C++關(guān)于樹的定義全面梳理
概念
本文以一個(gè)簡(jiǎn)單的樹為例,如下圖,來(lái)記錄樹的一些概念。
樹
一種由n個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的具有一定層次關(guān)系的有限數(shù)據(jù)集合。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有0個(gè)或者n個(gè)子節(jié)點(diǎn),有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)(沒(méi)有前驅(qū)只有后繼),除根節(jié)點(diǎn)外每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)前驅(qū),0個(gè)或多個(gè)后繼。
樹的葉子節(jié)點(diǎn)
只有一個(gè)前驅(qū),沒(méi)有后繼的節(jié)點(diǎn),為最外層的節(jié)點(diǎn)。葉子節(jié)點(diǎn)的度為0。
節(jié)點(diǎn)的度
節(jié)點(diǎn)擁有的子樹的數(shù)目。
分支結(jié)點(diǎn)
度不為0的結(jié)點(diǎn)。
樹的度
樹中結(jié)點(diǎn)的最大的度。
樹的高度
任意葉子節(jié)點(diǎn)距離根節(jié)點(diǎn)的最大深度。此文中樹的葉子節(jié)點(diǎn)為D、E、H,距離根節(jié)點(diǎn)的深度都為4,故高度為4。
樹的深度
即從根節(jié)點(diǎn)到葉子節(jié)點(diǎn)的行數(shù)。此文中樹的深度為4。
二叉樹
二叉樹是每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)子樹的樹結(jié)構(gòu)。
它有五種基本形態(tài):
二叉樹可以是空集;
根可以有空的左子樹或右子樹;
或者左、右子樹皆為空。
二叉樹的特點(diǎn)
二叉樹第i層上的結(jié)點(diǎn)數(shù)目最多為2i-1(i>=1)
深度為k的二叉樹至多有2k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)(k>=1)
包含n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹的高度至少為(log2n)+1
滿二叉樹
高度為h,并且由2h-1個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的二叉樹。
完全二叉樹
一棵二叉樹中,只有最下面兩層節(jié)點(diǎn)的度可以小于2,并且最下層的葉節(jié)點(diǎn)集中在靠左的若干位置上,這樣的二叉樹稱為完全二叉樹。
二叉查找樹
二叉查找樹又被稱為二叉搜索樹。設(shè)x為二叉查找樹中的一個(gè)結(jié)點(diǎn),x結(jié)點(diǎn)包含關(guān)鍵字key,結(jié)點(diǎn)x的key值計(jì)為key[x]。如果y是x的左子樹中的一個(gè)結(jié)點(diǎn),則key[y]<=key[x];如果y是x的右子樹的一個(gè)結(jié)點(diǎn),則key[y]>=key[x]。
特點(diǎn):
1.若任意結(jié)點(diǎn)的左子樹不空,則左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于它的根結(jié)點(diǎn)的值。
2.任意結(jié)點(diǎn)的右子樹不空,則右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于它的根結(jié)點(diǎn)的值。
3.任意結(jié)點(diǎn)的左、右子樹也分別為二叉查找樹。
4.沒(méi)有鍵值相等的結(jié)點(diǎn)。
示例
下面直接上代碼,一個(gè)簡(jiǎn)單的樹的創(chuàng)建、遍歷輸出,葉子節(jié)點(diǎn)數(shù),高度。
代碼實(shí)現(xiàn)
Tree.h
#pragma once typedef struct MYTREE { char data; struct MYTREE* lChild; struct MYTREE* rChild; }MyTree; class Tree { public: Tree(); ~Tree(); void CreateTree(); void TraverseTree(MyTree *root); void GetLeafNode(MyTree *root,int &num); int GetTreeDepth(MyTree *root); void GetTreeNode(MyTree *root, int &num); };
Tree.cpp
#include "Tree.h" #include <iostream> #include<algorithm>//max,min using namespace std; Tree::Tree() { } Tree::~Tree() { } void Tree::CreateTree() { MyTree t1 = {'A',nullptr,nullptr}; MyTree t2 = { 'B',nullptr,nullptr }; MyTree t3 = { 'C',nullptr,nullptr }; MyTree t4 = { 'D',nullptr,nullptr }; MyTree t5 = { 'E',nullptr,nullptr }; MyTree t6 = { 'F',nullptr,nullptr }; MyTree t7 = { 'G',nullptr,nullptr }; MyTree t8 = { 'H',nullptr,nullptr }; t1.lChild = &t2; t1.rChild = &t6; t2.rChild = &t3; t3.lChild = &t4; t3.rChild = &t5; t6.rChild = &t7; t7.lChild = &t8; TraverseTree(&t1); cout << endl; int leafNum = 0; GetLeafNode(&t1,leafNum); cout << "leaf num: " << leafNum << endl; int treeDepth = GetTreeDepth(&t1); cout << "depth:" << treeDepth << endl; int nodeNum = 0; GetTreeNode(&t1,nodeNum); cout << "node num; " << nodeNum << endl; } void Tree::TraverseTree(MyTree *root) { if (root == nullptr) { return; } TraverseTree(root->lChild); cout << root->data; TraverseTree(root->rChild); } void Tree::GetLeafNode(MyTree *root,int &num) { if (root == nullptr) { return ; } if (root->lChild == nullptr && root->rChild == nullptr) { num++; } GetLeafNode(root->lChild,num); GetLeafNode(root->rChild,num); } int Tree::GetTreeDepth(MyTree * root) { int num = 0; if (root == nullptr) { return num; } int lNum = GetTreeDepth(root->lChild); int rNum = GetTreeDepth(root->rChild); return max(lNum,rNum)+1; } void Tree::GetTreeNode(MyTree * root, int & num) { if (root == nullptr) { return; } ++num; GetTreeNode(root->lChild,num); GetTreeNode(root->rChild,num); }
main.cpp
#include <iostream> #include "Tree.h" using namespace std; void test() { Tree t; t.CreateTree(); } int main() { test(); return 0; }
開發(fā)環(huán)境
vs2017控制臺(tái)輸出程序。
運(yùn)行結(jié)果
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