C++算法學習之回溯法的應用
回溯1
實驗題目:n皇后
題目描述:
N皇后的排列,每行一個不沖突;N<=13。
輸入要求:
一個數(shù)字N (6 <= N <= 13) 表示棋盤是N x N大小的
輸出要求:
前三行為前三個解,每個解的兩個數(shù)字之間用一個空格隔開。第四行只有一個數(shù)字,表示解的總數(shù)。
解的輸出順序為從上到下從左到右,小的優(yōu)先輸出
實驗代碼及注釋:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int q[15] = { 0 }; //記錄n個皇后的擺放位置
// 下標為行,數(shù)組元素為列
int sum = 0;
int n;
void queen(int i)
{
int j;
int col, flag;
if (i == n + 1)//所有的行全部走完,即成功找到一種解法
{
sum++;
if (sum <= 3) // 輸出前三行結(jié)果
{
for (j = 1;j <= n;j++)
{
if (j == n)
cout << q[j] << endl;
else
cout << q[j] << " ";
}
}
return;
}
else
{
for (col = 1;col <= n;col++)//遍歷i行的每一列
{
flag = 1; // 假定棋子可放在i行col列
for (j = 1;j < i;j++)//n遍歷前i行是否符合
{
if (col == q[j] || i - col == j - q[j] || i + col == j + q[j])
{
flag = 0; //與前面棋子發(fā)生沖突
break;
}
}
if (flag == 1)//未與前面棋子發(fā)生沖突
{
q[i] = col;
queen(i + 1);//遍歷下一行
}
}
}
}
int main(void)
{
cin >> n;
memset(q, -1, sizeof(q)); //初始化棋子,-1表示未放上棋盤
queen(1); //從第一行開始遍歷
cout << sum << endl;
return 0;
}
算法分析與知識點:
本題采用回溯算法思想來解決N皇后問題,這里用一個q[N]數(shù)組來記錄棋子擺放情況:
1.算法開始, 清空棋盤,當前行設為第一行,當前列設為第一列
2.在當前行,當前列的位置上判斷是否滿足條件(即保證經(jīng)過這一點的行,列與斜線上都沒有兩個皇后),若不滿足,跳到第4步
3.在當前位置上滿足條件的情形:
- 在當前位置放一個皇后,若當前行是最后一行,記錄一個解;
- 若當前行不是最后一行,當前行設為下一行, 當前列設為當前行的第一個待測位置;
- 若當前行是最后一行,當前列不是最后一列,當前列設為下一列;
- 若當前行是最后一行,當前列是最后一列,回溯,即清空當前行及以下各行的棋盤,然后,當前行設為上一行,當前列設為當前行的下一個待測位置;
- 以上返回到第2步
4.在當前位置上不滿足條件的情形:
若當前列不是最后一列,當前列設為下一列,返回到第2步;
若當前列是最后一列了,回溯,即,若當前行已經(jīng)是第一行了,算法退出,否則,清空當前行及以下各行的棋盤,然后,當前行設為上一行,當前列設為當前行的
下一個待測位置,返回到第2步;
實驗題目:符號三角形
題目描述:
符號三角形的 第1行有n個由“+”和“-”組成的符號 ,以后每行符號比上行少1個,2個同號下面是“+”,2個異號下面是“-” 。計算有多少個不同的符號三角形,使其所含“+” 和“-” 的個數(shù)相同。
輸入要求:
整數(shù)n(n<=20)。
輸出要求:
符合要求的符號三角形的個數(shù)。
實驗代碼及注釋:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[30][30] = { 0 };
int n, sum = 0, sum1 = 0;
void check() {
int t = n, sum2 = 0;
while (t--) {
for (int i = 1;i <= t;i++) {
a[t][i] = 1 - (a[t + 1][i] + a[t + 1][i + 1]) % 2; // 遞推第t層i列的符號
if (a[t][i])//若為+
sum2++;
}
}
if (2 * (sum1 + sum2) == (n * (n + 1) / 2)) //記錄+總數(shù)是否為符號總數(shù)的一半
sum++;
}
void dfs(int x) { // x表示考慮頂層第x個位置的符號
for (int i = 0;i < 2;i++) {
//0=>-;1=>+
if (i)
