1. 前言

本文介紹了常用的排列組合算法，包括全排列算法，全組合算法，m個(gè)數(shù)選n個(gè)組合算法等。

2. 排列算法

常見的排列算法有：
(A)字典序法
(B)遞增進(jìn)位制數(shù)法
(C)遞減進(jìn)位制數(shù)法
(D)鄰位對換法
(E)遞歸法

介紹常用的兩種：

(1) 字典序法

對給定的字符集中的字符規(guī)定了一個(gè)先后關(guān)系，在此基礎(chǔ)上按照順序依次產(chǎn)生每個(gè)排列。

[例]字符集{1,2,3},較小的數(shù)字較先,這樣按字典序生成的全排列是:123,132,213,231,312,321。

生成給定全排列的下一個(gè)排列 所謂一個(gè)的下一個(gè)就是這一個(gè)與下一個(gè)之間沒有字典順序中相鄰的字符串。這就要求這一個(gè)與下一個(gè)有盡可能長的共同前綴，也即變化限制在盡可能短的后綴上。

算法思想：

設(shè)P是[1,n]的一個(gè)全排列。
P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn , j=max{i|Pi<Pi+1}, k=max{i|Pi>Pj} ,對換Pj，Pk，將Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻轉(zhuǎn)， P'= P1P2…Pj-1PkPn…Pk+1PjPk-1…Pj+1即P的下一個(gè)

例子:839647521的下一個(gè)排列.

從最右開始,找到第一個(gè)比右邊小的數(shù)字4(因?yàn)?<7，而7>5>2>1),再從最右開始,找到4右邊比4大的數(shù)字5(因?yàn)?>2>1而4<5),交換4、5,此時(shí)5右邊為7421,倒置為1247,即得下一個(gè)排列:839651247.用此方法寫出全排列的非遞歸算法如下

該方法支持?jǐn)?shù)據(jù)重復(fù)，且在C++ STL中被采用。

(2) 遞歸法

設(shè)一組數(shù)p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列為perm(p)，pn = p – {rn}。則perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。當(dāng)n = 1時(shí)perm(p} = r1。

如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列

1、首先看最后兩個(gè)數(shù)4, 5。 它們的全排列為4 5和5 4, 即以4開頭的5的全排列和以5開頭的4的全排列。

由于一個(gè)數(shù)的全排列就是其本身，從而得到以上結(jié)果。

2、再看后三個(gè)數(shù)3, 4, 5。它們的全排列為3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六組數(shù)。

即以3開頭的和4,5的全排列的組合、以4開頭的和3,5的全排列的組合和以5開頭的和3,4的全排列的組合.

#include <stdio.h>
 
int n = 0;
 
void swap(int *a, int *b)
 
{
 
 int m;
 
 m = *a;
 
 *a = *b;
 
 *b = m;
 
}
 
void perm(int list[], int k, int m)
 
{
 
 int i;
 
 if(k > m)
 
 {
 
  for(i = 0; i <= m; i++)
 
   printf("%d ", list[i]);
 
  printf("\n");
 
  n++;
 
 }
 
 else
 
 {
 
  for(i = k; i <= m; i++)
 
  {
 
   swap(&list[k], &list[i]);
 
   perm(list, k + 1, m);
 
   swap(&list[k], &list[i]);
 
  }
 
 }
 
}
 
int main()
 
{
 
 int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};
 
 perm(list, 0, 4);
 
 printf("total:%d\n", n);
 
 return 0;
 
}

3. 組合算法

3.1 全組合

在此介紹二進(jìn)制轉(zhuǎn)化法，即，將每個(gè)組合與一個(gè)二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)起來，枚舉二進(jìn)制的同時(shí)，枚舉每個(gè)組合。如字符串：abcde

00000 <– –> null
00001<– –> e
00010 <– –> d
… …
11111 <– –> abcde

3.2 從n中選m個(gè)數(shù)

