié)點(diǎn)的鍵，右節(jié)點(diǎn)的鍵大于父節(jié)點(diǎn)的鍵。每個(gè)父節(jié)點(diǎn)及其后代節(jié)點(diǎn)組成了一顆子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)及其后代節(jié)點(diǎn)則組成了完整的二叉搜索樹(shù)。

在代碼層面看來(lái)，就是每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)象中包含另外兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的指針，同時(shí)包含一些要用到的數(shù)據(jù)，比如鍵值對(duì)和方便后續(xù)操作的整課子樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

private class Node {
    int N = 1;
    K key;
    V value;
    Node left;
    Node right;

    public Node(K key, V value) {
        this.key = key;
        this.value = value;
    }
}

上述代碼實(shí)現(xiàn)了一個(gè)節(jié)點(diǎn)類，這個(gè)類是二叉搜索樹(shù)類 BinarySearchTree 的內(nèi)部類，使用者無(wú)需知道這個(gè)節(jié)點(diǎn)類的存在，所以訪問(wèn)權(quán)限聲明為 private。

有序符號(hào)表的 API

先來(lái)看下無(wú)序符號(hào)表的 API，這些方法聲明了無(wú)序符號(hào)表的基本操作，包括插入、查詢和刪除，為了方便符號(hào)表的迭代，接口中還有 Iterable<K> keys() 方法用于 foreach 循環(huán)：

package com.zhiyiyo.collection.symboltable;

public interface SymbolTable<K, V>{
    void put(K key, V value);
    V get(K key);
    void delete(K key);
    boolean contains(K key);
    boolean isEmpty();
    int size();
    Iterable<K> keys();
}

接下來(lái)是有序符號(hào)表的 API，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鍵必須實(shí)現(xiàn)了 Comparable 接口：

package com.zhiyiyo.collection.symboltable;

public interface OrderedSymbolTable<K extends Comparable<K>, V> extends SymbolTable<K, V>{
    /**
     * 獲取符號(hào)表中最小的鍵
     * @return 最小的鍵
     */
    K min();

    /**
     * 獲取符號(hào)表中最大的鍵
     * @return 最大的鍵
     */
    K max();

    /**
     * 獲取小于或等于 key 的最大鍵
     * @param key 鍵
     * @return 小于或等于 key 的最大鍵
     */
    K floor(K key);

    /**
     * 獲取大于或等于 key 的最小鍵
     * @param key 鍵
     * @return 大于或等于 key 的最小鍵
     */
    K ceiling(K key);

    /**
     * 獲取小于或等于 key 的鍵數(shù)量
     * @param key 鍵
     * @return 小于或等于 key 的鍵數(shù)量
     */
    int rank(K key);

    /**
     * 獲取排名為 k 的鍵，k 的取值范圍為 [0, N-1]
     * @param k 排名
     * @return 排名為 k 的鍵
     */
    K select(int k);

    /**
     * 刪除最小的鍵
     */
    void deleteMin();

    /**
     * 刪除最大的鍵
     */
    void deleteMax();

    /**
     * [low, high] 區(qū)間內(nèi)的鍵數(shù)量
     * @param low 最小的鍵
     * @param high 最大的鍵
     * @return 鍵數(shù)量
     */
    int size(K low, K high);

    /**
     * [low, high] 區(qū)間內(nèi)的所有鍵，升序排列
     * @param low 最小的鍵
     * @param high 最大的鍵
     * @return 區(qū)間內(nèi)的鍵
     */
    Iterable<K> keys(K low, K high);
}

實(shí)現(xiàn)二叉搜索樹(shù)

二叉搜索樹(shù)類

類的基本結(jié)構(gòu)如下述代碼所示，可以看到只需用一個(gè)根節(jié)點(diǎn) root 即可代表一整棵二叉搜索樹(shù)：

public class BinarySearchTree<K extends Comparable<K>, V> implements OrderedSymbolTable<K, V> {
    private Node root;

    private class Node{
        ...
    }

    ...
}

查找

從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，拿著給定的鍵 key 和根節(jié)點(diǎn)的鍵進(jìn)行比較，會(huì)出現(xiàn)以下三種情況：

