C/C++高精度運算(大整數(shù)運算)詳細(xì)講解
前言
高精度的運算在算法題尤為常見,在處理一些大型數(shù)據(jù)的項目中也需要用到。雖然Boost庫中有處理高精度問題的模板,但是標(biāo)準(zhǔn)庫中并沒有。為了方便學(xué)習(xí),本文提供了高精度運算的模板,供大家參考。
什么是大整數(shù)
眾所周知,最大的整型long long的范圍是【-9223372036854775808~9223372036854775807】,即使是無符號位的unsigned long long最大值也只是擴(kuò)大一倍,那當(dāng)題目需要用到或需要輸出比long long類型的范圍還要大的數(shù)字時,我們是不是就不能用常規(guī)辦法去接收這些數(shù)字了。這個時候使用大整數(shù)就可以解決上述問題——也就是解決接收超出整型范圍數(shù)字的問題。
大整數(shù)的表示
其實大整數(shù)的表示方法也不難,我們使用數(shù)組就可以了(當(dāng)然C++的vector容器也是可以的,原理都一樣,但為了照顧C(jī)語言的小伙伴,本文用數(shù)組表示)。
假設(shè)現(xiàn)在有一個int類型數(shù)組d[1000],那么我們可以用數(shù)組中的每一位元素表示大整數(shù)中的每一位數(shù)字,比如有整數(shù)123456789,那么我們可以用d[0]表示億位上的【1】,用d[1]表示千萬位上的【2】...以此類推,我們就可以用一個長度為9的數(shù)組表示這個大整數(shù)了。
當(dāng)然為了契合我們后面四則運算的思維,我們將數(shù)組元素的順序翻轉(zhuǎn)一次,也就是在數(shù)組靠前的元素表示低位,而靠后的元素表示高位(原因后面會講到),也就是如下圖所示:
而為了方便我們獲取當(dāng)前大整數(shù)的長度,我們可以使用一個結(jié)構(gòu)體(或者一個類,與C語言的結(jié)構(gòu)體不同,在C++中的結(jié)構(gòu)體也可以定義成員函數(shù))來表示。
//struct of bign(big number) struct bign { int d[1000]; int len; bign()//構(gòu)造函數(shù) { this->len = 0; memset(d, 0, sizeof(d)); } };
當(dāng)然,一般輸入大整數(shù)時,都是先用字符串讀入,然后再把字符串另存為至bign結(jié)構(gòu)體。
bign change(const string str)//將整數(shù)轉(zhuǎn)換為begin c語言用const char* { bign a; a.len = str.size();//bign的長度就是字符串的長度 c語言用strlen()函數(shù) for (int i = 0; i < a.len; i++) { a.d[i] = str[a.len - i - 1] - '0'; } return a; }
大整數(shù)的運算
對于大整數(shù)的四則運算,我們需要模擬在小學(xué)期間學(xué)習(xí)四則運算的思路和過程,也就是把我們在草稿紙上運算的過程,抽象成代碼的邏輯。
1、高精度加法
加法實現(xiàn)方式與我們以前學(xué)到的加法一樣。對于某一位的運算:我們將該位上的兩個數(shù)字與進(jìn)位相加,得到的結(jié)果取個位數(shù)作為該結(jié)果,十位數(shù)作為新的進(jìn)位。
bign add(bign a, bign b) { bign c; int carry = 0; //carry是進(jìn)位標(biāo)志 for (int i = 0; i < a.len || i < b.len; i++) //以較長的為界限 { int temp = a.d[i] + b.d[i] + carry; //兩個對應(yīng)位與進(jìn)位相加 c.d[c.len++] = temp % 10; //取個位數(shù)為該位的結(jié)果 carry = temp / 10; //取十位數(shù)為新的進(jìn)位 } if (carry) //如果最后的進(jìn)位不為0,則直接賦給結(jié)果的最高位 { c.d[c.len++] = carry; } return c; }
這里要注意,這樣寫法的條件是兩個對象都是非負(fù)整數(shù)。如果有雙方異號,可以在轉(zhuǎn)換到數(shù)組這一步時去掉符號,再使用高精度減法;如果雙方都為負(fù)數(shù),那么去掉負(fù)號后采用高精度加法,最后負(fù)號加回去即可。
2、高精度減法
