詳解Java中跳躍表的原理和實(shí)現(xiàn)
一、跳躍表的引入
對有序順序表可以采用二分查找，查找的時間復(fù)雜度為O (logn)，插入、刪除的時間復(fù)雜度為 O(n )。但是對有序鏈表不可以采用二分查找，查找、插入和刪除的時間復(fù)雜度均為O (n)。
有序鏈表如下圖所示，若查找 8，則必須從第 1 個節(jié)點(diǎn)開始，依次比較 8 次才能查找成功。
如何利用鏈表的有序性來提高查找效率？如何在一個有序鏈表中進(jìn)行二分查找？若增加一級索引，把奇數(shù)位序作為索引，則如下圖所示，若查找 8，則可以先從索引進(jìn)行比較，依次比較 1、3、5、7、9，8 比 7 大但比 9 小，7 向下一層，繼續(xù)向后比較，比較 6 次即可查找成功。
若再增加一級索引，把索引層的奇數(shù)位序作為索引，則如下圖所示，若查找 7，則可以先從索引開始比較，依次 1、5、9，7 比 5 大但比 9 小，5 向下一層，繼續(xù)向后比較，比較 4 次即可查找成功。
在增加兩級索引后，若查找 5，則比較兩次即可查找成功；若查找比 5 大的數(shù)，則以 5 為界向后查找；若查找比 5 小的數(shù)，則以 5 為界向前查找。這就是一個可進(jìn)行二分查找的有序鏈表。
二、算法分析
若有 n 個元素，則增加 h 級索引后的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下圖所示。
1.時間復(fù)雜度
底層包含所有元素（n個），即 2^(h +1)=n ，索引層數(shù) h=logn-1。搜索時，首先在頂層索引中進(jìn)行查找，然后二分搜索，最多從頂層搜索到底層，最多 O(logn) 層，因此查找的時間復(fù)雜度為 O(logn)。
2.空間復(fù)雜度
增加索引需要一些輔助空間，那么索引一共有多少個節(jié)點(diǎn)呢？從上圖中可以看出，每層索引的節(jié)點(diǎn)之和都為 2+2^2 +…+2^h =2^(h +1)-2=n-2，因此空間復(fù)雜度為 O(n )。實(shí)際上，索引節(jié)點(diǎn)并不是原節(jié)點(diǎn)的復(fù)制，只是附加了一些指針建立索引。以上正是跳躍表的實(shí)現(xiàn)原理。
三、跳躍表介紹
跳躍表（Skip list）是有序鏈表的擴(kuò)展，簡稱跳表，它在原有的有序鏈表上增加了多級索引，通過索引來實(shí)現(xiàn)快速查找，實(shí)質(zhì)上是一種可以進(jìn)行二分查找的有序鏈表。
實(shí)際上，跳躍表并不是簡單地通過奇偶次序建立索引的，而是通過隨機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的，因此也可以說它是一種隨機(jī)化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。假如跳躍表每一層的晉升概率都是 1/2，則最理想的索引就是在原始鏈表中每隔一個元素抽取一個元素作為一級索引。其實(shí)在原始鏈表中隨機(jī)選擇 n/2 個元素作為一級索引也可以，因?yàn)殡S機(jī)選擇的元素相對均勻，對查找效率來講影響不大。當(dāng)原始鏈表中元素數(shù)量足夠大且抽取足夠隨機(jī)時，得到的索引是均勻的。因此隨機(jī)選擇 n/2 個元素作為一級索引，隨機(jī)選擇 n/4 個元素作為二級索引，隨機(jī)選擇 n/8 個元素作為三級索引，以此類推，一直到頂層索引。我們可以通過索引來提升跳躍表的查找效率。
跳躍表不僅可以提高搜索性能，還可以提高插入和刪除操作的性能。平衡二叉查找樹在進(jìn)行插入、刪除操作后需要多次調(diào)整平衡，而跳躍表完全依靠隨機(jī)技術(shù)，其性能和平衡二叉查找樹不相上下，但是原理非常簡單。跳躍表是一種性能比較優(yōu)秀的動態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，Redis 中的有序集合 Sorted Set 和 LevelDB 中的 MemTable 都是采用跳躍表實(shí)現(xiàn)的。
四、跳躍表的實(shí)現(xiàn)
1.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)定義
在每個節(jié)點(diǎn)都可以設(shè)置向右、向下指針，當(dāng)然，也可以附加向左、向上指針，構(gòu)建四聯(lián)表。通過四聯(lián)表可以快速地在四個方向訪問前驅(qū)和后繼。在此僅設(shè)置向右指針，在每個節(jié)點(diǎn)都定義一個后繼指針數(shù)組，通過層次控制向下訪問。
2.查找
在跳躍表中查找元素 x ，需要從最上層索引開始逐層查找，算法步驟如下。
（1）從最上層 Sh 的頭節(jié)點(diǎn)開始。
（2）假設(shè)當(dāng)前位置為 p ，p 的后繼節(jié)點(diǎn)的值為 y ，若 x=y，則查找成功；若 x>y ，則 p 向后移一個位置，繼續(xù)查找；若 x<y ，則 p 向下移動一個位置，繼續(xù)查找。
（3）若到達(dá)底層還要向下移動，則查找失敗。
例如，跳躍表如下圖所示，在表中查找元素 36，則先從頂層的頭節(jié)點(diǎn)開始，比 20 大，向后為空，p 向下移動到第 2 層；比下一個元素 50 小，p 向下移動到第 1 層；比下一個元素 30 大，p 向右移動；比下一個元素 50 小，p 向下移動到第 0 層；與下一個元素 36 比較，查找成功。
3.插入
在跳躍表中插入一個元素時，相當(dāng)于在某一個位置插入一個高度為 level 的列。插入的位置可以通過查找確定，而插入列的高度可以采用隨機(jī)化決策確定。
