C#并查集(union-find)算法詳解

更新時間：2022年04月15日 11:56:54 投稿：yangbin

本文詳細講解了C#并查集(union-find)算法，對大家的學習或者工作具有一定的參考學習價值，需要的朋友們下面隨著小編來一起學習學習吧

算法的主題思想:

1.優(yōu)秀的算法因為能夠解決實際問題而變得更為重要；

2.高效算法的代碼也可以很簡單；

3.理解某個實現(xiàn)的性能特點是一個挑戰(zhàn)；

4.在解決同一個問題的多種算法之間進行選擇時，科學方法是一種重要的工具；

5.迭代式改進能夠讓算法的效率越來越高效；

1. 動態(tài)連通性

動態(tài)連接：輸入是一對整數(shù)對的序列，其中每個整數(shù)代表某種類型的對象（或觸點），我們將整數(shù)對p q 解釋為意味著p連接到q。我們假設“連接到”是等價關(guān)系：

對稱性：如果p連接到q，則q 連接到p。
傳遞性：如果p連接到q且q 連接到r，則p連接到r。
自反性：p與p連接。

等價關(guān)系將對象劃分為多個等價類或連接的組件。等價類稱為連通分量或分量。
我們的目標是編寫一個程序，以從序列中過濾掉多余的對：當程序從輸入中讀取整數(shù)對 p q時，只有在該對點不等價的情況下，才應將對寫入到輸出中，并且將p連接到q。如果等價，則程序應忽略整數(shù)對pq 并繼續(xù)讀取下對。

動態(tài)連通性問題的應用：

1.網(wǎng)絡
2.變量名等價性
3.數(shù)學集合

在更高的抽象層次上，可以將輸入的所有整數(shù)看做屬于不同的數(shù)學集合。

2. 定義問題

設計算法的第一個任務就是精確地定義問題。

算法解決的問題越大，它完成任務所需的時間和空間可能越多。我們不可能預先知道這其間的量化關(guān)系，通常只會在發(fā)現(xiàn)解決問題很困難，或是代價巨大，或是發(fā)現(xiàn)算法所提供的信息比原問題所需要的更加有用時修改問題。例如，連通性問題只要求我們的程序能夠判斷出給定的整數(shù)對是否相連，但并沒有要求給出兩者之間的通路上的所有連接。這樣的要求更難，并會得出另一組不同的算法。

為了定義和說明問題，先設計一份API 來封裝基本操作: 初始化，連接兩個觸點，查找某個觸點的分量，判斷兩個觸點是否屬于同一分量，分量的數(shù)量：

    /// <summary>
    /// 動態(tài)連通API
    /// </summary>
    public interface IUnionFind
    {
        /// <summary>
        /// 連接
        /// </summary>
        /// <param name="p"></param>
        /// <param name="q"></param>
        void Union(int p, int q);

        /// <summary>
        /// 查找觸點 p 的分量標識符
        /// </summary>
        /// <param name="p"></param>
        /// <returns></returns>
        int Find(int p);

        /// <summary>
        /// 判斷兩個觸點是否處于同一分量
        /// </summary>
        /// <param name="p"></param>
        /// <param name="q"></param>
        /// <returns></returns>
        bool Connected(int p, int q);

        /// <summary>
        /// 連通分量的數(shù)量
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        int Count();
    }

為解決動態(tài)連通性問題設計算法的任務轉(zhuǎn)化為實現(xiàn)這份API：

1. 定義一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示已知的連接；
2. 基于此數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)高效的實現(xiàn)API的方法；

