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數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之AVL樹(shù)詳解

 更新時(shí)間：2014年08月28日 10:01:48   投稿：junjie  
這篇文章主要介紹了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之AVL樹(shù)詳解,本文非常細(xì)致的講解了AVL樹(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)、AVL樹(shù)的旋轉(zhuǎn)操作、AVL數(shù)的插入和刪除操作等,需要的朋友可以參考下

1. 概述

AVL樹(shù)是最早提出的自平衡二叉樹(shù)，在AVL樹(shù)中任何節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)子樹(shù)的高度最大差別為一，所以它也被稱(chēng)為高度平衡樹(shù)。AVL樹(shù)得名于它的發(fā)明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL樹(shù)種查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O（log n），增加和刪除可能需要通過(guò)一次或多次樹(shù)旋轉(zhuǎn)來(lái)重新平衡這個(gè)樹(shù)。本文介紹了AVL樹(shù)的設(shè)計(jì)思想和基本操作。

2. 基本術(shù)語(yǔ)

有四種種情況可能導(dǎo)致二叉查找樹(shù)不平衡，分別為：
（1）LL：插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)到根節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)（Left）的左子樹(shù)（Left），導(dǎo)致根節(jié)點(diǎn)的平衡因子由1變?yōu)?
（2）RR：插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)到根節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)（Right）的右子樹(shù)（Right），導(dǎo)致根節(jié)點(diǎn)的平衡因子由-1變?yōu)?2
（3）LR：插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)到根節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)（Left）的右子樹(shù)（Right），導(dǎo)致根節(jié)點(diǎn)的平衡因子由1變?yōu)?
（4）RL：插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)到根節(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)（Right）的左子樹(shù)（Left），導(dǎo)致根節(jié)點(diǎn)的平衡因子由-1變?yōu)?2
針對(duì)四種種情況可能導(dǎo)致的不平衡，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)使之變平衡。有兩種基本的旋轉(zhuǎn)：
（1）左旋轉(zhuǎn)：將根節(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到（根節(jié)點(diǎn)的）右孩子的左孩子位置
（2）右旋轉(zhuǎn)：將根節(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到（根節(jié)點(diǎn)的）左孩子的右孩子位置

3. AVL樹(shù)的旋轉(zhuǎn)操作

AVL樹(shù)的基本操作是旋轉(zhuǎn)，有四種旋轉(zhuǎn)方式，分別為：左旋轉(zhuǎn)，右旋轉(zhuǎn)，左右旋轉(zhuǎn)（先左后右），右左旋轉(zhuǎn)（先右后左），實(shí)際上，這四種旋轉(zhuǎn)操作兩兩對(duì)稱(chēng)，因而也可以說(shuō)成兩類(lèi)旋轉(zhuǎn)操作。
基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：

復(fù)制代碼 代碼如下:

typedef struct Node* Tree;
typedef struct Node* Node_t;
typedef Type int;
 
struct Node{
 Node_t left;
 Node_t right;
 int height;
 Type data;
};
int Height(Node_t node) {
 return node->height;
}

3.1 LL

LL情況需要右旋解決，如下圖所示：


代碼為：

復(fù)制代碼 代碼如下:

Node_t RightRotate(Node_t a) {
 b = a->left;
 a->left = b->right;
 b->right = a;
 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
 return b;
}

3.2 RR
RR情況需要左旋解決，如下圖所示：

代碼為：

復(fù)制代碼 代碼如下:

Node_t LeftRotate(Node_t a) {
 b = a->right;
 a->right = b->left;
 b->left = a;
 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
 return b;
}

3.3 LR

LR情況需要左右（先B左旋轉(zhuǎn)，后A右旋轉(zhuǎn)）旋解決，如下圖所示：

代碼為：

復(fù)制代碼 代碼如下:

Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {
 a->left = LeftRotate(a->left);
 return RightRotate(a);
}

3.4 RL

RL情況需要右左旋解決（先B右旋轉(zhuǎn)，后A左旋轉(zhuǎn)），如下圖所示：

代碼為：

復(fù)制代碼 代碼如下:

Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {
 a->right = RightRotate(a->right);
 return LeftRotate(a);
}

4. AVL數(shù)的插入和刪除操作

(1) 插入操作：實(shí)際上就是在不同情況下采用不同的旋轉(zhuǎn)方式調(diào)整整棵樹(shù)，具體代碼如下：

復(fù)制代碼 代碼如下:

Node_t Insert(Type x, Tree t) {
 if(t == NULL) {
   t = NewNode(x);
 } else if(x < t->data) {
   t->left = Insert(t->left);
   if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {
    if(x < t->left->data) {
     t = RightRotate(t);
    } else {
     t = LeftRightRotate(t);
    }
  }
 } else {
   t->right = Insert(t->right);
   if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {
    if(x > t->right->data) {
     t = LeftRotate(t);
    } else {
     t = RightLeftRotate(t);
    }
  }
 }
 t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
 return t;
}

(2) 刪除操作：首先定位要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)，然后用該節(jié)點(diǎn)的右孩子的最左孩子替換該節(jié)點(diǎn)，并重新調(diào)整以該節(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)為AVL樹(shù)，具體調(diào)整方法跟插入數(shù)據(jù)類(lèi)似，代碼如下：

復(fù)制代碼 代碼如下:

Node_t Delete(Type x, Tree t) {
 if(t == NULL) return NULL;
 if(t->data == x) {
  if(t->right == NULL) {
   Node_t temp = t;
   t = t->left;
   free(temp);
  } else {
   Node_t head = t->right;
   while(head->left) {
    head = head->left;
   }
   t->data = head->data; //just copy data
   t->right = Delete(t->data, t->right);
   t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
  }
  return t;
 } else if(t->data < x) {
  Delete(x, t->right);
  if(t->right) Rotate(x, t->right);
 } else {
  Delete(x, t->left);
  if(t->left) Rotate(x, t->left);
 }
 if(t) Rotate(x, t);
}

5. 總結(jié)

AVL樹(shù)是最早的自平衡二叉樹(shù)，相比于后來(lái)出現(xiàn)的平衡二叉樹(shù)（紅黑樹(shù)，treap，splay樹(shù)）而言，它現(xiàn)在應(yīng)用較少，但研究AVL樹(shù)對(duì)于了解后面出現(xiàn)的常用平衡二叉樹(shù)具有重要意義。

6. 參考資料

（1） 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（C語(yǔ)言版） 嚴(yán)蔚敏，吳偉民著
（2） http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91

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