隨機(jī)化獲取插入元素的層次：
① 初始時 lay=0，可設(shè)定晉升概率P為 0.5 或 0.25。
② 利用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生 0～1的隨機(jī)數(shù) r。
④ 若 r 小于 P 且 lay 小于最大層次，則 lay+1；否則返回 lay，作為新插入元素的高度。
在跳躍表中插入元素的算法步驟如下。
（1）查找插入位置，在查找過程中用 updata[i] 記錄經(jīng)過的每一層的最大節(jié)點(diǎn)位置。
（2）采用隨機(jī)化策略得到插入層次 lay。
（3）創(chuàng)建新節(jié)點(diǎn)，將高度為 lay 的列插入 updata[i] 之后。
例如，跳躍表如下圖所示，在表中插入元素 32。首先在跳躍表中查找 32，然后確定插入位置。在查找過程中用 updata[i] 記錄經(jīng)過的每一層的最大節(jié)點(diǎn)位置；假設(shè)隨機(jī)化得到的層次為 2，則 i 為 0～2，將新節(jié)點(diǎn)插入 updata[i] 之后。
4.刪除
在跳躍表中刪除一個元素，相當(dāng)于刪除這個元素所在的列。
算法步驟：
（1）查找該元素，在查找過程中用 updata[i] 記錄經(jīng)過的每一層的最大節(jié)點(diǎn)位置，實(shí)際上是待刪除節(jié)點(diǎn)在每一層的前一個元素的位置。若查找失敗，則退出。
（2）利用 updata[i] 將該元素整列刪除。
（3）若有多余空鏈，則刪除空鏈。
例如，跳躍表如下圖所示，在表中刪除元素 20。首先在跳躍表中查找 20，在查找過程中用 updata[i] 記錄經(jīng)過的每一層的最大節(jié)點(diǎn)位置；然后利用 updata[i] 將每層的 20 節(jié)點(diǎn)刪除。
刪除 20 所在的列后，最上層的鏈為空鏈，則刪除空鏈，跳躍表的層次減 1。
五、實(shí)戰(zhàn)
1.代碼
package com.platform;
import java.util.Scanner;
public class SkipList {
private static int INF = 0x7fffffff;
private static float P = 0.5f;
private static int MAX_LEVEL = 16;
static class Node {
int val;
Node forward[] = new Node[MAX_LEVEL];
}
Node head = new Node();
Node updata[] = new Node[MAX_LEVEL];
public SkipList() {
for (int i = 0; i < updata.length; i++) {
updata[i] = new Node();
}
}
void Init() {
level = 0;
head = new Node();
for (int i = 0; i < MAX_LEVEL; i++)
head.forward[i] = null;
head.val = -INF;
}
// 隨機(jī)產(chǎn)生插入元素高度
static int RandomLevel() {
int lay = 0;
while ((float) Math.random() < P && lay < MAX_LEVEL - 1)
lay++;
return lay;
}
Node Find(int val) {//查找最接近val的元素
Node p = head;
for (int i = level; i >= 0; i--) {
while (p.forward[i] != null && p.forward[i].val < val)
p = p.forward[i];
updata[i] = p;//記錄搜索過程中各級走過的最大節(jié)點(diǎn)位置
}
return p;
}
void Insert(int val) {
Node p, s;
int lay = RandomLevel();
System.out.printf("lay=%d\n", lay);
if (lay > level) //要插入的層 > 現(xiàn)有層數(shù)
level = lay;
p = Find(val); //查詢
s = new Node();//創(chuàng)建一個新節(jié)點(diǎn)
s.val = val;
for (int i = 0; i < MAX_LEVEL; i++)
s.forward[i] = null;
for (int i = 0; i <= lay; i++) {//插入操作
s.forward[i] = updata[i].forward[i];
updata[i].forward[i] = s;
}
}
void Delete(int val) {
Node p = Find(val);
if (p.forward[0] != null && p.forward[0].val == val) {
System.out.printf("%d\n", p.forward[0].val);
for (int i = level; i >= 0; i--) { // 刪除操作
if (updata[i].forward[i] != null && updata[i].forward[i].val == val)
updata[i].forward[i] = updata[i].forward[i].forward[i];
}
while (level > 0 && head.forward[level] == null) // 刪除空鏈
