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C++實現(xiàn)AVL樹的示例詳解

 更新時間：2023年03月03日 11:22:17   作者：叫我小秦就好了  
AVL Tree 是一個「加上了額外平衡條件」的二叉搜索樹，其平衡條件的建立是為了確保整棵樹的深度為O(log_2N)，本文主要介紹了AVL樹的實現(xiàn)，需要的可以參考一下

AVL 樹的概念

也許因為插入的值不夠隨機，也許因為經(jīng)過某些插入或刪除操作，二叉搜索樹可能會失去平衡，甚至可能退化為單鏈表，造成搜索效率低。

AVL Tree 是一個「加上了額外平衡條件」的二叉搜索樹，其平衡條件的建立是為了確保整棵樹的深度為 O(log2N)。

AVL Tree 要求任何節(jié)點的左右子樹高度相差最多為 1。當違反該規(guī)定時，就需要進行旋轉來保證該規(guī)定。

AVL 樹的實現(xiàn)

節(jié)點的定義

AVL 樹節(jié)點的定義比一般的二叉搜索樹復雜，它需要額外一個 parent 指針，方便后續(xù)旋轉。并在每個節(jié)點中引入平衡因子，便于判斷是否需要旋轉。

/// @brief AVL 樹節(jié)點結構
/// @tparam K 節(jié)點的 key 值
/// @tparam V 節(jié)點的 value 值
template <class K, class V>
struct AVLTreeNode {
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) 
		: _kv(kv)
		, _parent(nullptr)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _bf(0)
	{}

	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
    // 左右子樹高度相同平衡因子為：0
    // 左子樹高平衡因子為負
    // 右子樹高平衡因子為正
	int _bf;
};

接口總覽

template<class K, class V>
class AVLTree {
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	Node* Find(const K& key);
	bool Insert(const pair<K, V>& kv);

private:
	void RotateR(Node* parent);
	void RotateL(Node* parent);
	void RotateLR(Node* parent);
	void RotateRL(Node* parent);
private:
	Node* _root = nullptr;
};

查找

AVL 樹的查找和普通的搜索二叉樹一樣：

  • 若 key 值大于當前節(jié)點的值，在當前節(jié)點的右子樹中查找
  • 若 key 值小于當前節(jié)點的值，在當前節(jié)點的左子樹中查找
  • 若 key 值等于當前節(jié)點的值，返回當前節(jié)點的地址
  • 若找到空，查找失敗，返回空指針
/// @brief 查找指定 key 值
/// @param key 要查找的 key
/// @return 找到返回節(jié)點的指針，沒找到返回空指針
Node* Find(const K& key) {
    Node* cur = _root;
    while (cur != nullptr) {
        // key 值與當前節(jié)點值比較
        if (key > cur->_kv.first) {
            cur = cur->_right;
        } else if (key < cur->_kv.first) {
            cur = cur->_left;
        } else {
            return cur;
        }
    }
    return nullptr;
}

插入

AVL 的插入整體分為兩步：

  • 按照二叉搜索樹的方式將節(jié)點插入
  • 調整節(jié)點的平衡因子

平衡因子是怎么調整的？

設新插入的節(jié)點為 pCur，新插入節(jié)點的父節(jié)點為 pParent。在插入之前，pParent 的平衡因子有三種可能：0、-1、1。

插入分為兩種：

  • pCur 插入到 pParent 的左側，將 pParent 的平衡因子減 1
  • pCur 插入到 pParent 的右側，將 pParent 的平衡因子加 1

此時，pParent 的平衡因子可能有三種情況：0、正負 1、正負 2。

  • 0：說明插入之前是正負 1，插入后被調整為 0，滿足 AVL 性質插入成功
  • 正負 1：說明插入之前是 0，插入后被調整為正負 1，此時 pParent 變高，需要繼續(xù)向上更新
  • 正負 2：說明插入之前是正負 1，插入后被調整為正負 2，此時破壞了規(guī)定，需要旋轉處理
/// @brief 插入指定節(jié)點
/// @param kv 待插入的節(jié)點
/// @return 插入成功返回 true，失敗返回 false
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
    if (_root == nullptr) {
        _root = new Node(kv);
        return true;
    }

    // 先找到要插入的位置
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur != nullptr) {
        if (kv.first > cur->_kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else if (kv.first < cur->_kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else {
            // 已經(jīng)存在，插入失敗
            return false;
        }
    }

    // 將節(jié)點插入
    cur = new Node(kv);
    if (kv.first > parent->_kv.first) {
        parent->_right = cur;
        cur->_parent = parent;
    } else {
        parent->_left = cur;
        cur->_parent = parent;
    }

    // 更新平衡因子，直到正常
    while (parent != nullptr) {
        // 調整父親的平衡因子
        if (parent->_left == cur) {
            --parent->_bf;
        } else {
            ++parent->_bf;
        }

        if (parent->_bf == 0) {
            // 此時不需要再繼續(xù)調整了，直接退出
            break;
        } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {
            // 此時需要繼續(xù)向上調整
            cur = parent;
            parent = parent->_parent;
        } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {
            // 此時需要旋轉處理
            if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) {
                RotateR(parent);
            } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) {
                RotateL(parent);
            } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) {
                RotateLR(parent);
            } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) {
                RotateRL(parent);
            } else {
                assert(false);
            }
            // 旋轉完了就平衡了，直接退出
            break;
        } else {
            // 此時說明之前就處理錯了
            assert(false);
        } // end of if (parent->_bf == 0)
    } // end of while (parent != nullptr)
    return true;
}

