標(biāo)題:預(yù)排序遍歷樹算法

文章來自這里的3樓：http://bbs.chinaunix.net/viewthr ... 1%26filter%3Ddigest
可能作者參考了這里：http://dev.mysql.com/tech-resour ... rarchical-data.html


產(chǎn)品分類，多級的樹狀結(jié)構(gòu)的論壇，郵件列表等許多地方我們都會遇到這樣的問題：如何存儲多級結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)？在PHP的應(yīng)用中，提供后臺數(shù)據(jù)存儲的通常是關(guān)系型數(shù)據(jù)庫，它能夠保存大量的數(shù)據(jù)，提供高效的數(shù)據(jù)檢索和更新服務(wù)。然而關(guān)系型數(shù)據(jù)的基本形式是縱橫交錯的表，是一個平面的結(jié)構(gòu)，如果要將多級樹狀結(jié)構(gòu)存儲在關(guān)系型數(shù)據(jù)庫里就需要進(jìn)行合理的翻譯工作。接下來我會將自己的所見所聞和一些實用的經(jīng)驗和大家探討一下：

層級結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)保存在平面的數(shù)據(jù)庫中基本上有兩種常用設(shè)計方法：

1、毗鄰目錄模式(adjacency list model)

2、預(yù)排序遍歷樹算法(modified preorder tree traversal algorithm)

我不是計算機(jī)專業(yè)的，也沒有學(xué)過什么數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的東西，所以這兩個名字都是我自己按照字面的意思翻的，如果說錯了還請多多指教。
這兩個東西聽著好像很嚇人，其實非常容易理解。這里我用一個簡單食品目錄作為我們的示例數(shù)據(jù)。

我們的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是這樣的

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]Food

|---Fruit

| |---Red

| | |--Cherry

| |---Yellow

| |--Banana

|---Meat

|--Beef

|--Pork
為了照顧那些英文一塌糊涂的PHP愛好者
Food:食物
Fruit:水果
Red:紅色
Cherry:櫻桃
Yellow:黃色
Banana:香蕉
Meat:肉類
Beef:牛肉
Pork:豬肉


毗鄰目錄模式(adjacency list model)
這種模式我們經(jīng)常用到，很多的教程和書中也介紹過。我們通過給每個節(jié)點增加一個屬性 parent 來表示這個節(jié)點的父節(jié)點從而將整個樹狀結(jié)構(gòu)通過平面的表描述出來。根據(jù)這個原則，例子中的數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化成如下的表：

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]+-----------------------+
| parent | name |
+-----------------------+
| | Food |
| Food | Fruit |
| Fruit | Green |
| Green | Pear |
| Fruit | Red |
| Red | Cherry |
| Fruit | Yellow |
| Yellow | Banana |
| Food | Meat |
| Meat | Beef |
| Meat | Pork |
+-----------------------+
我們看到 Pear 是Green的一個子節(jié)點，Green是Fruit的一個子節(jié)點。而根節(jié)點'Food'沒有父節(jié)點。 為了簡單地描述這個問題， 這個例子中只用了name來表示一個記錄。 在實際的數(shù)據(jù)庫中，你需要用數(shù)字的id來標(biāo)示每個節(jié)點，數(shù)據(jù)庫的表結(jié)構(gòu)大概應(yīng)該像這樣：id, parent_id, name, description。
有了這樣的表我們就可以通過數(shù)據(jù)庫保存整個多級樹狀結(jié)構(gòu)了。

顯示多級樹
如果我們需要顯示這樣的一個多級結(jié)構(gòu)需要一個遞歸函數(shù)。

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]<?php
// $parent is the parent of the children we want to see
// $level is increased when we go deeper into the tree,
// used to display a nice indented tree

function display_children($parent, $level)
{
// 獲得一個 父節(jié)點 $parent 的所有子節(jié)點
$result = mysql_query('SELECT name FROM tree '.
'WHERE parent="'.$parent.'";');

// 顯示每個子節(jié)點
while ($row = mysql_fetch_array($result))
{
// 縮進(jìn)顯示節(jié)點名稱
echo str_repeat(' ',$level).$row['name']."n";

//再次調(diào)用這個函數(shù)顯示子節(jié)點的子節(jié)點

display_children($row['name'], $level+1);
}
}
?>;
對整個結(jié)構(gòu)的根節(jié)點（Food）使用這個函數(shù)就可以打印出整個多級樹結(jié)構(gòu)，由于Food是根節(jié)點它的父節(jié)點是空的，所以這樣調(diào)用: display_children('',0)。將顯示整個樹的內(nèi)容：


