1. 買賣股票的最佳時機(jī)

題目描述

給定一個數(shù)組 prices ，它的第 i 個元素 prices[i] 表示一支給定股票第 i 天的價格。

你只能選擇 某一天 買入這只股票，并選擇在 未來的某一個不同的日子 賣出該股票。設(shè)計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。

返回你可以從這筆交易中獲取的最大利潤。如果你不能獲取任何利潤，返回 0 。

示例 1：

輸入：[7,1,5,3,6,4]
輸出：5
解釋：在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出，最大利潤 = 6-1 = 5 。
     注意利潤不能是 7-1 = 6, 因?yàn)橘u出價格需要大于買入價格；同時，你不能在買入前賣出股票。

示例 2：

輸入：prices = [7,6,4,3,1]
輸出：0
解釋：在這種情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤為 0。

力扣鏈接

題解

思路：總目標(biāo)是找出兩個數(shù)，使得其差值最大，并且小的在左邊

• 我們可以建立一個 bp 數(shù)組，面里存放著每一次賣出的利潤，記為 profit = 后面的數(shù) - 前面的數(shù)最后比較所有的利潤的最大值
• 在每次求利潤時，我們首先找出最小的數(shù)，記為 start 然后再向后遍歷，求后面的數(shù)與這個數(shù)的差值，即profit每求一次profit，比較與上一次的profit誰大，取最大的那個值若是遇到一個更小的數(shù)，我們再將 start 更新

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
  const length = prices.length;
  let start = prices[0], profit = 0;
  for(let i = 0; i < length; i++) {
    start = Math.min(start, prices[i]);
    profit = Math.max(profit, prices[i] - start);
  }
  return profit;
};

2. 買賣股票的最佳時機(jī) II

題目描述

給你一個整數(shù)數(shù)組 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的價格。

在每一天，你可以決定是否購買和/或出售股票。你在任何時候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先購買，然后在 同一天 出售。

返回 你能獲得的 最大 利潤 。

示例 1：

輸入：prices = [7,1,5,3,6,4]
輸出：7
解釋：在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 3 天（股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5 - 1 = 4 。
     隨后，在第 4 天（股票價格 = 3）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 6 - 3 = 3 。
     總利潤為 4 + 3 = 7 。

示例 2：

輸入：prices = [1,2,3,4,5]
輸出：4
解釋：在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5 - 1 = 4 。
     總利潤為 4 。

示例 3：

輸入：prices = [7,6,4,3,1]
輸出：0
解釋：在這種情況下, 交易無法獲得正利潤，所以不參與交易可以獲得最大利潤，最大利潤為 0 。

力扣鏈接

題解

定義狀態(tài) dp[i][0] 表示第 i 天交易完后手里持有股票的最大利潤，dp[i][1] 表示第 i 天交易完后手里沒有一支股票的最大利潤（i 從 0 開始）。

考慮 dp[i][0] 的轉(zhuǎn)移方程，可能的轉(zhuǎn)移狀態(tài)為前一天已經(jīng)持有一支股票，即 dp[i−1][0]，或者前一天結(jié)束時還沒有股票，即 dp[i−1][1]，這時候我們要將其買入，并減少 prices[i] 的收益?？梢粤谐鋈缦碌霓D(zhuǎn)移方程：dp[i][0]=max{dp[i−1][0], dp[i−1][1]−prices[i]}

再來考慮 dp[i][1]，按照同樣的方式考慮轉(zhuǎn)移狀態(tài)，如果這一天交易完后手里沒有股票，那么可能的轉(zhuǎn)移狀態(tài)為前一天已經(jīng)沒有股票，即 dp[i−1][1]，或者前一天結(jié)束的時候手里持有一支股票，即 dp[i−1][0]，這時候我們要將其賣出，并獲得 prices[i] 的收益。因此為了收益最大化，我們列出如下的轉(zhuǎn)移方程：dp[i][0]=max{dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]}

對于初始狀態(tài)，根據(jù)狀態(tài)定義我們可以知道第 0 天交易結(jié)束的時候 dp[0][0]=−prices[0]，dp[0][1]=0。

因此，我們只要從前往后依次計算狀態(tài)即可。由于全部交易結(jié)束后，持有股票的收益一定低于不持有股票的收益，因此這時候 dp[length−1][1] 的收益必然是大于dp[length−1][0] 的，最后的答案即為 dp[length−1][1]。

