快捷導(dǎo)航

深入理解卡特蘭數(shù)及其應(yīng)用

更新時間：2013年05月28日 17:49:23 作者：

本篇文章是對卡特蘭數(shù)及其應(yīng)用進行了詳細的分析介紹，需要的朋友參考下

Catalan number，卡特蘭數(shù)又稱卡塔蘭數(shù)，是組合數(shù)學(xué)中一個常出現(xiàn)在各種計數(shù)問題中出現(xiàn)的數(shù)列。以比利時的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。

令h(0)=1,h(1)=1，catalan數(shù)滿足遞推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

catalan數(shù)公式的一般是形式為：

$C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$

遞推關(guān)系：

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.$

它也滿足

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$
這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數(shù)。

卡特蘭數(shù)的應(yīng)用n個元素順序入棧，出棧順序有多少種？此問題是一個卡特蘭數(shù)問題，證明過程如下：

令1表示進棧，0表示出棧，則可轉(zhuǎn)化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進制數(shù)，滿足從左往右掃描到任意一位時，經(jīng)過的0數(shù)不多于1數(shù)。顯然含n個1、n個0的2n位二進制數(shù)共有 ${2n \choose n}$ 個，下面考慮不滿足要求的數(shù)目。

考慮一個含n個1、n個0的2n位二進制數(shù)，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則后面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以后的部分0變成1、1變成0，則對應(yīng)一個n+1個0和n-1個1的二進制數(shù)。

反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數(shù)，由于0的個數(shù)多2個，2n為偶數(shù)，故必在某一個奇數(shù)位上出現(xiàn)0的累計數(shù)超過1的累計數(shù)。同樣在后面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數(shù)，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數(shù)必對應(yīng)一個不符合要求的數(shù)。
因而不合要求的2n位數(shù)與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應(yīng)。顯然，不符合要求的方案數(shù)為c(2n,n+1)。

從而 $C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ 。證畢。

括號化問題如，矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據(jù)乘法結(jié)合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)

出棧次序問題　　
1、一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
2、有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)。

將多邊行劃分為三角形問題　　
1、將一個凸多邊形區(qū)域分成三角形區(qū)域的方法數(shù)?
2、一位大城市的律師在她住所以北n個街區(qū)和以東n個街區(qū)處工作。每天她走2n個街區(qū)去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那么有多少條可能的道路？
3、在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數(shù)?

給頂節(jié)點組成二叉樹的問題　　給定N個節(jié)點，能構(gòu)成多少種不同的二叉樹？

一些筆試題
1、16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊一個，開始時燒餅店老板身上沒有錢。16個顧客互相不通氣，每人只買一個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現(xiàn)。
h(8)=16!/(8!*9!)=1430，所以總數(shù)=h(8)*8！*8！=16!/9
2、在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數(shù)？
h(3)=6!/(3!*4!)=5，所以總數(shù)=h(3)*3!*3!=180