C++堆排序算法的實(shí)現(xiàn)方法
本文實(shí)例講述了C++實(shí)現(xiàn)堆排序算法的方法,相信對(duì)于大家學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法會(huì)起到一定的幫助作用。具體內(nèi)容如下:
首先,由于堆排序算法說起來(lái)比較長(zhǎng),所以在這里單獨(dú)講一下。堆排序是一種樹形選擇排序方法,它的特點(diǎn)是:在排序過程中,將L[n]看成是一棵完全二叉樹的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu),利用完全二叉樹中雙親節(jié)點(diǎn)和孩子節(jié)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系,在當(dāng)前無(wú)序區(qū)中選擇關(guān)鍵字最大(或最?。┑脑?。
一、堆的定義
堆的定義如下:n個(gè)關(guān)鍵字序列L[n]成為堆,當(dāng)且僅當(dāng)該序列滿足:
①L(i) <= L(2i)且L(i) <= L(2i+1) 或者 ②L(i) >= L(2i)且L(i) >= L(2i+1) 其中i屬于[1, n/2]。
滿足第①種情況的堆稱為小根堆(小頂堆),滿足第②種情況的堆稱為大根堆(大頂堆)。在大根堆中,最大元素存放在根結(jié)點(diǎn)中,且對(duì)任一非根結(jié)點(diǎn),它的值小于或等于其雙親結(jié)點(diǎn)值。小根堆則恰恰相反,小根堆的根結(jié)點(diǎn)存放的是最小元素。例如{16, 14, 10, 8, 7, 9, 3, 2}表示的大根堆:
二、構(gòu)造初始堆
堆排序的關(guān)鍵就是構(gòu)造初始堆。n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹中,最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)是第n/2(向下取整)個(gè)結(jié)點(diǎn)的孩子。所以構(gòu)造初始堆的流程是:對(duì)第n/2(向下取整)個(gè)結(jié)點(diǎn)為根的子樹進(jìn)行篩選(以大根堆為例,若根結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字小于左右子女中關(guān)鍵字的較大者,則交換),使該子樹成為堆。之后向前依次對(duì)從n/2-1到1的各結(jié)點(diǎn)為根的子樹進(jìn)行篩選,看該結(jié)點(diǎn)值是否大于其左右子結(jié)點(diǎn)的值,若不是,將左右子結(jié)點(diǎn)中較大值與之交換,交換后可能會(huì)破壞下一級(jí)的堆,于是繼續(xù)采用上述方法構(gòu)造下一級(jí)的堆,直到以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹構(gòu)成堆為止。反復(fù)利用上述調(diào)整堆的方法建堆,直到根結(jié)點(diǎn)。
由于在數(shù)組中下標(biāo)從0開始,所以在堆中i的左子結(jié)點(diǎn)為2*i+1,右子結(jié)點(diǎn)為2*i+2。下面是將某個(gè)結(jié)點(diǎn)i向下調(diào)整建堆的算法實(shí)現(xiàn):
void AdjustDown(ElementType A[], int i, int len) { ElementType temp = A[i]; // 暫存A[i] for(int largest=2*i+1; largest<len; largest=2*largest+1) { if(largest!=len-1 && A[largest+1]>A[largest]) ++largest; // 如果右子結(jié)點(diǎn)大 if(temp < A[largest]) { A[i] = A[largest]; i = largest; // 記錄交換后的位置 } else break; } A[i] = temp; // 被篩選結(jié)點(diǎn)的值放入最終位置 }
建堆,從n/2(向下取整)到1依次對(duì)各結(jié)點(diǎn)向下調(diào)整,當(dāng)然由于數(shù)組下標(biāo)從0開始,所以:
void BuildMaxHeap(ElementType A[], int len) { for(int i=len/2-1; i>=0; --i) // 從i=n/2-1到0,反復(fù)調(diào)整堆 AdjustDown(A, i, len); }
三、堆排序
構(gòu)造初始堆成功以后,堆排序的思路就很簡(jiǎn)單了:首先將存放在L[n]中的n個(gè)元素建成初始堆,由于堆本身的特點(diǎn)(以大根堆為例),堆頂元素就是最大值。輸出堆頂元素后,通常將堆底元素送入堆頂,此時(shí)根結(jié)點(diǎn)已不滿足大根堆的性質(zhì),堆被破壞。這時(shí)將堆頂元素向下調(diào)整使其繼續(xù)保持大根堆的性質(zhì),再輸出堆頂元素。如此重復(fù),直到堆中僅剩下一個(gè)元素為止。算法實(shí)現(xiàn)如下:
void HeapSort(ElementType A[], int n) { BuildMaxHeap(A, n); // 初始建堆 for(int i=n-1; i>0; --i) // n-1趟的交換和建堆過程 { // 輸出最大的堆頂元素(和堆底元素交換) A[0] = A[0]^A[i]; A[i] = A[0]^A[i]; A[0] = A[0]^A[i]; // 調(diào)整,把剩余的n-1個(gè)元素整理成堆 AdjustDown(A, 0, i); } }
四、性能分析
時(shí)間復(fù)雜度:向下調(diào)整的時(shí)間與樹高有關(guān),為O(h)??梢宰C明在元素個(gè)數(shù)為n的序列上建堆,其時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。之后還有n-1次向下調(diào)整操作,每次調(diào)整的時(shí)間為O(h),故在最好,最壞和平均情況下,堆排序的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)。
空間復(fù)雜度:僅使用了常數(shù)個(gè)輔助單元,空間復(fù)雜度為O(1)。
穩(wěn)定性:不穩(wěn)定。
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