通過對減法步驟的拆分可以得到一個簡練的步驟:對某一位,比較被減位和減位,如果不夠減,則令被減位的高位減1,被減位加10再進(jìn)行減法(借一位);如果夠減,那就直接減。最后需要注意減法后高位可能有多余的0,要去除它們,但要保證結(jié)果至少有一位數(shù)。
bign sub(bign a, bign b) //a - b { bign c; for (int i = 0; i < a.len || i < b.len; i++) //以較長的為界限 { if (a.d[i] < b.d[i]) //不夠減 { a.d[i + 1]--; //向高位借位 a.d[i] += 10; //向前位借10 } c.d[c.len++] = a.d[i] - b.d[i]; //減法結(jié)果為當(dāng)前位 } while (c.len >= 2 && c.d[c.len - 1] == 0) //剩余的位數(shù)不小于十位,并且最高位是0 { c.len--; //去除高位的0,同時至少保留一位最低位 } return c; }
3、高精度乘以低精度
所謂高精度乘以低精度,就是bign*int的運算。
對某一位來說是這樣的步驟:取bign的某位與int型整體相乘,再與進(jìn)位相加,所得結(jié)果的個位數(shù)作為該結(jié)果,高位部分作為新的進(jìn)位。對于a、b異號的情況只需要一個標(biāo)志位變量記錄,在輸出的時候加上負(fù)號就行了。
bign multi(bign a, int b) { bign c; int carry = 0; //進(jìn)位 for (int i = 0; i < a.len; i++) { int temp = a.d[i] * b + carry; c.d[c.len++] = temp % 10; //個位作為該結(jié)果 carry = temp / 10; //高位部分作為新的進(jìn)位 } while (carry != 0) //和加法不一樣,乘法的進(jìn)位可能不止一位,因此用while { c.d[c.len++] = carry % 10; carry /= 10; } return c; }
4、高精度除以低精度
高精度除以低精度,就是bign/int的運算??紤]到有時還需要知道計算之后的余數(shù),于是就把余數(shù)寫成引用的形式傳入,當(dāng)然也可以把余數(shù)設(shè)成全局變量。
對于某一位來說:上一步的余數(shù)乘以10加上該步的位,得到該步當(dāng)前的被除數(shù),將其與除數(shù)比較;如果不夠除,則該位的商為0;如果夠除,則商即為對應(yīng)的商,余數(shù)即為對應(yīng)的余數(shù)。和其他運算一樣,要注意結(jié)果可能有多余的0,要去掉它們,但也要保證結(jié)果至少有一位數(shù)。
bign divide(bign a, int b, int& r) //r為余數(shù) { bign c; c.len = a.len;//被除數(shù)的每一位和商的每一位是一一對應(yīng)的,因此先令長度相等 for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--) //從高位開始 { r = r * 10 + a.d[i]; //和上一位遺留的余數(shù)組合 if (r < b) c.d[i] = 0; //不夠除,該位為0 else //夠除 { c.d[i] = r / b; //商 r = r % b; //獲得新的余數(shù) } } while (c.len >= 2 && c.d[c.len - 1] == 0) { c.len--; //去除高位的0,同時至少保留一位最低位 } return c; }
如果大家對于上述的邏輯還不清楚的話,可以自己在稿紙上舉例幾個簡單的數(shù)算算,實際思路和我們運算時的思路是一樣的哈。
大整數(shù)的表示
最后,當(dāng)我們要打印出大整數(shù)時則要注意了,在上文中,我們?yōu)榱朔奖氵\算,將數(shù)組中的位序翻轉(zhuǎn)了一次,所以打印時就是需要從后往前輸出。
而如果我們輸入的數(shù)據(jù)是【04】,那么輸出的結(jié)果就不是單純的【4】了,一般來說這不是我們想要的結(jié)果是吧。那么為了解決這個問題,我們可以在打印的時候加上一個標(biāo)志位來判斷。
void print(bign ans) { int flag = 0; for (int i = ans.len - 1; i >= 0; i--) { if (ans.d[i] != 0) //標(biāo)志位如果首位是0 則不輸出 { flag = 1; } if (flag) { cout << ans.d[i]; } } if (!flag) cout << 0; //包含輸出0的情況 }