sum1++; // 記錄頂層+的數(shù)量
a[n][x] = i;
if (x == n)//考慮完頂層的一種符號擺放,進行檢查
check();
else
dfs(x + 1);
if (i)
sum1--; // 若上擺放為+,則+數(shù)量回退1
}
}
int main()
{
cin >> n;
if ((n * (n + 1) / 2) % 2 == 1) //判斷符號總數(shù)奇偶性
cout << 0 << endl;
else {
dfs(1);
cout << sum << endl;
}
return 0;
}
算法分析與知識點:
本題主要運用回溯的思想,這題的特點是不能輸入元素,而且只要確定的頂層的n的符號的排列情況,就可以得到整個符號三角形的排列情況,因此只需要對符號三角形的頂層進行遍歷就好了。題目中有要求+和-的數(shù)量要一樣,所以符號三角形的符號總數(shù)要是偶數(shù),否則解決方案數(shù)為0。
令0和1分別代表-和+,其他層在頂層確定后即確定了,不需要枚舉。采用dfs對第一層的符號排列情況進行遍歷,遍歷完n后就可得到答案。
回溯 堂練
實驗題目:森林迷宮
題目描述:
一天Luna在森林里探險的時候不小心走入了一個迷宮,迷宮可以看成是由n * n的格點組成,每個格點只有2種狀態(tài):^ 和 # ;前者表示可以通行后者表示不能通行。當Luna處在某個格點時,她只能移動到東南西北(或者說上下左右)四個方向之一的相鄰格點上,Luna想要從起點A走到終點B(中途不能走出迷宮)。如果起點或者終點有一個不能通行(為#),則當做無法通行。
輸入要求:
第1行是測試數(shù)據(jù)的組數(shù)k,后面跟著k組輸入。
每組測試數(shù)據(jù)的第1行是一個正整數(shù)n (1 <= n <= 100),表示迷宮的規(guī)模是n * n的。
接下來是一個n * n的矩陣,矩陣中的元素為 . 或者 #。
再接下來一行是4個整數(shù)ar,ac,br,bc。表示A處在第ar行,第ac列,B處在第br行, 第bc列。注意坐標ar,ac,br,bc全部是從0開始計數(shù)的類似[1,4][5,6]被認為是覆蓋了[1,6]。
輸出要求:
YES或NO
實驗代碼及注釋:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[105][105]; // 記錄地圖
int n, ha, la, hb, lb, dir[4][2] = { {0,-1},{0,1},{-1,0},{1,0} }, flag;//flag標記搜索完畢后是否能到達終點
void dfs(int ha, int la)
{
if (ha == hb && la == lb) // 判斷是否達到終點
{
flag = 1;
}
if (flag) {
cout << "YES" << endl;
return;
}
for (int i = 0;i < 4;i++)
{
int dx = ha + dir[i][0];
int dy = la + dir[i][1];
if (dx >= 0 && dx < n && dy >= 0 && dy < n && s[dx][dy] == '^')
{
s[dx][dy] = '#';//只走一次,每個方都要走一遍,只要連通,肯定能到終點
dfs(dx, dy);
}
}
}
int main()
{
int k;
cin >> k;
while (k--)
{
cin >> n;
for (int i = 0;i < n;i++) for (int j = 0;j < n;j++) cin >> s[i][j];
cin >> ha >> la >> hb >> lb;
if (s[ha][la] == '#' || s[hb][lb] == '#') cout << "NO" << endl;//提前判斷始點和終點是否符合要求
else
{
flag = 0;
dfs(ha, la); //dfs搜索路徑
if (flag == 0) cout << "NO" << endl;
}
}
return 0;
}
算法分析與知識點:
本采用深度優(yōu)先的搜索方式來搜索全部路徑,大致思路為:從當前點出發(fā),往四個方位探尋找出所有與之相鄰的且尚未被訪問過的點,從中暫時先選取一個點作為當前點繼續(xù)上述過程,直到到達目的地或者再也無法探尋到能前進的點,再返回。如果當前搜索的點到達了目標點,flag標記為true,返回即可。若所有能到達的點都搜索完了,flag仍為false,則無法到達。
實驗題目:地圖著色
題目描述:
給定圖G=(V, E),需要為圖G的各頂點著色,是否有一種著色法使G中相鄰的兩個頂點有不同的顏色?
