一、基本內(nèi)容：

　　C語(yǔ)言中的函數(shù)可以遞歸調(diào)用，即：可以直接（簡(jiǎn)單遞歸）或間接（間接遞歸）地自己調(diào)自己。
　　要點(diǎn)：
　　1、C語(yǔ)言函數(shù)可以遞歸調(diào)用。
　　2、可以通過(guò)直接或間接兩種方式調(diào)用。目前只討論直接遞歸調(diào)用。

二、遞歸條件

　　采用遞歸方法來(lái)解決問(wèn)題，必須符合以下三個(gè)條件：
　　1、可以把要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題，而這個(gè)新的問(wèn)題的解決方法仍與原來(lái)的解決方法相同，只是所處理的對(duì)象有規(guī)律地遞增或遞減。
　　說(shuō)明：解決問(wèn)題的方法相同，調(diào)用函數(shù)的參數(shù)每次不同（有規(guī)律的遞增或遞減），如果沒(méi)有規(guī)律也就不能適用遞歸調(diào)用。
　　2、可以應(yīng)用這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程使問(wèn)題得到解決。
　　說(shuō)明：使用其他的辦法比較麻煩或很難解決，而使用遞歸的方法可以很好地解決問(wèn)題。
　　3、必定要有一個(gè)明確的結(jié)束遞歸的條件。
　　說(shuō)明：一定要能夠在適當(dāng)?shù)牡胤浇Y(jié)束遞歸調(diào)用。不然可能導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。

三、遞歸實(shí)例

　　例：使用遞歸的方法求n!
　　當(dāng)n>1時(shí)，求n!的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為n*(n-1)!的新問(wèn)題。
　　比如n=5：
　　第一部分：5*4*3*2*1 n*(n-1)!
　　第二部分：4*3*2*1 (n-1)*(n-2)!
　　第三部分：3*2*1 (n-2)(n-3)!
　　第四部分：2*1 (n-3)(n-4)!
　　第五部分：1 （n-5）! 5-5=0，得到值1，結(jié)束遞歸。
　　源程序：

四、遞歸說(shuō)明

　　1、當(dāng)函數(shù)自己調(diào)用自己時(shí)，系統(tǒng)將自動(dòng)把函數(shù)中當(dāng)前的變量和形參暫時(shí)保留起來(lái)，在新一輪的調(diào)用過(guò)程中，系統(tǒng)為新調(diào)用的函數(shù)所用到的變量和形參開辟另外的存 儲(chǔ)單元（內(nèi)存空間）。每次調(diào)用函數(shù)所使用的變量在不同的內(nèi)存空間。
　　2、遞歸調(diào)用的層次越多，同名變量的占用的存儲(chǔ)單元也就越多。一定要記住，每次函數(shù)的調(diào)用，系統(tǒng)都會(huì)為該函數(shù)的變量開辟新的內(nèi)存空間。
　　3、當(dāng)本次調(diào)用的函數(shù)運(yùn)行結(jié)束時(shí)，系統(tǒng)將釋放本次調(diào)用時(shí)所占用的內(nèi)存空間。程序的流程返回到上一層的調(diào)用點(diǎn)，同時(shí)取得當(dāng)初進(jìn)入該層時(shí)，函數(shù)中的變量和形參 所占用的內(nèi)存空間的數(shù)據(jù)。
　　4、所有遞歸問(wèn)題都可以用非遞歸的方法來(lái)解決，但對(duì)于一些比較復(fù)雜的遞歸問(wèn)題用非遞歸的方法往往使程序變得十分復(fù)雜難以讀懂，而函數(shù)的遞歸調(diào)用在解決這類 問(wèn)題時(shí)能使程序簡(jiǎn)潔明了有較好的可讀性；但由于遞歸調(diào)用過(guò)程中，系統(tǒng)要為每一層調(diào)用中的變量開辟內(nèi)存空間、要記住每一層調(diào)用后的返回點(diǎn)、要增加許多額外的 開銷，因此函數(shù)的遞歸調(diào)用通常會(huì)降低程序的運(yùn)行效率。

五、程序流程

這個(gè)函數(shù)是一個(gè)遞歸函數(shù)。但是運(yùn)行該函數(shù)將無(wú)休止地調(diào)用其自身，這當(dāng)然是不正確的。為了防止遞歸調(diào)用無(wú)終止地進(jìn)行，必須在函數(shù)內(nèi)有終止遞歸調(diào)用的手段。常用的辦法是加條件判斷，滿足某種條件后就不再作遞歸調(diào)用，然后逐層返回。下面舉例說(shuō)明遞歸調(diào)用的執(zhí)行過(guò)程。

【例8.5】用遞歸法計(jì)算n!