• 根節(jié)點(diǎn)的鍵大于 key，接著去根節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)去查找；
• 根節(jié)點(diǎn)的鍵小于 key，接著去根節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)去查找；
• 根節(jié)點(diǎn)的鍵等于 key，返回根節(jié)點(diǎn)的值

當(dāng)我們?nèi)プ笞訕?shù)或者右子樹(shù)查找時(shí)，只需將子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)視為新的根節(jié)點(diǎn)，然后重復(fù)上述步驟即可。如果找到最后都沒(méi)找到擁有和 key 相等的鍵的節(jié)點(diǎn)，返回 null 即可。在《算法第四版》中使用遞歸實(shí)現(xiàn)了上述步驟，這里換為迭代法：

@Override
public V get(K key) {
    Node node = root;
    while (node != null) {
        int cmp = node.key.compareTo(key);
        // 到左子樹(shù)搜索
        if (cmp > 0) {
            node = node.left;
        }
        // 到右子樹(shù)搜索
        else if (cmp < 0) {
            node = node.right;
        } else {
            return node.value;
        }
    }
    return null;
}

插入

將鍵值對(duì)放入二叉搜索樹(shù)時(shí)會(huì)發(fā)生兩種情況：

• 二叉搜索樹(shù)中已經(jīng)包含了擁有該鍵的節(jié)點(diǎn)，這時(shí)需要更新節(jié)點(diǎn)的值
• 二叉搜索樹(shù)中沒(méi)有包含擁有該鍵的節(jié)點(diǎn)，這時(shí)需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)

所以在插入的時(shí)候要從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，比較根節(jié)點(diǎn)的鍵和給定的 key 之間的大小關(guān)系，和查找相似，比較會(huì)有三種情況發(fā)生：

• 根節(jié)點(diǎn)的鍵大于 key，接著去根節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)去查找；
• 根節(jié)點(diǎn)的鍵小于 key，接著去根節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)去查找；
• 根節(jié)點(diǎn)的鍵等于 key，直接更新根節(jié)點(diǎn)的值

如果找到最后都沒(méi)能找到那個(gè)擁有相同 key 的節(jié)點(diǎn)，就需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，把這個(gè)節(jié)點(diǎn)，接到子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)上，用迭代法實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程的代碼如下所示：

@Override
public put(K key, V value){
    if (root == null) {
        root = new Node(key, value);
        return;
    }

    Node node = root;
    Node parent = root;
    int cmp = 0;

    while (node != null){
        parent = node;
        cmp = node.key.compareTo(key);
        // 到左子樹(shù)搜索
        if (cmp > 0){
            node = node.left;
        }
        // 到右子樹(shù)搜索
        else if (cmp < 0){
            node = node.right;
        } else {
            node.value = value;
            return;
        }
    }

    // 新建節(jié)點(diǎn)并接到父節(jié)點(diǎn)上
    if (cmp > 0) {
        parent.left = new Node(key, value);
    } else{
        parent.right = new Node(key, value);
    }
}

可以看到上述過(guò)程用了兩個(gè)指針，一個(gè)指針 node 用于探路，一個(gè)指針 parent 用于記錄子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)，不然當(dāng) node 為空時(shí)我們是找不到他的父節(jié)點(diǎn)的，也就沒(méi)法把新的節(jié)點(diǎn)接到父節(jié)點(diǎn)上。

上述代碼有個(gè)小問(wèn)題，就是我們新建節(jié)點(diǎn)之后沒(méi)辦法更新這一路上所經(jīng)過(guò)的父節(jié)點(diǎn)的 N，也就是每一顆子樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。怎么辦呢，要么用一個(gè)容器保存一下經(jīng)過(guò)的父節(jié)點(diǎn)，要么老老實(shí)實(shí)用遞歸，這里選擇用遞歸。遞歸的想法很直接：

• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵大于 key，就把鍵值對(duì)插到根節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)；
• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵小于 key，就把鍵值對(duì)插到根節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)；
• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵等于 key，直接更新根節(jié)點(diǎn)的值

別忘了，使用遞歸的原因是我們要更新父節(jié)點(diǎn)的 N，所以遞歸的返回值應(yīng)該是更新后的子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)，所以就有了下述代碼：