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
  const length = prices.length;
  const dp = Array(length).fill(0).map(() => Array(2).fill(0));
  dp[0][0] = - prices[0];
  for(let i = 1; i < length; i++) {
    dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
    dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
  }  
  return dp[length - 1][1];
};

當(dāng)然，可以通過設(shè)置 dp0 和 dp1 兩個變量來代替 dp[i][0] 和 dp[i][1]，減小空間復(fù)雜度。

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
  const length = prices.length;
  let dp0 = -prices[0];
  let dp1 = 0;
  for(let i = 1; i < length; i++) {
    dp0 = Math.max(dp0, dp1 - prices[i]);
    dp1 = Math.max(dp1, dp0 + prices[i]);
  }  
  return dp1;
};

3. 買賣股票的最佳時機(jī)含手續(xù)費(fèi)

題目描述

給定一個整數(shù)數(shù)組 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票價格 ；整數(shù) fee 代表了交易股票的手續(xù)費(fèi)用。

你可以無限次地完成交易，但是你每筆交易都需要付手續(xù)費(fèi)。如果你已經(jīng)購買了一個股票，在賣出它之前你就不能再繼續(xù)購買股票了。

返回獲得利潤的最大值。

注意：這里的一筆交易指買入持有并賣出股票的整個過程，每筆交易你只需要為支付一次手續(xù)費(fèi)。

示例 1：

輸入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
輸出：8
解釋：能夠達(dá)到的最大利潤:  
在此處買入 prices[0] = 1
在此處賣出 prices[3] = 8
在此處買入 prices[4] = 4
在此處賣出 prices[5] = 9
總利潤: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

輸入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
輸出：6

力扣鏈接

題解

定義狀態(tài) dp[i][0] 表示第 i 天交易完后手里持有股票的最大利潤，dp[i][1] 表示第 i 天交易完后手里沒有股票的最大利潤（i 從 0 開始）。

考慮 dp[i][0] 的轉(zhuǎn)移方程，那么可能的轉(zhuǎn)移狀態(tài)為前一天已經(jīng)持有一支股票，即 dp[i−1][0]，或者前一天結(jié)束時還沒有股票，即 dp[i−1][0]，這時候我們要將其買入，并減少 prices[i] 的收益?？梢粤谐鋈缦碌霓D(zhuǎn)移方程：dp[i][0]=max{dp[i−1][0], dp[i−1][1]−prices[i]}

再來按照同樣的方式考慮 dp[i][1] 按狀態(tài)轉(zhuǎn)移，如果這一天交易完后手里沒有股票，那么可能的轉(zhuǎn)移狀態(tài)為前一天已經(jīng)沒有股票，即 dp[i−1][1]，或者前一天結(jié)束的時候手里持有一支股票，即 dp[i−1][0]，這時候我們要將其賣出，并獲得 prices[i] 的收益，但需要支付 fee 的手續(xù)費(fèi)。因此為了收益最大化，我們列出如下的轉(zhuǎn)移方程：dp[i][1]=max{dp[i−1][1],dp[i−1][0]+prices[i]−fee}

對于初始狀態(tài)，根據(jù)狀態(tài)定義我們可以知道第 0 天交易結(jié)束的時候有 dp[0][1]=0 以及 dp[0][0]=−prices[0]。

因此，我們只要從前往后依次計算狀態(tài)即可。由于全部交易結(jié)束后，持有股票的收益一定低于不持有股票的收益，因此這時候 dp[length−1][1] 的收益必然是大于 dp[length−1][1] 的，最后的答案即為 dp[length−1][1]。

當(dāng)然，可以通過設(shè)置 dp0 和 dp1 兩個變量來代替 dp[i][0] 和 dp[i][1]，減小空間復(fù)雜度。

/**
 * @param {number[]} prices
 * @param {number} fee
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices, fee) {
    const length = prices.length;
    let [dp0, dp1] = [-prices[0], 0];
    for(let i = 0; i < length; i++) {
      dp0 = Math.max(dp0, dp1 - prices[i]);
      dp1 = Math.max(dp1, dp0 + prices[i] - fee);
    }
    return dp1;
};

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