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)會直接影響算法的效率。這里，以觸點為索引，觸點和連接分量都是用 int 值表示，將會使用分量中某個觸點的值作為分量的標識符。所以，一開始，每個觸點都是只含有自己的分量，分量標識符為觸點的值。由此，可以初步實現(xiàn)一部分方法：

    public class FirstUnionFind:IUnionFind
    {
        private int[] id;//* 分量id 以觸點作為索引
        private int count;//分量數(shù)量

        public FirstUnionFind(int n)
        {
            count = n;
            id = new int[n];
            for (var i = 0; i < n; i++)
            {
                id[i] = i; // 第一個 i 作為觸點，第二個 i 作為觸點的值
            }
        }

        public int Count()
        {
            return count;
        }

        public bool Connected(int p, int q)
        {
            return Find(p) == Find(q);
        }

        public int Find(int p)
        {
            
        }

        public void Union(int p, int q)
        {
            
        }
    }

Union-find 的成本模型是數(shù)組的訪問次數(shù)(無論讀寫)。

3. quick-find算法實現(xiàn)

quick-find 算法是保證當且僅當 id[p] 等于 id[q] 時，p 和 q 是連通的。也就是說，在同一個連通分量中的所有觸點在 id[ ] 中的值全部相等。

所以Find 方法只需返回id[q]，Union 方法需要先判斷Find(p) 是否等于Find(q) ,若相等直接返回；若不相等，需要將 q 所在的連通分量中所有觸點的 id [ ] 值全部更新為 id[p]。

    public class QuickFindUF: IUnionFind
    {
        private int[] id;//* 分量id 以觸點作為索引
        private int count;//分量數(shù)量

        public QuickFindUF(int n)
        {
            count = n;
            id = new int[n];
            for (var i = 0; i < n; i++)
            {
                id[i] = i; // 第一個 i 作為觸點，第二個 i 作為觸點的值
            }
        }

        public int Count()
        {
            return count;
        }

        public bool Connected(int p, int q)
        {
            return Find(p) == Find(q);
        }

        public int Find(int p)
        {
            return id[p];
        }

        public void Union(int p, int q)
        {
            var pID = Find(p);
            var qID = Find(q);

            if (pID == qID)
                return;

            for (var i = 0; i < id.Length; i++)
            {
                if (id[i] == qID)
                    id[i] = pID;
            }
            count--; //連通分量減少
        }

        public void Show()
        {
            for(var i = 0;i<id.Length;i++)
                Console.WriteLine("索引："+i+",值："+ id[i] );
            Console.WriteLine("連通分量數(shù)量："+count);
        }
    }

算法分析

Find() 方法只需訪問一次數(shù)組，所以速度很快。但是對于處理大型問題，每對輸入 Union() 方法都需要掃描整個數(shù)組。

每一次歸并兩個分量的 Union() 方法訪問數(shù)組的次數(shù)在 N+3 到 2N+1 之間。由代碼可知，兩次 Find 操作訪問兩次數(shù)組，掃描數(shù)組會訪問N次，改變其中一個分量中所有觸點的值需要訪問 1 到 N - 1 次（最好情況是該分量中只有一個觸點，最壞情況是該分量中有 N - 1個觸點），2+N+N-1。

如果使用quick-find 算法來解決動態(tài)連通性問題并且最后只得到一個連通分量，至少需要調(diào)用 N-1 次Union() 方法，那么至少需要 (N+3)(N-1) ~ N^2 次訪問數(shù)組，是平方級別的。

4. quick-union算法實現(xiàn)

quick-union 算法重點提高 union 方法的速度，它也是基于相同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) -- 已觸點為索引的 id[ ] 數(shù)組，但是 id[ ] 的值是同一分量中另一觸點的索引(名稱)，也可能是自己（根觸點）——這種聯(lián)系成為鏈接。

在實現(xiàn) Find() 方法時，從給定觸點，鏈接到另一個觸點，知道到達根觸點，即鏈接指向自己。同時修改 Union() 方法，分別找到 p q 的根觸點，將其中一個根觸點鏈接到根觸點。

    public class QuickUnionUF : IUnionFind
    {
        private int[] id;
        private int count;

        public QuickUnionUF(int n)
        {
            count = n;
            id = new int[n];
            for (var i = 0; i < n; i++)
            {
                id[i] = i; // 第一個 i 作為觸點，第二個 i 作為觸點的值
            }
        }

        public int Count()
        {
            return count;
        }

        public bool Connected(int p, int q)
        {
            return Find(p) == Find(q);
        }

        public int Find(int p)
        {
            while (p != id[p])
                p = id[p];
            return p;
        }

        public void Union(int p, int q)
        {
            var pRoot = Find(p);
            var qRoot = Find(q);

            if (pRoot == qRoot)
                return;

            id[pRoot] =qRoot;
            count--; //連通分量減少  
        }
        public void Show() 
        { 
            for (var i = 0; i < id.Length; i++) 
            Console.WriteLine("索引：" + i + ",值：" + id[i]); 
            Console.WriteLine("連通分量數(shù)量：" + count); 
        }
    }