@Override
public void put(K key, V value) {
    root = put(root, key, value);
}

private Node put(Node node, K key, V value) {
    if (node == null) return new Node(key, value);
    int cmp = node.key.compareTo(key);
    if (cmp > 0) {
        node.left = put(node.left, key, value);
    } else if (cmp < 0) {
        node.right = put(node.right, key, value);
    } else {
        node.value = value;
    }
    node.N = size(node.left) + size(node.right) + 1;
    return node;
}

private int size(Node node) {
    return node == null ? 0 : node.N;
}

最小/大的鍵

從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，一路向左，鍵會(huì)是一個(gè)遞減的序列，當(dāng)我們走到整棵樹(shù)的最左邊，也就是 left 為 null 的那個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，我們就已經(jīng)找到了鍵最小的節(jié)點(diǎn)。上述過(guò)程的迭代法代碼如下：

@Override
public K min() {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    Node node = root;
    while (node.left != null) {
        node = node.left;
    }

    return node.key;
}

查找最大鍵的節(jié)點(diǎn)過(guò)程和上述過(guò)程類似，只是我們這次得向右走，直到找到 right 為 null 的那個(gè)節(jié)點(diǎn)：

@Override
public K max() {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    Node node = root;
    while (node.right != null) {
        node = node.right;
    }

    return node.key;
}

算法書中給出的 min() 實(shí)現(xiàn)代碼是用遞歸實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵趧h除節(jié)點(diǎn)時(shí)會(huì)用到。遞歸的過(guò)程就是一直朝左子樹(shù)走的的過(guò)程，直到遇到一個(gè)節(jié)點(diǎn)沒(méi)有左子樹(shù)為止，然后返回該節(jié)點(diǎn)即可。

@Override
public K min() {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    return min(root).key;
}

private Node min(Node node) {
    if (node.left == null) return node;
    return min(node.left);
}

小于等于 key 的最大鍵/大于等于 key 的最小鍵

從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，拿著根節(jié)點(diǎn)的的鍵和 key 進(jìn)行比較，會(huì)出現(xiàn)三種情況：

• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵大于 key，說(shuō)明擁有小于或等于 key 的鍵的節(jié)點(diǎn)可能在左子樹(shù)上（也可能找不到）；
• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵小于 key，這時(shí)候先記住根節(jié)點(diǎn)，由于根節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)上可能存在鍵更接近但不大于 key 的節(jié)點(diǎn)，所以還得去右子樹(shù)看看，如果右子樹(shù)沒(méi)沒(méi)找到滿足條件的節(jié)點(diǎn)，這時(shí)候的根節(jié)點(diǎn)的鍵就是小于等于 key 的最大鍵了；
• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵等于 key，直接返回根節(jié)點(diǎn)的鍵

@Override
public K floor(K key) {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    Node node = root;
    Node candidate = root;
    while (node != null) {
        int cmp = node.key.compareTo(key);
        if (cmp > 0) {
            node = node.left;
        } else if (cmp < 0) {
            candidate = node;
            node = node.right;
        } else {
            return node.key;
        }
    }

    return candidate.key.compareTo(key) <= 0 ? candidate.key : null;
}

《算法第四版》中給出了一個(gè)示例圖，可以更直觀地看到上述查找過(guò)程：

查找大于等于 key 的最小鍵的方法和上述過(guò)程很像，拿著根節(jié)點(diǎn)的的鍵和 key 進(jìn)行比較，會(huì)出現(xiàn)三種情況：

• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵小于 key，說(shuō)明擁有大于或等于 key 的鍵的節(jié)點(diǎn)可能在右子樹(shù)上（也可能找不到）；
• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵大于 key，這時(shí)候先記住根節(jié)點(diǎn)，由于根節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)上可能存在鍵更接近但不小于 key 的節(jié)點(diǎn)，所以還得去左子樹(shù)看看，如果左子樹(shù)沒(méi)沒(méi)找到滿足條件的節(jié)點(diǎn)，這時(shí)候的根節(jié)點(diǎn)的鍵就是大于等于 key 的最小鍵了；
• 如果根節(jié)點(diǎn)的鍵等于 key，直接返回根節(jié)點(diǎn)的鍵