輸入要求:
第一行是頂點的個數(shù)n(2≤n≤10),顏色數(shù)m(1≤m≤n)。
接下來是頂點之間的連接關系:a b;表示a和b相鄰。頂點從1開始計。
當a,b同時為0時表示輸入結(jié)束。
輸出要求:
輸出著色方案總數(shù)和最少顏色數(shù)。如果無可行方案,顏色數(shù)為0。
實驗代碼及注釋:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10
int n, sum = 0, m;
int x[N + 1]; //記錄可行解
int g[N + 1][N + 1];//鄰接矩陣
int ans = N;
int ok(int t) // 判斷當前層節(jié)點是否可行
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (g[t][j] == 1 && x[t] == x[j])
return 0;
return 1;
}
int num_m() { //計算可行解中的顏色種類數(shù)
int ans = 0;
int temp[101] = { 0 };
for (int i = 1;i <= n;i++) {
temp[x[i]] = 1;
}
for (int i = 1;i <= 100;i++)
ans += temp[i];
return ans;
}
void back_track(int t)
{
int i;
if (t > n)
{
sum++; //找到可行解,總數(shù)+1
//for (i = 1; i <= n; i++)
// printf("%d ", x[i]);
// printf("\n");
int xx = num_m();
if (xx < ans)
ans = xx;
}
else
{
for (int i = 1; i <= m; i++)// 遍歷節(jié)點的每種顏色取值
{
x[t] = i;
if (ok(t))
back_track(t + 1);
x[t] = 0;
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> m; //n個頂點,m種顏色
int a, b;
cin >> a >> b;
while (!(a == 0 && b == 0)) { //構造鄰接矩陣
g[a][b] = 1;
g[b][a] = 1;
cin >> a >> b;
}
back_track(1);
if (sum)
cout << sum << " " << ans << endl;
else
cout << 0 << " " << 0 << endl;
return 0;
}
算法分析與知識點:
這個問題和八皇后還有求子集和等問題都具有類似之處,其核心在通過遍歷找到所有的問題子集 ,但是在遞歸遍歷的時候,都在加一個判斷,將那些明顯不滿足條件的情況給直接排出,減少問題的規(guī)模,其實這類問題,在遞歸遍歷的時候都是類似與對一顆樹的便利每個節(jié)點相當走到此時的狀態(tài),然后再判斷此時的狀態(tài)是否能繼續(xù)走下去,如果不能就將其回溯到上一個節(jié)點,避免浪費時間。
給定圖g(v,e)和m種顏色,如果這個圖不是m可著色,給出否定回答,是的話找出所有不同著色法。
分析:
用鄰接矩陣表示圖g,如果頂點i跟j之間有邊,則g[i][j] = 1,否則g[i][j] = 0.用整數(shù)1,2,…,m表示m種顏色,頂點i的顏色用x[i]表示,所以x[1:n]是一種著色方案。
在算法traceback中,當i>n時,就是所有頂點都上了色,得到新的m著色方案,當前m著色方案總數(shù)sum增一,輸出方案。
當i<n時,就是未著色完所有頂點,當前頂點i有x[i] = 1, 2…m種顏色可圖,對于每種顏色由函數(shù)ok判斷可行性,并用dfs對可行顏色搜索,或減去不可行方案。
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