level--;
}
}
void print(int i) { // 遍歷
Node p = head.forward[i];
if (p == null) return;
while (p != null) {
System.out.printf("%d ", p.val);
p = p.forward[i];
}
System.out.printf("\n");
}
void printall() { // 遍歷所有層
for (int i = level; i >= 0; i--) {
System.out.printf("level %d: ", i);
print(i);
}
}
void show() {
System.out.printf("Please select:\n");
System.out.printf("-----------------------------\n");
System.out.printf(" 1: 插入\n");
System.out.printf(" 2: 刪除\n");
System.out.printf(" 3: 查找\n");
System.out.printf(" 4: 遍歷\n");
System.out.printf(" 5: 遍歷所有層\n");
System.out.printf(" 0: 退出\n");
System.out.printf("-----------------------------\n");
}
int level;
public static void main(String[] args) {
Scanner sn = new Scanner(System.in);
SkipList skipList = new SkipList();
skipList.Init();
int n, x;
skipList.show();
while (true){
n = sn.nextInt();
switch (n) {
case 1:
x = sn.nextInt();
skipList.Insert(x);
break;
case 2:
x = sn.nextInt();
skipList.Delete(x);
break;
case 3:
x = sn.nextInt();
Node p;
p = skipList.Find(x);
if (p.forward[0] != null && p.forward[0].val == x) {
System.out.printf("find success!\n");
} else {
System.out.printf("find fail!\n");
}
break;
case 4:
skipList.print(0);
break;
case 5:
skipList.printall();
break;
}
skipList.show();
}
}
}2.測試結(jié)果
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
1
1
lay=0
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
5
level 0: 1
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
1
4
lay=5
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
5
level 5: 4
level 4: 4
level 3: 4
level 2: 4
level 1: 4
level 0: 1 4
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
1
7
lay=1
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
5
level 5: 4
level 4: 4
level 3: 4
level 2: 4
level 1: 4 7
level 0: 1 4 7
Please select:
----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
1
2
lay=0
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
5
level 5: 4
level 4: 4
level 3: 4
level 2: 4
level 1: 4 7
level 0: 1 2 4 7
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
3
3
find fail!
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
3
2
find success!
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
2
2
2
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
5
level 5: 4
level 4: 4
level 3: 4
level 2: 4
level 1: 4 7
level 0: 1 4 7
Please select:
-----------------------------
1: 插入
2: 刪除
3: 查找
4: 遍歷
5: 遍歷所有層
0: 退出
-----------------------------
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