C++基本算法思想之遞推算法思想
遞推算法是非常常用的算法思想,在數(shù)學(xué)計算等場合有著廣泛的應(yīng)用。遞推算法適合有明顯公式規(guī)律的場合。
遞推算法基本思想
遞推算法是一種理性思維莫斯的代表,根據(jù)已有的數(shù)據(jù)和關(guān)系,逐步推到而得到結(jié)果。遞推算法的執(zhí)行過程如下:
(1)根據(jù)已知結(jié)果和關(guān)系,求解中間結(jié)果。
(2)判斷是否達(dá)到要求,如果沒有達(dá)到,則繼續(xù)根據(jù)已知結(jié)果和關(guān)系求解中間結(jié)果。如果滿足要求,則表示尋找到一個正確答案。
遞推算法需要用戶知道答案和問題之間的邏輯關(guān)系。在許多數(shù)學(xué)問題中,都有明確的計算公式可以遵循,因此可以采用遞推算法來實現(xiàn)。
遞推算法示例
數(shù)學(xué)里面的斐波那契數(shù)列是一個使用遞推算法的經(jīng)典例子。
13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤書》中記載了典型的兔子產(chǎn)仔問題,其大意如下:
如果一對一個月大的兔子以后每一個月都可以生一對小兔子,而一對新生的兔子出生兩個月才可以生出小兔子。也就是,1月份出生,3月份開始產(chǎn)仔。那么假定一年內(nèi)沒有產(chǎn)生兔子死亡事件,那么1年之后共有多少對兔子呢?
1.遞歸算法
我們來分析一下兔子產(chǎn)仔問題。我們先逐月看每月兔子的對數(shù)。
第一個月:1對兔子;
第二個月:1對兔子;
第三個月:2對兔子;
第四個月:3對兔子;
第五個月:5對兔子;
第六個月:8對兔子;
………………
從上面可以看出,從第三個月開始,每個月的兔子總對數(shù)等于前兩個月兔子數(shù)的總和。相應(yīng)的計算公式如下:
第n個月兔子總數(shù)Fn=Fn-1+Fn-2。
這里初始第一個月的兔子數(shù)F1=1,第二個月的兔子數(shù)F2=1。
可以用遞歸公式來求解。為了通用型的方便,我們可以編寫一個算法,用于計算斐波那契數(shù)列問題,按照這個思慮來編寫相應(yīng)的兔子產(chǎn)仔問題的求解算法,示例代碼如下:
/*
輸入?yún)?shù)n為經(jīng)歷的時間(單位是月),程序中通過遞歸調(diào)用來實現(xiàn)斐波那契數(shù)列的計算。
*/
int Fibonacci(n)
{
int t1,t2;
if(n>0)
{
if(n==1||n==2)
{
return 1;
}
else
{
t1=Fibonacci(n-1);
t2=Fibonacci(n-2);
return t1+t2;
}
}
else
{
return 0;
}
}
遞歸算法求解兔子產(chǎn)仔問題
有了上述通過的兔子產(chǎn)仔問題算法后,我們可以求解任意的此類問題。這里給出完整的兔子產(chǎn)仔問題求解代碼:
#include<iostream>
using namespace std;
/*
輸入?yún)?shù)n為經(jīng)歷的時間(單位是月),程序中通過遞歸調(diào)用來實現(xiàn)斐波那契數(shù)列的計算。
*/
int Fibonacci(int n)
{
int t1,t2;
if(n>0)
{
if(n==1||n==2)
{
return 1;
}
else
{
t1=Fibonacci(n-1); //遞歸調(diào)用獲取F(n-1)
t2=Fibonacci(n-2); //遞歸調(diào)用獲取F(n-2)
return t1+t2;
}
}
else
{
return 0;
}
}
int main()
{
int n,num;
cout<<"遞推算法求解兔子產(chǎn)仔問題:"<<endl;
cout<<"請輸入時間:"<<endl;
cin>>n;
num=Fibonacci(n);
cout<<"經(jīng)過"<<n<<"個月之后"<<endl;
cout<<"兔子的數(shù)量為:"<<num<<"對"<<endl;
return 0;
}
執(zhí)行該程序,用戶輸入12,得到如圖結(jié)果:
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