C++最短路徑Dijkstra算法的分析與具體實現(xiàn)詳解

更新時間：2023年03月10日 09:13:11 作者：微涼秋意

經典的求解最短路徑算法有這么幾種：廣度優(yōu)先算法、Dijkstra算法、Floyd算法。本文是對?Dijkstra算法的總結，該算法適用于帶權有向圖，可求出起始頂點到其他任意頂點的最小代價以及對應路徑，希望對大家有所幫助

前言

經典的求解最短路徑算法有這么幾種：廣度優(yōu)先算法、Dijkstra算法、Floyd算法，在此專欄中我都會將這些算法的分析與具體實現(xiàn)詳細的展現(xiàn)出來。此篇文章是對 Dijkstra算法的總結，該算法適用于帶權有向圖，可求出起始頂點到其他任意頂點的最小代價以及對應路徑。

Dijkstra 算法分析

一般來說，有關圖的算法的存儲結構為鄰接表、鄰接矩陣，這次就以鄰接矩陣存儲為例，求出下圖的最短路徑：

初始條件

需要有三個數(shù)組：

final[]：布爾型，用來記錄頂點是否已找到最短路徑
dist[]：整形，記錄最短路徑長度(帶權)
path[]：整形，記錄當前頂點的前驅結點下標

  #define MAXVERTEX 6
  bool final[MAXVERTEX];
  int dist[MAXVERTEX];
  int path[MAXVERTEX];

對于起始頂點需要將final 設為true，dist 設為 0，path 設為-1

第一輪

遍歷所有與起始頂點相連的結點，找到一個權值最小的邊，并將對應頂點 i 加入到最短路徑，即 final[i] = true，之后再遍歷與 i 相鄰的頂點，若final 值為false 且dist 值小于dist[i]+dist[i][] 就將其dist 值更新，path 值改為 i。

第二輪及以后

第一輪結束后會有兩個頂點的 final 值為 true，實際上最大的循環(huán)只需要進行n - 1次，從第一輪結束后我們從值為 false 的頂點中找 dist 值最小的頂點，將其fianl 值設為 true，檢查與其相鄰頂點的path 值和dist 值可否更新(判斷與dist[i]+dist[i][]的大小)，重復第二輪的操作直至大循環(huán)結束。這樣最終的 dist 存放的就是起始頂點到對應下標頂點的最短路徑長度，而path 存放的就是最短路徑。

Dijkstra 代碼實現(xiàn)

#include<iostream>
using namespace std;
// 模擬實現(xiàn)Dijkstra算法，不適用于存在負值的帶權圖
#define MAXVERTEX 6
typedef struct {
	char Vertex[MAXVERTEX]; //頂點集
	int Edge[MAXVERTEX][MAXVERTEX]; // 存放權值
	int vernum, arcnum; // 頂點數(shù)和邊數(shù)
}MGraph;

// 初始化圖
void InitGraph(MGraph& G) {
	G.Vertex[0] = 'A';
	G.Vertex[1] = 'B';
	G.Vertex[2] = 'C';
	G.Vertex[3] = 'D';
	G.Vertex[4] = 'E';
	G.vernum = 5;
	G.arcnum = 10;

	// 圖中邊權值均設為無窮大
	for (int i = 0; i < G.vernum; i++) {
		for (int j = 0; j < G.vernum; j++) {
			G.Edge[i][j] = INT_MAX;
		}
	}
	// 根據(jù)具體圖形設置具體權值
	G.Edge[0][1] = 10; // 諸如此類
	G.Edge[0][4] = 5;
	G.Edge[1][2] = 1;
	G.Edge[1][4] = 2;
	G.Edge[4][1] = 3;
	G.Edge[2][3] = 4;
	G.Edge[3][2] = 6;
	G.Edge[4][3] = 2;
	G.Edge[3][0] = 7;
	G.Edge[4][2] = 9;
}
bool final[MAXVERTEX];
int dist[MAXVERTEX];
int path[MAXVERTEX];

void Dijkstra(MGraph G,int v) {
	for (int i = 0; i < G.vernum; i++) {
		final[i] = false;
		dist[i] = G.Edge[v][i];
		path[i] = (G.Edge[v][i] == INT_MAX ? -1 : v);
	}
	final[v] = true;
	dist[v] = 0;
	// 第一輪
	int index =v; // 權值最小的邊頂點下標
	int para = INT_MAX;
	for (int j = 0; j < G.vernum; j++) {
		if (final[j] == false && G.Edge[v][j] < para) {
			para = G.Edge[v][j];
			index = j;
		}
	}
	// 第二輪及以后
	for (int i = 0; i < G.vernum; i++) {
		for (int c = 0; c < G.vernum; c++) {
			if (final[c] ==false && G.Edge[index][c] < INT_MAX) {
				if (G.Edge[index][c] + dist[index] < dist[c]) {
					dist[c] = G.Edge[index][c] + dist[index];
					path[c] = index;
				}
			}
		}
		// 找到final 為false的頂點中權值最小的頂點下標
		int temp = INT_MAX;
		int in = v;
		for (int i = 0; i < G.vernum; i++) {
			if (final[i] == false && dist[i] < temp) {
				temp = dist[i];
				in = i;
			}
		}
		index = in; // 更新下標
		final[index] = true;
	}
}

void print_path(MGraph G ,int v) {
	cout << "對應的最短路徑為：";
	cout << G.Vertex[v] << "->";
	for (int i = 0; i < G.vernum; i++) {
		if (path[v] != 1) {
			cout << G.Vertex[path[v]] << "->";
			v = path[v];
		}
	}
	cout << G.Vertex[1] << endl;
}

int main() {
	MGraph G;
	InitGraph(G);
	Dijkstra(G, 1);
	cout << "頂點B到頂點D的最小花費為："<< dist[3] << endl;
	print_path(G, 3);
}

運行結果：

輸入輸出格式

想得到哪個頂點的最短路徑就在主函數(shù)中 Dijkstra(G, ?) 第二個參數(shù)寫入下標即可，其他對應關系：頂點下標 0~4 對應 A~E，所以在 cout那行代碼中dist下標要與到達頂點一致，而出發(fā)頂點要與自己填入的下標一致。

print_path 函數(shù)里的 if 語句中的下標也要和起始頂點下標一致，最后的一個cout也同樣處理

例如：

Dijkstra(G,0);
// dist[2];
cout<<"頂點A到頂點C的最短路徑為"<<dist[2]<<endl;
void print_path(MGraph G ,int v) {
	cout << "對應的最短路徑為：";
	cout << G.Vertex[v] << "->";
	for (int i = 0; i < G.vernum; i++) {
		if (path[v] != 0) {
			cout << G.Vertex[path[v]] << "->";
			v = path[v];
		}
	}
	cout << G.Vertex[0] << endl;
}