@Override
public K ceiling(K key) {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    Node node = root;
    Node candidate = root;
    while (node != null) {
        int cmp = node.key.compareTo(key);
        if (cmp < 0) {
            node = node.right;
        } else if (cmp > 0) {
            candidate = node;
            node = node.left;
        } else {
            return node.key;
        }
    }

    return candidate.key.compareTo(key) >= 0 ? candidate.key : null;
}

根據(jù)排名獲得鍵

假設(shè)一棵二叉搜索樹(shù)中有 N 個(gè)節(jié)點(diǎn)，那么節(jié)點(diǎn)的鍵排名區(qū)間就是 [0, N-1]，也就是說(shuō)，key 的排名可以看做小于 key 的鍵的個(gè)數(shù)。所以我們應(yīng)該如何根據(jù)排名獲得其對(duì)應(yīng)的鍵呢？這時(shí)候每個(gè)節(jié)點(diǎn)中的維護(hù)的 N 屬性就可以派上用場(chǎng)了。

從根節(jié)點(diǎn)向左看，左子樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)就是小于根節(jié)點(diǎn)鍵的鍵個(gè)數(shù)，也就是根節(jié)點(diǎn)的鍵排名。所以拿著根節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù) N 和排名 k 進(jìn)行比較，會(huì)出現(xiàn)三種情況：

• 左子樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和排名相等，直接返回根節(jié)點(diǎn)的鍵；
• 左子樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)大于排名，這時(shí)候去左子樹(shù)接著進(jìn)行比較；
• 左子樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)小于排名，說(shuō)明符合排名要求的節(jié)點(diǎn)可能出現(xiàn)在右子樹(shù)上（有可能找不到，比如 k 大于整棵二叉樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)），這時(shí)候我們得去右子樹(shù)搜索。由于我們直接忽略了左子樹(shù)和根節(jié)點(diǎn)，所以需要對(duì)排名進(jìn)行一下調(diào)整，讓 k = k - N - 1 即可。

@Override
public K select(int k) {
    Node node = root;
    while (node != null) {
        // 父節(jié)點(diǎn)左子樹(shù)的大小就是父節(jié)點(diǎn)的鍵排名
        int N = size(node.left);
        if (N > k) {
            node = node.left;
        } else if (N < k) {
            node = node.right;
            k = k - N - 1;
        } else {
            return node.key;
        }
    }

    return null;
}

根據(jù)鍵獲取排名

把根據(jù)排名獲取鍵的過(guò)程寫作key = select(k)，那么根據(jù)鍵獲取排名的過(guò)程就是k = select^-1(key) = rank(key)。說(shuō)明這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)。

從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，拿著根節(jié)點(diǎn)的鍵和 key 進(jìn)行比較會(huì)出現(xiàn)三種情況：

• 根節(jié)點(diǎn)的鍵大于 key，這時(shí)候得去左子樹(shù)中尋找
• 根節(jié)點(diǎn)的鍵小于 key，這時(shí)候得去右子樹(shù)中尋找，同時(shí)得記錄一下左子樹(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)+父節(jié)點(diǎn)的那個(gè)1
• 根節(jié)點(diǎn)的鍵等于 key，返回根節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)加上之前跳過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)

@Override
public int rank(K key) {
    Node node = root;
    int N = 0;
    while (node != null) {
        int cmp = node.key.compareTo(key);
        if (cmp > 0) {
            node = node.left;
        } else if (cmp < 0) {
            N += size(node.left) + 1;
            node = node.right;
        } else {
            return size(node.left) + N;
        }
    }

    return N;
}

刪除

刪除操作較為復(fù)雜，先來(lái)看下較為簡(jiǎn)單的刪除鍵最小的節(jié)點(diǎn)的過(guò)程。從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，一路向左，知道遇到左子樹(shù)為 null 的節(jié)點(diǎn)，由于這個(gè)節(jié)點(diǎn)可能還有右子樹(shù)，所以需要把右子樹(shù)接到父節(jié)點(diǎn)上。接完之后還得把這一路上遇到的父節(jié)點(diǎn)上的 N - 1。由于沒(méi)有其他節(jié)點(diǎn)引用了被刪除的節(jié)點(diǎn)，所以這個(gè)節(jié)點(diǎn)會(huì)被 java 的垃圾回收機(jī)制自動(dòng)回收。算法書中給出了一個(gè)刪除的示例圖：