CODE:[Copy to clipboard]Food
Fruit
Red
Cherry
Yellow
Banana
Meat
Beef
Pork
如果你只想顯示整個結(jié)構(gòu)中的一部分，比如說水果部分，就可以這樣調(diào)用：display_children('Fruit',0);

幾乎使用同樣的方法我們可以知道從根節(jié)點到任意節(jié)點的路徑。比如 Cherry 的路徑是　"Food >; Fruit >; Red"。 為了得到這樣的一個路徑我們需要從最深的一級"Cherry"開始， 查詢得到它的父節(jié)點"Red"把它添加到路徑中， 然后我們再查詢Red的父節(jié)點并把它也添加到路徑中，以此類推直到最高層的"Food"

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]<?php
// $node 是那個最深的節(jié)點
function get_path($node)
{
// 查詢這個節(jié)點的父節(jié)點
$result = mysql_query('SELECT parent FROM tree '.
'WHERE name="'.$node.'";');
$row = mysql_fetch_array($result);

// 用一個數(shù)組保存路徑
$path = array();

// 如果不是根節(jié)點則繼續(xù)向上查詢
// (根節(jié)點沒有父節(jié)點)
if ($row['parent']!='')
{
// the last part of the path to $node, is the name
// of the parent of $node
$path[] = $row['parent'];

// we should add the path to the parent of this node
// to the path
$path = array_merge(get_path($row['parent']), $path);
}

// return the path
return $path;
}
?>;
如果對"Cherry"使用這個函數(shù)：print_r(get_path('Cherry'))，就會得到這樣的一個數(shù)組了：


CODE:[Copy to clipboard]Array
(
[0] =>; Food
[1] =>; Fruit
[2] =>; Red
)
接下來如何把它打印成你希望的格式，就是你的事情了。

缺點：
這種方法很簡單，容易理解，好上手。但是也有一些缺點。主要是因為運行速度很慢，由于得到每個節(jié)點都需要進(jìn)行數(shù)據(jù)庫查詢，數(shù)據(jù)量大的時候要進(jìn)行很多查詢才能完成一個樹。另外由于要進(jìn)行遞歸運算，遞歸的每一級都需要占用一些內(nèi)存所以在空間利用上效率也比較低。

現(xiàn)在讓我們看一看另外一種不使用遞歸計算，更加快速的方法，這就是預(yù)排序遍歷樹算法(modified preorder tree traversal algorithm)
這種方法大家可能接觸的比較少，初次使用也不像上面的方法容易理解，但是由于這種方法不使用遞歸查詢算法，有更高的查詢效率。

我們首先將多級數(shù)據(jù)按照下面的方式畫在紙上，在根節(jié)點Food的左側(cè)寫上 1 然后沿著這個樹繼續(xù)向下 在 Fruit 的左側(cè)寫上 2 然后繼續(xù)前進(jìn)，沿著整個樹的邊緣給每一個節(jié)點都標(biāo)上左側(cè)和右側(cè)的數(shù)字。最后一個數(shù)字是標(biāo)在Food 右側(cè)的 18。 在下面的這張圖中你可以看到整個標(biāo)好了數(shù)字的多級結(jié)構(gòu)。（沒有看懂？用你的手指指著數(shù)字從1數(shù)到18就明白怎么回事了。還不明白，再數(shù)一遍，注意移動你的手指）。
這些數(shù)字標(biāo)明了各個節(jié)點之間的關(guān)系，"Red"的號是3和6，它是 "Food" 1-18 的子孫節(jié)點。 同樣，我們可以看到 所有左值大于2和右值小于11的節(jié)點 都是"Fruit" 2-11 的子孫節(jié)點