(1) 遞歸

a. 首先從n個(gè)數(shù)中選取編號最大的數(shù)，然后在剩下的n-1個(gè)數(shù)里面選取m-1個(gè)數(shù)，直到從n-(m-1)個(gè)數(shù)中選取1個(gè)數(shù)為止。

b. 從n個(gè)數(shù)中選取編號次小的一個(gè)數(shù)，繼續(xù)執(zhí)行1步，直到當(dāng)前可選編號最大的數(shù)為m。

下面是遞歸方法的實(shí)現(xiàn)：

/// 求從數(shù)組a[1..n]中任選m個(gè)元素的所有組合。
 
/// a[1..n]表示候選集，n為候選集大小，n>=m>0。
 
/// b[1..M]用來存儲當(dāng)前組合中的元素(這里存儲的是元素下標(biāo))，
 
/// 常量M表示滿足條件的一個(gè)組合中元素的個(gè)數(shù)，M=m，這兩個(gè)參數(shù)僅用來輸出結(jié)果。
 
void combine( int a[], int n, int m, int b[], const int M )
 
{
 
 for(int i=n; i>=m; i--)  // 注意這里的循環(huán)范圍
 
 {
 
  b[m-1] = i - 1;
 
  if (m > 1)
 
   combine(a,i-1,m-1,b,M);
 
  else           // m == 1, 輸出一個(gè)組合
 
  {
 
   for(int j=M-1; j>=0; j--)
 
   cout << a[b[j]] << " ";
 
   cout << endl;
 
  }
 
 }
 
}

(2) 01轉(zhuǎn)換法

本程序的思路是開一個(gè)數(shù)組，其下標(biāo)表示1到n個(gè)數(shù)，數(shù)組元素的值為1表示其代表的數(shù)被選中，為0則沒選中。

首先初始化，將數(shù)組前n個(gè)元素置1，表示第一個(gè)組合為前n個(gè)數(shù)。

然后從左到右掃描數(shù)組元素值的“10”組合，找到第一個(gè)“10”組合后將其變?yōu)椤?1”組合，同時(shí)將其左邊的所有“1”全部移動到數(shù)組的最左端。

當(dāng)?shù)谝粋€(gè)“1”移動到數(shù)組的n-m的位置，即n個(gè)“1”全部移動到最右端時(shí)，就得到了最后一個(gè)組合。

例如求5中選3的組合：

1 1 1 0 0 //1,2,3
 
1 1 0 1 0 //1,2,4
 
1 0 1 1 0 //1,3,4
 
0 1 1 1 0 //2,3,4
 
1 1 0 0 1 //1,2,5
 
1 0 1 0 1 //1,3,5
 
0 1 1 0 1 //2,3,5
 
1 0 0 1 1 //1,4,5
 
0 1 0 1 1 //2,4,5
 
0 0 1 1 1 //3,4,5

4. 參考資料
(1) http://www.dbjr.com.cn/article/54441.htm
(2) http://www.dbjr.com.cn/article/54443.htm
(3) 組合算法

本程序的思路是開一個(gè)數(shù)組，其下標(biāo)表示1到m個(gè)數(shù)，數(shù)組元素的值為1表示其下標(biāo)代表的數(shù)被選中，為0則沒選中。

首先初始化，將數(shù)組前n個(gè)元素置1，表示第一個(gè)組合為前n個(gè)數(shù)。

然后從左到右掃描數(shù)組元素值的“10”組合，找到第一個(gè)“10”組合后將其變?yōu)?“01”組合，同時(shí)將其左邊的所有“1”全部移動到數(shù)組的最左端。

當(dāng)?shù)谝粋€(gè)“1”移動到數(shù)組的m-n的位置，即n個(gè)“1”全部移動到最右端時(shí)，就得 到了最后一個(gè)組合。

例如求5中選3的組合：
1 1 1 0 0 //1,2,3
1 1 0 1 0 //1,2,4
1 0 1 1 0 //1,3,4
0 1 1 1 0 //2,3,4
1 1 0 0 1 //1,2,5
1 0 1 0 1 //1,3,5
0 1 1 0 1 //2,3,5
1 0 0 1 1 //1,4,5
0 1 0 1 1 //2,4,5
0 0 1 1 1 //3,4,5 

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