1.前言

1.1 什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(Data Structure)是計算機存儲、組織數(shù)據(jù)的方式，指相互之間存在一種或多種特定關(guān)系的數(shù)據(jù)元素的集合。

1.2 什么是算法？

算法(Algorithm):就是定義良好的計算過程，他取一個或一組的值為輸入，并產(chǎn)生出一個或一組值作為輸出。簡單來說算法就是一系列的計算步驟，用來將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成輸出結(jié)果。

2.算法效率

2.1 如何衡量一個算法的好壞

如何衡量一個算法的好壞呢？比如對于以下斐波那契數(shù)列：

long long Fib(int N)
{
     if(N < 3)
    	return 1;
    
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契數(shù)列的遞歸實現(xiàn)方式非常簡潔，但簡潔一定好嗎？那該如何衡量其好與壞呢？

2.2 算法的復(fù)雜度

算法在編寫成可執(zhí)行程序后，運行時需要耗費時間資源和空間(內(nèi)存)資源 。因此衡量一個算法的好壞，一般是從時間和空間兩個維度來衡量的，即時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。

時間復(fù)雜度主要衡量一個算法的運行快慢，而空間復(fù)雜度主要衡量一個算法運行所需要的額外空間。在計算機發(fā)展的早期，計算機的存儲容量很小。所以對空間復(fù)雜度很是在乎。但是經(jīng)過計算機行業(yè)的迅速發(fā)展，計 算機的存儲容量已經(jīng)達到了很高的程度。所以我們?nèi)缃褚呀?jīng)不需要再特別關(guān)注一個算法的空間復(fù)雜度

2.3 復(fù)雜度在校招中的考察

3.時間復(fù)雜度

3.1 時間復(fù)雜度的概念

時間復(fù)雜度的定義：在計算機科學(xué)中，算法的時間復(fù)雜度是一個函數(shù)，它定量描述了該算法的運行時間。一個算法執(zhí)行所耗費的時間，從理論上說，是不能算出來的，只有你把你的程序放在機器上跑起來，才能知道。但是我們需要每個算法都上機測試嗎？是可以都上機測試，但是這很麻煩，所以才有了時間復(fù)雜度這個分析方式。

一個算法所花費的時間與其中語句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù)，為算法的時間復(fù)雜度即：找到某條基本語句與問題規(guī)模N之間的數(shù)學(xué)表達式，就是算出了該算法的時間復(fù)雜度

// 請計算一下Func1中++count語句總共執(zhí)行了多少次？
void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j < N ; ++ j)
        {
        	++count;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
   		 ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
    	++count;
    }   
    printf("%d\n", count);
}

Func1 執(zhí)行的基本操作次數(shù) ：F(N) = N^2+2*N+10

(‘^’在此章節(jié)表示為數(shù)乘)

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

實際中我們計算時間復(fù)雜度時，我們其實并不一定要計算精確的執(zhí)行次數(shù)，而只需要大概執(zhí)行次數(shù)，那么這里我們使用大O的漸進表示法。

3.2 大O的漸進表示法

大O符號（Big O notation）：是用于描述函數(shù)漸進行為的數(shù)學(xué)符號。

推導(dǎo)大O階方法：

1、用常數(shù)1取代運行時間中的所有加法常數(shù)。

2、在修改后的運行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項。

3、如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數(shù)。得到的結(jié)果就是大O階。使用大O的漸進表示法以后，F(xiàn)unc1的時間復(fù)雜度為：O(N^2)

• N = 10 F(N) = 100
• N = 100 F(N) = 10000
• N = 1000 F(N) = 1000000

通過上面我們會發(fā)現(xiàn)大O的漸進表示法去掉了那些對結(jié)果影響不大的項，簡潔明了的表示出了執(zhí)行次數(shù)。

另外有些算法的時間復(fù)雜度存在最好、平均和最壞情況：

最壞情況：任意輸入規(guī)模的最大運行次數(shù)(上界)

平均情況：任意輸入規(guī)模的期望運行次數(shù)

最好情況：任意輸入規(guī)模的最小運行次數(shù)(下界)

例如：在一個長度為N數(shù)組中搜索一個數(shù)據(jù)x

最好情況：1次找到

最壞情況：N次找到

平均情況：N/2次找到

在實際中一般情況關(guān)注的是算法的最壞運行情況，所以數(shù)組中搜索數(shù)據(jù)時間復(fù)雜度為O(N)

3.3 常見時間復(fù)雜度計算舉例

實例1

// 計算Func2的時間復(fù)雜度？
void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
 	   ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
   		++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

實例 2

// 計算Func3的時間復(fù)雜度？
void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++ k)
    {
 	   ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N ; ++ k)
    {
  		++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

實例 3

// 計算Func4的時間復(fù)雜度？
void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++ k)
    {
    	++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

實例 4

// 計算strchr的時間復(fù)雜度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

實例 5

// 計算BubbleSort的時間復(fù)雜度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
        break;
    }
}

實例 6

// 計算BinarySearch的時間復(fù)雜度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n-1;
    while (begin <= end)
    {
        int mid = begin + ((end-begin)>>1);//防溢出
        if (a[mid] < x)
        	begin = mid+1;
        else if (a[mid] > x)
        	end = mid-1;
        else
        	return mid;
    }
    return -1;
}