森林表示

id[ ] 數(shù)組用父鏈接的形式表示一片森林，用節(jié)點表示觸點。無論從任何觸點所對應的節(jié)點隨著鏈接查找，最后都將到達含有該節(jié)點的根節(jié)點。初始化數(shù)組之后，每個節(jié)點的鏈接都指向自己。

算法分析

定義：一棵樹的大小是它的節(jié)點的數(shù)量。樹中一個節(jié)點的深度是它到根節(jié)點的路徑上鏈接數(shù)。樹的高度是它的所有節(jié)點中的最大深度。

quick-union 算法比 quick-find 算法更快，因為它對每對輸入不需要遍歷整個數(shù)組。

分析quick-union 算法的成本比 quick-find 算法的成本要困難，因為quick-union 算法依賴于輸入的特點。在最好的情況下，find() 方法只需訪問一次數(shù)組就可以得到一個觸點的分量表示；在最壞情況下，需要 2i+1 次數(shù)組訪問(i 時觸點的深度)。由此得出，該算法解決動態(tài)連通性問題，在最佳情況下的運行時間是線性級別，最壞情況下的輸入是平方級別。解決了quick-find 算法中 union() 方法總是線性級別，解決動態(tài)連通性問題總是平方級別。

quick-union 算法中 find() 方法訪問數(shù)組的次數(shù)為 1(到達根節(jié)點只需訪問一次) 加上給定觸點所對應節(jié)點的深度的兩倍（while 循環(huán)，一次讀，一次寫）。union() 訪問兩次 find() ，如果兩個觸點不在同一分量還需加一次寫數(shù)組。

假設輸入的整數(shù)對是有序的 0-1， 0-2，0-3 等，N-1 對之后N個觸點將全部處于相同的集合之中，且得到的樹的高度為 N-1。由上可知，對于整數(shù)對 0-i , find() 訪問數(shù)組的次數(shù)為 2i + 1,因此，處理 N 對整數(shù)對所需的所有訪問數(shù)組的總次數(shù)為 3+5+7+ ......+(2N+1) ~ n^2

5.加權(quán) quick-union 算法實現(xiàn)

簡單改動就可以避免 quick-union算法出現(xiàn)最壞情況。quick-union算法 union 方法是隨意將一棵樹連接到另一棵樹，改為總是將小樹連接到大樹，這需要記錄每一棵樹的大小，稱為加權(quán)quick-union算法。

代碼：

    public class WeightedQuickUnionUF: IUnionFind
    {
        int[] sz;//以觸點為索引的 各個根節(jié)點對應的分量樹大小
        private int[] id;
        private int count;

        public WeightedQuickUnionUF(int n)
        {
            count = n;
            id = new int[n];
            sz = new int[n];
            for (var i = 0; i < n; i++)
            {
                id[i] = i; // 第一個 i 作為觸點，第二個 i 作為觸點的值
                sz[i] = 1;
            }
        }

        public int Count()
        {
            return count;
        }

        public bool Connected(int p, int q)
        {
            return Find(p) == Find(q);
        }

        public int Find(int p)
        {
            while (p != id[p])
                p = id[p];
            return p;
        }

        public void Union(int p, int q)
        {
            var pRoot = Find(p);
            var qRoot = Find(q);

            if (pRoot == qRoot)
                return;

            if (sz[pRoot] < sz[qRoot])
            {
                id[pRoot] = qRoot;
            }
            else
            {
                id[qRoot] = pRoot;
            }
                
            count--; //連通分量減少
        }

        public void Show()
        {
            for (var i = 0; i < id.Length; i++)
                Console.WriteLine("索引：" + i + ",值：" + id[i]);
            Console.WriteLine("連通分量數(shù)量：" + count);
        }
    }