使用迭代法可以實(shí)現(xiàn)尋找最小節(jié)點(diǎn)和將右子樹(shù)連接到父節(jié)點(diǎn)的操作，但是不好處理每一顆子樹(shù)的 N 的更新操作，所以還是得靠遞歸法。由于我們需要將最小節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)接到父節(jié)點(diǎn)上，所以滿足終止條件時(shí) deleteMin(Node node) 函數(shù)應(yīng)該把右子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)返回，否則就應(yīng)該返回更新之后的節(jié)點(diǎn)。

@Override
public void deleteMin() {
    if (root == null) return;
    root = deleteMin(root);
}

private Node deleteMin(Node node) {
    if (node.left == null) return node.right;
    node.left = deleteMin(node.left);
    node.N = size(node.left) + size(node.right) + 1;
    return node;
}

刪除最大的節(jié)點(diǎn)的過(guò)程和上面相似，只不過(guò)我們應(yīng)該將最大節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)接到父節(jié)點(diǎn)上。

@Override
public void deleteMax() {
    if (root == null) return;
    root = deleteMax(root);
}

private Node deleteMax(Node node) {
    if (node.right == null) return node.left;
    node.right = deleteMax(node.right);
    node.N = size(node.left) + size(node.right) + 1;
    return node;
}

討論完上面兩個(gè)較為簡(jiǎn)單的刪除操作，我們來(lái)看下如何刪除任意節(jié)點(diǎn)。從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)比較根節(jié)點(diǎn)的鍵和給定的 key，會(huì)發(fā)生三種情況：

根節(jié)點(diǎn)的鍵大于 key，接著去左子樹(shù)刪除 key

根節(jié)點(diǎn)的鍵小于 key，接著去右子樹(shù)刪除 key

根節(jié)點(diǎn)的鍵等于 key ，說(shuō)明我們找到了要被刪除的那個(gè)節(jié)點(diǎn)，這時(shí)候我們又會(huì)遇到三種情況：

• 節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)為空，直接將左子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)接到父節(jié)點(diǎn)上
• 節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)為空，直接將右子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)接到父節(jié)點(diǎn)上
• 節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)和左子樹(shù)都不為空，這時(shí)候需要找到并刪去右子樹(shù)的最小鍵節(jié)點(diǎn)，然后把這個(gè)最小鍵節(jié)點(diǎn)頂替即將被刪除節(jié)點(diǎn)，把它作為新的子樹(shù)根節(jié)點(diǎn)

算法書中給出了第三種情況（右子樹(shù)和左子樹(shù)都不為空）的示例圖：

使用遞歸實(shí)現(xiàn)的代碼如下所示：

@Override
public void delete(K key) {
    root = delete(root, key);
}

private Node delete(Node node, K key) {
    if (node == null) return null;

    // 先找到 key 對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)
    int cmp = node.key.compareTo(key);
    if (cmp > 0) {
        node.left = delete(node.left, key);
    } else if (cmp < 0) {
        node.right = delete(node.right, key);
    } else {
        if (node.right == null) return node.left;
        if (node.left == null) return node.right;
        Node x = node;
        node = min(x.right);
        // 移除右子樹(shù)的最小節(jié)點(diǎn) node，并將該節(jié)點(diǎn)作為右子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)
        node.right = deleteMin(x.right);
        // 設(shè)置左子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)為 node
        node.left = x.left;
    }

    node.N = size(node.left) + size(node.right) + 1;
    return node;
}

總結(jié)

如果在插入鍵值對(duì)的時(shí)候運(yùn)氣較好，二叉搜索樹(shù)的左右子樹(shù)高度相近，那么插入和查找的比較次數(shù)為 \(\sim2\ln N\) ；如果運(yùn)氣非常差，差到所有的節(jié)點(diǎn)連成了一條單向鏈表，那么插入和查找的比較次數(shù)就是 \(\sim N\)。所以就有了自平衡二叉樹(shù)的出現(xiàn)，不過(guò)這已經(jīng)超出本文的探討范圍了（絕對(duì)不是因?yàn)閷懖粍?dòng)了，以上~~

到此這篇關(guān)于在Java中實(shí)現(xiàn)二叉搜索樹(shù)的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Java二叉搜索樹(shù)內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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