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard] 1 Food 18

+-------------------------------------------+

2 Fruit 11 12 Meat 17

+------------------------+ +-----------------------+

3 Red 6 7 Yellow 10 13 Beef 14 15 Pork 16

4 Cherry 5 8 Banana 9
這樣整個樹狀結(jié)構(gòu)可以通過左右值來存儲到數(shù)據(jù)庫中。繼續(xù)之前，我們看一看下面整理過的數(shù)據(jù)表。

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]+-----------------------+-----+-----+
| parent | name | lft | rgt |
+-----------------------+-----+-----+
| | Food | 1 | 18 |
| Food | Fruit | 2 | 11 |
| Fruit | Red | 3 | 6 |
| Red | Cherry | 4 | 5 |
| Fruit | Yellow | 7 | 10 |
| Yellow | Banana | 8 | 9 |
| Food | Meat | 12 | 17 |
| Meat | Beef | 13 | 14 |
| Meat | Pork | 15 | 16 |
+-----------------------+-----+-----+
注意：由于"left"和"right"在 SQL中有特殊的意義，所以我們需要用"lft"和"rgt"來表示左右字段。 另外這種結(jié)構(gòu)中不再需要"parent"字段來表示樹狀結(jié)構(gòu)。也就是 說下面這樣的表結(jié)構(gòu)就足夠了。

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]+------------+-----+-----+
| name | lft | rgt |
+------------+-----+-----+
| Food | 1 | 18 |
| Fruit | 2 | 11 |
| Red | 3 | 6 |
| Cherry | 4 | 5 |
| Yellow | 7 | 10 |
| Banana | 8 | 9 |
| Meat | 12 | 17 |
| Beef | 13 | 14 |
| Pork | 15 | 16 |
+------------+-----+-----+
好了我們現(xiàn)在可以從數(shù)據(jù)庫中獲取數(shù)據(jù)了，例如我們需要得到"Fruit"項下的所有所有節(jié)點就可以這樣寫查詢語句：
SELECT * FROM tree WHERE lft BETWEEN 2 AND 11;
這個查詢得到了以下的結(jié)果。

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]+------------+-----+-----+
| name | lft | rgt |
+------------+-----+-----+
| Fruit | 2 | 11 |
| Red | 3 | 6 |
| Cherry | 4 | 5 |
| Yellow | 7 | 10 |
| Banana | 8 | 9 |
+------------+-----+-----+
看到了吧，只要一個查詢就可以得到所有這些節(jié)點。為了能夠像上面的遞歸函數(shù)那樣顯示整個樹狀結(jié)構(gòu)，我們還需要對這樣的查詢進(jìn)行排序。用節(jié)點的左值進(jìn)行排序：

SELECT * FROM tree WHERE lft BETWEEN 2 AND 11 ORDER BY lft ASC;


剩下的問題如何顯示層級的縮進(jìn)了。

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]<?php
function display_tree($root)
{
// 得到根節(jié)點的左右值
$result = mysql_query('SELECT lft, rgt FROM tree '.'WHERE name="'.$root.'";');
$row = mysql_fetch_array($result);

// 準(zhǔn)備一個空的右值堆棧
$right = array();

// 獲得根基點的所有子孫節(jié)點
$result = mysql_query('SELECT name, lft, rgt FROM tree '.
'WHERE lft BETWEEN '.$row['lft'].' AND '.
$row['rgt'].' ORDER BY lft ASC;');

// 顯示每一行
while ($row = mysql_fetch_array($result))
{
// only check stack if there is one
if (count($right)>;0)
{
// 檢查我們是否應(yīng)該將節(jié)點移出堆棧
while ($right[count($right)-1]<$row['rgt'])
{
array_pop($right);
}
}

// 縮進(jìn)顯示節(jié)點的名稱
echo str_repeat(' ',count($right)).$row['name']."n";

// 將這個節(jié)點加入到堆棧中
$right[] = $row['rgt'];
}
}
?>;
如果你運行一下以上的函數(shù)就會得到和遞歸函數(shù)一樣的結(jié)果。只是我們的這個新的函數(shù)可能會更快一些，因為只有2次數(shù)據(jù)庫查詢。

要獲知一個節(jié)點的路徑就更簡單了，如果我們想知道Cherry 的路徑就利用它的左右值4和5來做一個查詢。

SELECT name FROM tree WHERE lft < 4 AND rgt >; 5 ORDER BY lft ASC;

這樣就會得到以下的結(jié)果：

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]+------------+
| name |
+------------+
| Food |
| Fruit |
| Red |
+------------+
那么某個節(jié)點到底有多少子孫節(jié)點呢？很簡單，子孫總數(shù)=(右值-左值-1)/2
descendants = (right – left - 1) / 2
不相信？自己算一算啦。
用這個簡單的公式，我們可以很快的算出"Fruit 2-11"節(jié)點有4個子孫節(jié)點，而"Banana 8-9"節(jié)點沒有子孫節(jié)點，也就是說它不是一個父節(jié)點了。