用遞歸法計(jì)算n!可用下述公式表示：
    n!=1         (n=0,1)
    n×(n-1)!    (n>1)
按公式可編程如下：
long ff(int n)
{
    long f;
    if(n<0) printf("n<0,input error");
    else if(n==0||n==1) f=1;
    else f=ff(n-1)*n;
    return(f);
}

main()
{
    int n;
    long y;
    printf("\ninput a inteager number:\n");
    scanf("%d",&n);
    y=ff(n);
    printf("%d!=%ld",n,y);
}

程序中給出的函數(shù)ff是一個(gè)遞歸函數(shù)。主函數(shù)調(diào)用ff 后即進(jìn)入函數(shù)ff執(zhí)行，如果n<0,n==0或n=1時(shí)都將結(jié)束函數(shù)的執(zhí)行，否則就遞歸調(diào)用ff函數(shù)自身。由于每次遞歸調(diào)用的實(shí)參為n-1，即把n-1的值賦予形參n，最后當(dāng)n-1的值為1時(shí)再作遞歸調(diào)用，形參n的值也為1，將使遞歸終止。然后可逐層退回。

下面我們?cè)倥e例說(shuō)明該過(guò)程。設(shè)執(zhí)行本程序時(shí)輸入為5，即求5!。在主函數(shù)中的調(diào)用語(yǔ)句即為y=ff(5)，進(jìn)入ff函數(shù)后，由于n=5,不等于0或1，故應(yīng)執(zhí)行f=ff(n-1)*n,即f=ff(5-1)*5。該語(yǔ)句對(duì)ff作遞歸調(diào)用即ff(4)。

進(jìn)行四次遞歸調(diào)用后，ff函數(shù)形參取得的值變?yōu)?，故不再繼續(xù)遞歸調(diào)用而開始逐層返回主調(diào)函數(shù)。ff(1)的函數(shù)返回值為1，ff(2)的返回值為1*2=2，ff(3)的返回值為2*3=6，ff(4)的返回值為6*4=24，最后返回值ff(5)為24*5=120。

例8.5也可以不用遞歸的方法來(lái)完成。如可以用遞推法，即從1開始乘以2，再乘以3…直到n。遞推法比遞歸法更容易理解和實(shí)現(xiàn)。但是有些問(wèn)題則只能用遞歸算法才能實(shí)現(xiàn)。典型的問(wèn)題是Hanoi塔問(wèn)題。

【例8.6】Hanoi塔問(wèn)題
    一塊板上有三根針，A，B，C。A針上套有64個(gè)大小不等的圓盤，大的在下，小的在上。如圖5.4所示。要把這64個(gè)圓盤從A針移動(dòng)C針上，每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤，移動(dòng)可以借助B針進(jìn)行。但在任何時(shí)候，任何針上的圓盤都必須保持大盤在下，小盤在上。求移動(dòng)的步驟。

本題算法分析如下，設(shè)A上有n個(gè)盤子。

如果n=1，則將圓盤從A直接移動(dòng)到C。

如果n=2，則：
      1.將A上的n-1(等于1)個(gè)圓盤移到B上；
      2.再將A上的一個(gè)圓盤移到C上；
      3.最后將B上的n-1(等于1)個(gè)圓盤移到C上。

如果n=3，則：
      A. 將A上的n-1(等于2，令其為n`)個(gè)圓盤移到B(借助于C)，步驟如下：
          (1)將A上的n`-1(等于1)個(gè)圓盤移到C上。
          (2)將A上的一個(gè)圓盤移到B。
          (3)將C上的n`-1(等于1)個(gè)圓盤移到B。
      B. 將A上的一個(gè)圓盤移到C。
      C. 將B上的n-1(等于2，令其為n`)個(gè)圓盤移到C(借助A)，步驟如下：
          (1)將B上的n`-1(等于1)個(gè)圓盤移到A。
          (2)將B上的一個(gè)盤子移到C。
          (3)將A上的n`-1(等于1)個(gè)圓盤移到C。

 到此，完成了三個(gè)圓盤的移動(dòng)過(guò)程。

從上面分析可以看出，當(dāng)n大于等于2時(shí)，移動(dòng)的過(guò)程可分解為三個(gè)步驟：
      第一步  把A上的n-1個(gè)圓盤移到B上；
      第二步  把A上的一個(gè)圓盤移到C上；
      第三步  把B上的n-1個(gè)圓盤移到C上；其中第一步和第三步是類同的。

當(dāng)n=3時(shí)，第一步和第三步又分解為類同的三步，即把n`-1個(gè)圓盤從一個(gè)針移到另一個(gè)針上，這里的n`=n-1。 顯然這是一個(gè)遞歸過(guò)程，據(jù)此算法可編程如下：
move(int n,int x,int y,int z)
{
    if(n==1)
      printf("%c-->%c\n",x,z);
    else
    {
      move(n-1,x,z,y);
      printf("%c-->%c\n",x,z);
      move(n-1,y,x,z);
    }
}
main()
{
    int h;
    printf("\ninput number:\n");
    scanf("%d",&h);
    printf("the step to moving %2d diskes:\n",h);
    move(h,'a','b','c');
}

    從程序中可以看出,move函數(shù)是一個(gè)遞歸函數(shù)，它有四個(gè)形參n,x,y,z。n表示圓盤數(shù)，x,y,z分別表示三根針。move 函數(shù)的功能是把x上的n個(gè)圓盤移動(dòng)到z上。當(dāng)n==1時(shí)，直接把x上的圓盤移至z上，輸出x→z。如n!=1則分為三步：遞歸調(diào)用move函數(shù)，把n-1個(gè)圓盤從x移到y(tǒng)；輸出x→z；遞歸調(diào)用move函數(shù)，把n-1個(gè)圓盤從y移到z。在遞歸調(diào)用過(guò)程中n=n-1，故n的值逐次遞減，最后n=1時(shí)，終止遞歸，逐層返回。當(dāng)n=4 時(shí)程序運(yùn)行的結(jié)果為：
    input number:
    4
    the step to moving 4 diskes:
    a→b
    a→c
    b→c
    a→b
    c→a
    c→b
    a→b
    a→c
    b→c
    b→a
    c→a
    b→c
    a→b
    a→c
    b→c

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