補(bǔ)充:使用示例
例題1(貪心+大整數(shù))
題目:洛谷P1080 國王游戲
分析
此題需要先貪心找到排序規(guī)律為按照每個人的左右手乘積非降序排列,在計算最小值時累乘的過程中可能數(shù)字溢出,所以要使用大整數(shù),但是根據(jù)題目描述大整數(shù)開100001位是不夠的需要開的更大,但是實際測試數(shù)據(jù)并沒有這么大。
AC代碼
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn = 10001; pair<int,int> nums[maxn]; //first 右手,second左手 struct bign{ //存123時: d={3,2,1}llen =3; int d[maxn]; int len; bign(){ memset(d,0,sizeof(d)); len = 0;} }res,sum,ans; //res最終結(jié)果,sum累乘結(jié)果,ans比較變量 bign multi(bign a,int b){ //高精度大整數(shù)與低精度的乘法 bign c; int carry = 0; //進(jìn)位 for(int i=0;i<a.len;i++){ int temp = a.d[i]*b + carry; //printf("%d*%d+%d\n",a.d[i],b,carry); c.d[c.len++] = temp%10; carry = temp / 10; } while(carry!=0){ c.d[c.len++] = carry%10; carry/=10; } return c; } bign divide(bign a,int b,int& r){ //高精度除以低精度,r為余數(shù) bign c; c.len = a.len; r=0; for(int i=a.len-1;i>=0;i--){ r = r*10 + a.d[i]; if(r<b) c.d[i] = 0; else{ c.d[i] = r/b; r %= b; } } while(c.len-1>=1&&c.d[c.len-1]==0){ c.len--; } return c; } int compare(bign a,bign b){ //比較a和b的大小,a>b返回1,相等返回0,a<b返回-1 if(a.len>b.len) return 1; if(a.len<b.len) return -1; for(int i=a.len-1;i>=0;i--){ if(a.d[i]>b.d[i]) return 1; if(a.d[i]<b.d[i]) return -1; } return 0; } void print(bign a){ //輸出大整數(shù) for(int i=a.len-1;i>=0;i--) printf("%d",a.d[i]); return; } int cmp(pair<int,int> a,pair<int,int> b){ return a.first*a.second<b.first*b.second; } int main(){ int n; scanf("%d",&n); scanf("%d %d",&nums[0].first,&nums[0].second); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&nums[i].first,&nums[i].second); sort(nums+1,nums+1+n,cmp); sum.d[0] = 1; sum.len = 1; for(int i=1;i<=n;i++){ int r = 0; //存余數(shù) sum = multi(sum,nums[i-1].first); ans = divide(sum,nums[i].second,r); if(compare(ans,res)==1) res = ans; } print(res); return 0; }
總結(jié)
到此這篇關(guān)于C/C++高精度運算(大整數(shù)運算)的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C/C++高精度運算內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!
相關(guān)文章
關(guān)于嘗試開發(fā)PHP的MYSQL擴(kuò)展的使用
本篇文章小編將為大家介紹,關(guān)于嘗試開發(fā)PHP的MYSQL擴(kuò)展的使用,需要的朋友可以參考一下2013-04-04