很神奇吧？雖然我已經(jīng)多次用過這個方法，但是每次這樣做的時候還是感到很神奇。

這的確是個很好的辦法，但是有什子孫總數(shù)=(右值-左值-1)/2
descendants = (right – left - 1) / 2
不相信？自己算一算啦。
用這個簡單的公式，我們可以很快的算出"Fruit 2-11"節(jié)點有4個子孫節(jié)點，而"Banana 8-9"節(jié)點沒有子孫節(jié)點，也就是說它不是一個父節(jié)點了。

很神奇吧？雖然我已經(jīng)多次用過這個方法，但是每次這樣做的時候還是感到很神奇。

這的確是個很好的辦法，但是有什么辦法能夠幫我們建立這樣有左右值的數(shù)據(jù)表呢？這里再介紹一個函數(shù)給大家，這個函數(shù)可以將name和parent結(jié)構(gòu)的表自動轉(zhuǎn)換成帶有左右值的數(shù)據(jù)表。

以下是代碼：


CODE:[Copy to clipboard]<?php
function rebuild_tree($parent, $left) {
// the right value of this node is the left value + 1
$right = $left+1;

// get all children of this node
$result = mysql_query('SELECT name FROM tree '.
'WHERE parent="'.$parent.'";');
while ($row = mysql_fetch_array($result)) {
// recursive execution of this function for each
// child of this node
// $right is the current right value, which is
// incremented by the rebuild_tree function
$right = rebuild_tree($row['name'], $right);
}

// we've got the left value, and now that we've processed
// the children of this node we also know the right value
mysql_query('UPDATE tree SET lft='.$left.', rgt='.
$right.' WHERE name="'.$parent.'";');

// return the right value of this node + 1
return $right+1;
}
?>;
當(dāng)然這個函數(shù)是一個遞歸函數(shù)，我們需要從根節(jié)點開始運行這個函數(shù)來重建一個帶有左右值的樹

rebuild_tree('Food',1);

這個函數(shù)看上去有些復(fù)雜，但是它的作用和手工對表進(jìn)行編號一樣，就是將立體多層結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換成一個帶有左右值的數(shù)據(jù)表。

那么對于這樣的結(jié)構(gòu)我們該如何增加，更新和刪除一個節(jié)點呢？

增加一個節(jié)點一般有兩種方法：

第一種，保留原有的name 和parent結(jié)構(gòu)，用老方法向數(shù)據(jù)中添加數(shù)據(jù)，每增加一條數(shù)據(jù)以后使用rebuild_tree函數(shù)對整個結(jié)構(gòu)重新進(jìn)行一次編號。

第二種，效率更高的辦法是改變所有位于新節(jié)點右側(cè)的數(shù)值。舉例來說：我們想增加一種新的水果"Strawberry"（草莓）它將成為"Red"節(jié)點的最后一個子節(jié)點。首先我們需要為它騰出一些空間。"Red"的右值應(yīng)當(dāng)從6改成8，"Yellow 7-10 "的左右值則應(yīng)當(dāng)改成 9-12。 依次類推我們可以得知，如果要給新的值騰出空間需要給所有左右值大于5的節(jié)點 （5 是"Red"最后一個子節(jié)點的右值） 加上2。 所以我們這樣進(jìn)行數(shù)據(jù)庫操作：

UPDATE tree SET rgt=rgt+2 WHERE rgt>;5;
UPDATE tree SET lft=lft+2 WHERE lft>;5;

這樣就為新插入的值騰出了空間，現(xiàn)在可以在騰出的空間里建立一個新的數(shù)據(jù)節(jié)點了， 它的左右值分別是6和7

INSERT INTO tree SET lft=6, rgt=7, name='Strawberry';

再做一次查詢看看吧！怎么樣？很快吧。

好了，現(xiàn)在你可以用兩種不同的方法設(shè)計你的多級數(shù)據(jù)庫結(jié)構(gòu)了，采用何種方式完全取決于你個人的判斷，但是對于層次多數(shù)量大的結(jié)構(gòu)我更喜歡第二種方法。如果查詢量較小但是需要頻繁添加和更新的數(shù)據(jù)，則第一種方法更為簡便。

另外，如果數(shù)據(jù)庫支持的話 你還可以將rebuild_tree()和 騰出空間的操作寫成數(shù)據(jù)庫端的觸發(fā)器函數(shù)， 在插入和更新的時候自動執(zhí)行， 這樣可以得到更好的運行效率， 而且你添加新節(jié)點的SQL語句會變得更加簡單。

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