詳解C語(yǔ)言中二分查找的運(yùn)用技巧

更新時(shí)間：2022年03月29日 11:33:43 作者：楓葉

本文主要介紹了二分查找在實(shí)際中的應(yīng)用，通過(guò)分析幾個(gè)應(yīng)用二分查找的實(shí)例，總結(jié)下能使用二分查找算法的一些共同點(diǎn)，感興趣的可以了解一下

本文就來(lái)分析下二分查找在實(shí)際中的應(yīng)用，通過(guò)分析幾個(gè)應(yīng)用二分查找的實(shí)例，總結(jié)下能使用二分查找算法的一些共同點(diǎn)，以后大家遇到相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能有一個(gè)基本的分析方法，不至于一點(diǎn)兒頭緒也沒(méi)有。

基礎(chǔ)的二分查

找先來(lái)回顧下基礎(chǔ)的二分查找的基本框架，一般實(shí)際場(chǎng)景都是查找和 target 相等的最左側(cè)的元素或者最右側(cè)的元素，代碼如下：

查找左側(cè)邊界

int binary_search_firstequal(vector<int> &vec, int target)
{
    int ilen = (int)vec.size();
    if(ilen <= 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = ilen - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        //找到了目標(biāo),繼續(xù)向左查找目標(biāo)
        if (target == vec[mid]) right = mid - 1;
        else if(target < vec[mid]) right = mid -1;
        else left = mid + 1;        
    }
    if(right + 1 < ilen && vec[right + 1] == target) return right+1;
    return -1;
}

查找右側(cè)邊界

int binary_search_lastequal(vector<int> &vec, int target)
{
    int ilen = (int)vec.size();
    if(ilen <= 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = ilen - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        //找到了目標(biāo)，繼續(xù)向右查找目標(biāo)
        if (target == vec[mid]) left = mid + 1;
        else if(target < vec[mid]) right = mid -1;
        else left = mid + 1;        
    }
    if(left - 1 < ilen && vec[left - 1] == target) return left - 1;
    return -1;
}

二分查找問(wèn)題分析

二分查找問(wèn)題的關(guān)鍵是找到一個(gè)單調(diào)關(guān)系，單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減。

我們把二分查找的代碼簡(jiǎn)化下：

int target;             // 要查找的目標(biāo)值
vector<int> vec;        // 數(shù)組
int left = 0;           // 數(shù)組起始索引
int right = ilen - 1;   // 數(shù)組結(jié)束索引
while (left <= right)   // 查找 target 位于數(shù)組中的索引
{
   int mid = left + (right - left) / 2;
   if (target == vec[mid]) return mid;
}

上面的二分查找的單調(diào)關(guān)系是什么呢 ?是數(shù)組的索引和索引處元素的值，索引越大，元素的值越大，用偽代碼表示形式如下：

int func(vector<int>&vec,int index)
{
    return vec[index];
}
int search(vector<int>&vec,int target)
{
  while (left <= right)
  {
     int mid = left + (right - left) / 2;
     if (target == func(vec,mid))
     {
         ....
     }
     else if(target > func(vec,mid))
     {
         ...
     }
     else
     {
         ...
     }
  }
}

上述偽代碼中，我們把單調(diào)關(guān)系用一個(gè)函數(shù) func 來(lái)表示，傳入?yún)?shù)是數(shù)組以及數(shù)組索引，函數(shù)返回?cái)?shù)組指定索引處的元素。

在二分查找的 while 循環(huán)中 target 直接和 func 函數(shù)的返回值進(jìn)行比較。

聽(tīng)起來(lái)有些抽象，我們直接從 leetcode 上選幾道題來(lái)分析下。

實(shí)例1: 愛(ài)吃香蕉的珂珂

從題目的描述，跟有序數(shù)組完全不搭邊，所以初看這道題，根本想不到用二分查找的方法去分析。

如果看完題目，沒(méi)有任何思路的話，可以縷一縷題目涉及到的條件，看能否分析出一些有用的點(diǎn) 。

題意分析
珂珂要吃香蕉，面前擺了 N 堆，一堆一堆地吃
珂珂 1 小時(shí)能吃 K 根，但如果一堆少于 K 根，那也得花一小時(shí)
如果 1 堆大于 K 根，那么超過(guò) K 的部分也算 1 小時(shí)
問(wèn)：只給 H 小時(shí)，珂珂要吃多慢(K 多小)，才能充分占用這 H 小時(shí)

一般題目的問(wèn)題是什么，單調(diào)關(guān)系就跟什么有關(guān)，根據(jù)題意可知：珂珂吃香蕉的速度越小，耗時(shí)越多。反之，速度越大，耗時(shí)越少，這就是題目的單調(diào)關(guān)系。

我們要找的是速度, 因?yàn)轭}目限制了珂珂一個(gè)小時(shí)之內(nèi)只能選擇一堆香蕉吃，因此速度最大值就是這幾堆香蕉中，數(shù)量最多的那一堆, 最小速度毫無(wú)疑問(wèn)是 1 了，最大速度可以通過(guò)輪詢數(shù)組獲得。

int maxspeed = 1;
for(auto &elem : vec)
{
    if(elem > maxspeed) maxspeed = elem;
}+

又因?yàn)殓骁嬉粋€(gè)小時(shí)之內(nèi)只能選擇一堆香蕉吃，因此，每堆香蕉吃完的耗時(shí) = 這堆香蕉的數(shù)量 / 珂珂一小時(shí)吃香蕉的數(shù)量。根據(jù)題意，這里的 / 在不能整除的時(shí)候，還需要花費(fèi) 1 小時(shí)吃完剩下的，所以吃完一堆香蕉花費(fèi)的時(shí)間，可以表示成。

hour = piles[i] / speed;
if(0 != piles[i] % speed) hour += 1;

