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C語言深入探究動態(tài)規(guī)劃之線性DP

更新時間：2022年04月12日 14:21:55 作者：小羊努力變強

線性動態(tài)規(guī)劃，是較常見的一類動態(tài)規(guī)劃問題，其是在線性結構上進行狀態(tài)轉移，這類問題不像背包問題、區(qū)間DP等有固定的模板，線性動態(tài)規(guī)劃的目標函數(shù)為特定變量的線性函數(shù)，約束是這些變量的線性不等式或等式，目的是求目標函數(shù)的最大值或最小值

寫在前面

之前講過背包問題，不知道大家忘了嗎，如果忘了可以點這里，這次是線性DP

數(shù)字三角形

在這里插入圖片描述

狀態(tài)表示：f[i,j]，到點i，j的最大路徑

狀態(tài)計算：f[i,j] = MAX(f[i-1,j-1]+a[i,j],f[i-1,j]+a[i,j])

在這里插入圖片描述

看圖，以例題為例，將它看成五行五列的三角形，每個點都可以用坐標表示。那么我們可以得知到一個數(shù)的最大路徑要么來自左上，要么來自右上。左上的數(shù)用f[i-1,j-1]表示，右上的數(shù)f[i-1,j]表示，因此我們就有了狀態(tài)轉移公式：

f[i,j] = MAX(f[i-1,j-1]+a[i,j],f[i-1,j]+a[i,j])

所以就有了最終的代碼：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 1e9;

int n;
int a[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i + 1; j ++ )//注意這里j從0到i+1,因為對于邊界點,它的上一層只有一條路徑通向它
            f[i][j] = -INF;//初始化近似為-∞

    f[1][1] = a[1][1];
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);

    int res = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i]);

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

最長上升子序列

在這里插入圖片描述

狀態(tài)表示：f[i]表示從第一個數(shù)字開始算，以w[i]結尾的最大的上升序列。(以w[i]結尾的所有上升序列中屬性為最大值的那一個)

狀態(tài)計算（集合劃分）：j∈(0,1,2,…,i-1), 在w[i] > w[j]時，

f[i] = max(f[i], f[j] + 1)。

有一個邊界，若前面沒有比i小的，f[i]為1（自己為結尾）。

最后在找f[i]的最大值。

時間復雜度

O(n2) 狀態(tài)數(shù)(n) * 轉移數(shù)(n)

在這里插入圖片描述

看圖，首先 f[i]f[i] 的含義是以 w[i]結尾的最長上升子序列的長度

初始值 f[i]=1,i∈[0,n−1]，表示自己就是最長上升子序列，長度為 1

接下來考慮狀態(tài)轉移，把前 i−1個數(shù)字中所有滿足條件 w[j]<w[i]（因為要求是上升子序列）的 j 找出來，那么 f[i] 就可以試著更新為以 w[j] 結尾的最長上升子序列的長度再加上自己的長度 1，但可能更新完的結果沒有之前更新過的 f[i] 大，最后兩者取一個 max，所以狀態(tài)轉移方程就是 f[i]=max(f[i],f[j]+1)

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int w[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> w[i];

    int mx = 1;    // 找出所計算的f[i]之中的最大值，邊算邊找
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f[i] = 1;    // 設f[i]默認為1，找不到前面數(shù)字小于自己的時候就為1
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (w[i] > w[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);    // 前一個小于自己的數(shù)結尾的最大上升子序列加上自己，即+1
        }
        mx = max(mx, f[i]);
    }

    cout << mx << endl;
    return 0;
}

最長上升子序列 II

在這里插入圖片描述

會發(fā)現(xiàn)II的數(shù)據(jù)范圍變了,那我們就得做優(yōu)化，怎么優(yōu)化呢？

狀態(tài)表示：f[i]表示長度為i的最長上升子序列，末尾最小的數(shù)字。(長度為i的最長上升子序列所有結尾中，結尾最小min的) 即長度為i的子序列末尾最小元素是什么。

狀態(tài)計算：對于每一個w[i], 如果大于f[cnt-1] (下標從0開始，cnt長度的最長上升子序列，末尾最小的數(shù)字)，那就cnt+1，使得最長上升序列長度+1，當前末尾最小元素為w[i]。若w[i]小于等于f[cnt-1],說明不會更新當前的長度，但之前末尾的最小元素要發(fā)生變化，找到第一個大于或等于 (這里不能是大于) w[i]，更新以那時候末尾的最小元素。

f[i]一定以一個單調(diào)遞增的數(shù)組，所以可以用二分法來找第一個大于或等于w[i]的數(shù)字。

時間復雜度

O(nlogn)狀態(tài)數(shù)(n) * 轉移數(shù)(logn)

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, cnt;
int w[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0 ; i < n; i++) cin >> w[i];

    f[cnt++] = w[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (w[i] > f[cnt-1]) f[cnt++] = w[i];
        else {
            int l = 0, r = cnt - 1;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r) >> 1;
                if (f[mid] >= w[i]) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            f[r] = w[i];
        }
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

最長公共子序列

在這里插入圖片描述

集合表示：f[i][j]表示a的前i個字母，和b的前j個字母的最長公共子序列長度

集合劃分：以a[i],b[j]是否包含在子序列當中為依據(jù)，因此可以分成四類：

①a[i]不在，b[j]不在

max=f[i−1][j−1]

②a[i]a[i]不在，b[j]b[j]在

看似是max=f[i−1][j] , 實際上無法用f[i−1][j]表示，因為f[i−1][j]表示的是在a的前i-1個字母中出現(xiàn)，并且在b的前j個字母中出現(xiàn),此時b[j]不一定出現(xiàn)，這與條件不完全相等，條件給定是a[i]一定不在子序列中，b[j]一定在子序列當中，但仍可以用f[i−1][j]來表示，原因就在于條件給定的情況被包含在f[i−1][j]中，即條件的情況是f[i−1][j]的子集，而求的是max，所以對結果不影響。

例如：要求a，b，c的最大值可以這樣求：max(max(a,b),max(b,c))雖然b被重復使用，但仍能求出max，求max只要保證不漏即可。

③a[i]，b[j]不在原理同②
④a[i]在，b[j]在 max=f[i−1][j−1]+1

實際上，在計算時，①包含在②和③的情況中，所以①不用考慮

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n , m;
char a[N] , b[N];
int f[N][N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    cin >> a + 1 >> b + 1;

    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = 1 ; j <= m ; j++)
            {
                f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i][j - 1]);//2和3的情況一定存在，所以可以無條件優(yōu)先判斷
                if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + 1);
            }                                                       

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

到此這篇關于C語言深入探究動態(tài)規(guī)劃之線性DP的文章就介紹到這了,更多相關C語言線性DP內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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