旋轉

假設平衡因子為正負 2 的節(jié)點為 X，由于節(jié)點最多擁有兩個子節(jié)點，因此可以分為四種情況：

  • 插入點位于 X 的左子節(jié)點的左子樹——左左：右單旋
  • 插入點位于 X 的左子節(jié)點的右子樹——左右：左右雙旋
  • 插入點位于 X 的右子節(jié)點的右子樹——右右：左單旋
  • 插入點位于 X 的右子節(jié)點的左子樹——右左：右左雙旋

右單旋

假設平衡因子為正負 2 的節(jié)點為 parent，parent 的父節(jié)點為 pParent，parent 的左子樹為 subL，subL 的右子樹為 subLR。

右單旋的操作流程：

  • 讓 subLR 作為 parent 的左子樹
  • 讓 parent 作為 subL 的右子樹
  • 讓 subL 作為整個子樹的新根
  • 更新平衡因子
/// @brief 進行右單旋
/// @param parent 平衡因子為正負 2 的節(jié)點
void RotateR(Node* parent) {
    Node* pParent = parent->_parent;
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = parent->_left->_right;

    // 更改鏈接關系
    // 1. subLR 作為 parent 的左子樹
    parent->_left = subLR;
    if (subLR != nullptr) {
        subLR->_parent = parent;
    }
    // 2. parent 作為 subL 的右子樹
    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;

    // 3. subL 作為整個子樹的新根
    if (parent == _root) {
        // parent 為 _root，此時令 subL 為 _root
        _root = subL;
        subL->_parent = nullptr;
    } else {
        // parent 不為 _root，pParent 也就不為空
        if (parent == pParent->_left) {
            pParent->_left = subL;
        } else {
            pParent->_right = subL;
        }
        subL->_parent = pParent;
    }

    // 4. 更新平衡因子
    // 觀察上圖明顯可知
    subL->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
}

左單旋

左單旋與右單旋類似，只是方向不同。

假設平衡因子為正負 2 的節(jié)點為 parent，parent 的父節(jié)點為 pParent，parent 的右子樹為 subR，subR 的左子樹為 subRL。

左單旋的操作流程：

  • 讓 subRL 作為 parent 的右子樹
  • 讓 parent 作為 subR 的左子樹
  • 讓 subR 作為整個子樹的新根
  • 更新平衡因子
/// @brief 進行左單旋
/// @param parent 平衡因子為正負 2 的節(jié)點
void RotateL(Node* parent) {
    Node* pParetn = parent->_parent;
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = parent->_right->_left;

    // 更改鏈接關系
    // 1. subRL 作為 parent 的右子樹
    parent->_right = subRL;
    if (subRL != nullptr) {
        subRL->_parent = parent;
    }
    // 2. parent 作為 subR 的左子樹
    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    // 3. subR 作為整個子樹的新根
    if (parent == _root) {
        _root = subR;
        subR->_parent = nullptr;
    } else {
        if (parent == pParetn->_left) {
            pParetn->_left = subR;
        } else {
            pParetn->_right = subR;
        }
        subR->_parent = pParetn;
    }

    // 4. 更新平衡因子
    subR->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
}

左右雙旋

假設平衡因子為正負 2 的節(jié)點為 parent，parent 的左子樹為 subL，subL 的右子樹為 subLR。

左右雙旋就是對 subL 進行一次左單旋，對 parent 進行一次右單旋。雙旋也就完成了，要注意的是雙旋后平衡因子的更新。

此時分三種情況：

1.新插入的節(jié)點是 subLR 的右子樹

2.新插入的節(jié)點是 subLR 的左子樹

3.新插入的是 subLR

結合上述情況，寫出如下代碼：

/// @brief 進行左右雙旋
/// @param parent 平衡因子為正負 2 的節(jié)點
void RotateLR(Node* parent) {
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = parent->_left->_right;
    int bf = subLR->_bf;

    RotateL(subL);
    RotateR(parent);

    if (bf == 1) {
        // 新插入節(jié)點是 subLR 的右子樹
        parent->_bf = 0;
        subL->_bf = -1;
        subLR->_bf = 0;
    } else if (bf == -1) {
        // 新插入的節(jié)點是 subLR 的左子樹
        parent->_bf = 1;
        subL->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
    } else if (bf == 0) {
        // 新插入的節(jié)點是 subLR
        parent->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
    } else {
        assert(false);
    }
}

右左雙旋

假設平衡因子為正負 2 的節(jié)點為 parent，parent 的右子樹為 subR，subR 的左子樹為 subRL。

右左雙旋就是對 subR 進行一次右單旋，對 parent 進行一次左單旋。流程和左右雙旋一樣，這里就不過多介紹了。

void RotateRL(Node* parent) {
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = parent->_right->_left;
    int bf = subRL->_bf;

    RotateR(subR);
    RotateL(parent);

    if (bf == 1) {
        // 新插入節(jié)點是 subRL 的右子樹
        parent->_bf = -1;
        subR->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
    } else if (bf == -1) {
        // 新插入的節(jié)點是 subRL 的左子樹
        parent->_bf = 0;
        subR->_bf = 1;
        subRL->_bf = 0;
    } else if (bf == 0) {
        // 新插入的節(jié)點是 subRL
        parent->_bf = 0;
        subR->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
    } else {
        assert(false);
    }
}

以上就是C++實現(xiàn)AVL樹的示例詳解的詳細內容，更多關于C++ AVL樹的資料請關注腳本之家其它相關文章！

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