實例 7

// 計算階乘遞歸Fac的時間復(fù)雜度？
long long Fac(size_t N)
{
    if(0 == N)
    return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

實例 8

// 計算斐波那契遞歸Fib的時間復(fù)雜度？
long long Fib(size_t N)
{
    if(N < 3)
    return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

實例答案及分析：

實例1基本操作執(zhí)行了2N+10次，通過推導(dǎo)大O階方法知道，時間復(fù)雜度為 O(N)

實例2基本操作執(zhí)行了M+N次，有兩個未知數(shù)M和N，時間復(fù)雜度為 O(N+M)

實例3基本操作執(zhí)行了10次，通過推導(dǎo)大O階方法，時間復(fù)雜度為 O(1)

實例4基本操作執(zhí)行最好1次，最壞N次，時間復(fù)雜度一般看最壞，時間復(fù)雜度為 O(N)

實例5基本操作執(zhí)行最好N次，最壞執(zhí)行了(N*(N+1)/2)次（N-1 + N-2 + N-3…+2+1），通過推導(dǎo)大O階方法+時間復(fù)雜度一般看最壞，時間復(fù)雜度為 O(N^2)。

實例6基本操作執(zhí)行最好1次（第一次就找到了），最壞O(logN)次(全找了一遍但沒找到的情況），時間復(fù)雜度為 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底數(shù)為2，對數(shù)為N。有些地方會寫成lgN。（建議通過折紙查找的方式講解logN是怎么計算出來的）（假設(shè)找了x次才找完，則共有2^x個數(shù)據(jù)。反過來講就是N個數(shù)據(jù)最多要找logN（底數(shù)為2）次）

實例7通過計算分析發(fā)現(xiàn)基本操作遞歸了N次，時間復(fù)雜度為O(N)。

實例8通過計算分析發(fā)現(xiàn)基本操作遞歸了2^N 次，時間復(fù)雜度為O(2N)。（1+2+4+8……+2(n-1) 再減一些次數(shù)（忽略不計））（建議畫圖遞歸棧幀的二叉樹)

總結(jié)：我們想要分析算法的時間復(fù)雜度，一定要去看思想，，不能只去看程序是幾層循環(huán)。 遞歸算法時間復(fù)雜度的計算：

1.每次函數(shù)調(diào)用是O(1)，那么就看遞歸次數(shù)

2.每次函數(shù)調(diào)用不是O(1),就把每次的調(diào)用次數(shù)相加。

4.空間復(fù)雜度

空間復(fù)雜度也是一個數(shù)學(xué)表達式，是對一個算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的量度 。

空間復(fù)雜度不是程序占用了多少bytes的空間，因為這個也沒太大意義，所以空間復(fù)雜度算的是變量的個數(shù)?？臻g復(fù)雜度計算規(guī)則基本跟實踐復(fù)雜度類似，也使用大O漸進表示法。

注意：函數(shù)運行時所需要的?？臻g(存儲參數(shù)、局部變量、一些寄存器信息等)在編譯期間已經(jīng)確定好了，因此空間復(fù)雜度主要通過函數(shù)在運行時候顯式申請的額外空間來確定。

實例 1

// 計算BubbleSort的空間復(fù)雜度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)  

    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
        break;
    }
}

實例 2

// 計算Fibonacci的空間復(fù)雜度？
// 返回斐波那契數(shù)列的前n項
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if(n==0)
    	return NULL;
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    {
    	fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray;
}

實例 3

// 計算階乘遞歸Fac的空間復(fù)雜度？
long long Fac(size_t N)
{
    if(N == 0)
    return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

實例4

// 計算斐波那契遞歸Fib的空間復(fù)雜度？
long long Fib(size_t N)
{
    if(N < 3)
    return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

實例答案及分析：

實例1使用了常數(shù)個額外空間，所以空間復(fù)雜度為 O(1)

實例2動態(tài)開辟了N個空間，空間復(fù)雜度為 O(N)

實例3遞歸調(diào)用了N次，開辟了N個棧幀，每個棧幀使用了常數(shù)個空間?？臻g復(fù)雜度為O(N) 4.先說答案空間復(fù)雜度為O(N) ，這是因為它與棧幀的開辟與銷毀有關(guān)。棧幀銷毀后再開辟還是用的同一塊空間，它遞歸2^N次，開辟N個空間算出數(shù)值后銷毀空間，然后再開辟，總共用了N塊空間

總結(jié)： 時間一去不復(fù)返，是累積的 空間回收以后可以重復(fù)利用

5. 常見復(fù)雜度對比

一般算法常見的復(fù)雜度如下：

總結(jié)：這是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（用c語言實現(xiàn)）的第一節(jié)課，內(nèi)容還算簡單，可以抓緊時間復(fù)習(xí)c教程中的指針和結(jié)構(gòu)體等知識，之后的學(xué)習(xí)會更靈活的運用這些知識。大家加油！

到此這篇關(guān)于C語言 超詳細講解算法的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C語言 時間復(fù)雜度內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！