香蕉的堆數(shù)以及每堆的數(shù)量是確定的，要在 H 小時(shí)內(nèi)吃完，時(shí)間是輸入?yún)?shù)，也是確定的了，現(xiàn)在唯一不確定的就是吃香蕉的速度，我們需要做的就是在最小速度到最大速度之間找出一個(gè)速度，使得剛好能在 H 小時(shí)內(nèi)吃完香蕉。

前面說(shuō)到吃香蕉的速度和吃完香蕉需要的時(shí)間之間是單調(diào)關(guān)系，我們先把單調(diào)關(guān)系的函數(shù)定義出來(lái) 。

// 速度為 speed 時(shí)，吃完所有堆的食物需要多少小時(shí)
int eatingHour(vector<int>&piles,int speed)
{
    if(speed <= 0) return -1;
    int hour = 0;
    for(auto &iter : piles)
    {
        hour += iter / speed;
        if(0 != iter % speed) hour += 1;
    }
    return hour;
}

題目要求吃完香蕉的最小速度，也就是速度要足夠小，小到剛好在 H 小時(shí)內(nèi)吃完所有的香蕉，所以是求速度的左側(cè)邊界。

好了，分析完之后，寫出代碼:

int minEatingSpeed(vector<int> &piles, int h)
{
    //1小時(shí)最多能吃多少根香蕉
    int maxcount = 1;
    for (auto &iter : piles)
    {
        if (maxcount < iter) maxcount = iter; 
    }
    //時(shí)間的校驗(yàn)
    if (h < 1 || h < (int)piles.size() )  return -1;
    int l_speed = 1;
    int r_speed = maxcount;
    while (l_speed <= r_speed)
    {
        int m = l_speed + (r_speed - l_speed) / 2;
        // eatingHour 函數(shù)代碼見(jiàn)上文
        int hours = eatingHour(piles, m);
        if (hours == h)
        {
            // 求速度的左側(cè)邊界
            r_speed = m - 1;
        }
        else if (hours < h)
        {
            // hours 比 h 小，表示速度過(guò)大，邊界需要往左邊移動(dòng)
            r_speed = m - 1;
        }
        else
        {
            // hours 比 h 大，表示速度國(guó)小，邊界需要往右邊移動(dòng)
            l_speed = m + 1;
        }
    }
    return l_speed;
}

上述代碼中，我們列出了 while 循環(huán)中的 if 的所有分支，是為了幫助理解的，大家可自行進(jìn)行合并。

實(shí)例2：運(yùn)送包裹

題目要求船的運(yùn)載能力, 船的運(yùn)載能力和運(yùn)輸需要的天數(shù)成反比，運(yùn)載能力越大，需要的天數(shù)越少，運(yùn)載能力越小，需要的天數(shù)越多，也即存在單調(diào)關(guān)系，下面定義出單調(diào)關(guān)系的函數(shù)。

//船的載重為 capcity 時(shí),運(yùn)載 weights 貨物需要多少天
int shipDays(const vector<int> &weights, int capacity)
{
    //船載重校驗(yàn)
    if(capacity <= 0) return -1;
    int isize = (int)weights.size();
    int temp = 0;
    int days = 0;
    for(int i = 0; i < isize; ++i)
    {
        if(temp + weights[i] <= capacity)
        {
            temp += weights[i];
            continue;
        }
        ++days;
        temp = weights[i];
    }
    //還有剩余的，需要額外在運(yùn)送一趟
    if(temp > 0)  ++days;
    return days;
}

題目中隱含的幾個(gè)信息：

船的最小載重需要大于等于傳送帶上最重包裹的重量，因?yàn)槊看沃辽僖b載一個(gè)包裹
船的最大載重等于傳送帶上所有包裹的總重量，也即所有的包裹可以一次全部裝上船
船每天只能運(yùn)送一趟包裹

確定了船的運(yùn)載范圍后，相當(dāng)于確定了二分查找的區(qū)間，另外，題目求的是船的最小運(yùn)載能力，相當(dāng)于求運(yùn)載能力的左側(cè)邊界。

分析到這里，就可以寫出基本的查找框架了，這里直接給出代碼了。

int shipWithinDays(vector<int> &weights, int days)
{
    int isize = (int)weights.size();
    if (isize <= 0) return 0;
    //最小載重,需要等于貨物的最大重量
    int mincapacity = 0;
    //最大載重，全部貨物重量的總和
    int maxcapacity = 0;
    for (auto &iter : weights)
    {
        maxcapacity += iter;
        if (iter > mincapacity)
        {
            mincapacity = iter;
        }
    }
    int l = mincapacity;
    int r = maxcapacity;
    while (l < r)
    {
        int m = l + (r - l) / 2;
        int d = shipDays(weights, m);
        if (d == days)
        {
            r = m - 1;
        }
        else if (d < days)
        {
            // d 比 days 小，表示船載重太大，載重邊界需要往左移
            r = m - 1;
        }
        else
        {
            // d 比 days 大，表示船載重太小，載重邊界需要往右移
            l = m + 1;
        }
    }
    return l;
}

小結(jié)總結(jié)來(lái)說(shuō)，如果發(fā)現(xiàn)題目中存在單調(diào)關(guān)系，就可以嘗試使用二分查找的思路來(lái)解決，分析單調(diào)關(guān)系，寫出單調(diào)函數(shù)，搞清楚二分查找的范圍，確定查找的代碼框架，再進(jìn)行邊界細(xì)化，就能夠?qū)懗鲎罱K代碼。

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