詳解約瑟夫環(huán)問(wèn)題及其相關(guān)的C語(yǔ)言算法實(shí)現(xiàn)
約瑟夫環(huán)問(wèn)題
N個(gè)人圍成一圈順序編號(hào),從1號(hào)開(kāi)始按1、2、3......順序報(bào)數(shù),報(bào)p者退出圈外,其余的人再?gòu)?、2、3開(kāi)始報(bào)數(shù),報(bào)p的人再退出圈外,以此類(lèi)推。
請(qǐng)按退出順序輸出每個(gè)退出人的原序號(hào)
算法思想
用數(shù)學(xué)歸納法遞推。
無(wú)論是用鏈表實(shí)現(xiàn)還是用數(shù)組實(shí)現(xiàn)都有一個(gè)共同點(diǎn):要模擬整個(gè)游戲過(guò)程,不僅程序?qū)懫饋?lái)比較煩,而且時(shí)間復(fù)雜度高達(dá)O(nm),若nm非常大,無(wú)法在短時(shí)間內(nèi)計(jì)算出結(jié)果。我們注意到原問(wèn)題僅僅是要求出最后的勝利者的序號(hào),而不是要讀者模擬整個(gè)過(guò)程。因此如果要追求效率,就要打破常規(guī),實(shí)施一點(diǎn)數(shù)學(xué)策略。
為了討論方便,先把問(wèn)題稍微改變一下,并不影響原意:
問(wèn)題描述:n個(gè)人(編號(hào)0~(n-1)),從0開(kāi)始報(bào)數(shù),報(bào)到(m-1)的退出,剩下的人繼續(xù)從0開(kāi)始報(bào)數(shù)。求勝利者的編號(hào)。
我們知道第一個(gè)人(編號(hào)一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1個(gè)人組成了一個(gè)新的約瑟夫環(huán)(以編號(hào)為k=m%n的人開(kāi)始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且從k開(kāi)始報(bào)0。
現(xiàn)在我們把他們的編號(hào)做一下轉(zhuǎn)換:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換后就完完全全成為了(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的子問(wèn)題,假如我們知道這個(gè)子問(wèn)題的解:例如x是最終的勝利者,那么根據(jù)上面這個(gè)表把這個(gè)x變回去不剛好就是n個(gè)人情況的解嗎??。∽兓厝サ墓胶芎?jiǎn)單,相信大家都可以推出來(lái):x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的問(wèn)題的解?對(duì),只要知道(n-2)個(gè)人的解就行了。(n-2)個(gè)人的解呢?當(dāng)然是先求(n-3)的情況——這顯然就是一個(gè)倒推問(wèn)題!好了,思路出來(lái)了,下面寫(xiě)遞推公式:
令f[i]表示i個(gè)人玩游戲報(bào)m退出最后勝利者的編號(hào),最后的結(jié)果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
實(shí)現(xiàn)方法
一、循環(huán)鏈表
建立一個(gè)有N個(gè)元素的循環(huán)鏈表,然后從鏈表頭開(kāi)始遍歷并計(jì)數(shù),如果基數(shù)i == m,則踢出該元素,繼續(xù)循環(huán),直到當(dāng)前元素與下一個(gè)元素相同時(shí)退出循環(huán)
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> typedef struct lnode { int pos; struct lnode *next; } lnode; /** * 構(gòu)建循環(huán)鏈表&&循環(huán)遍歷 */ void create_ring(lnode **root, int loc, int n) { lnode *pre, *current, *new; current = *root; pre = NULL; while (current != NULL) { pre = current; current = current->next; } new = (lnode *)malloc(sizeof(lnode)); new->pos = loc; new->next = current; if (pre == NULL) { *root = new; } else { pre->next = new; } // 循環(huán)鏈表 if (loc == n) { new->next = *root; } } /** * 約瑟夫環(huán) */ void kickoff_ring(lnode *head, int p) { int i; lnode *pre, *pcur; pre = pcur = head; while (pcur->next != pcur) { for (i = 1; i < p; i ++) { pre = pcur; pcur = pcur->next; } printf("%d ", pcur->pos); pre->next = pcur->next; free(pcur); pcur = pre->next; } printf("%d\n", pcur->pos); free(pcur); } void print_ring(lnode *head) { lnode *cur; cur = head; while (cur->next != head) { printf("%d ", cur->pos); cur = cur->next; } printf("%d\n", cur->pos); } int main() { int i, p, n; lnode *head; while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { // 構(gòu)建循環(huán)鏈表 for (i = 1, head = NULL; i <= n; i ++) create_ring(&head, i, n); // 約瑟夫環(huán) if (p != 1) kickoff_ring(head, p); else print_ring(head); } return 0; }
/**************************************************************
Problem: 1188
User: wangzhengyi
Language: C
Result: Accepted
Time:110 ms
Memory:912 kb
****************************************************************/
二、數(shù)組模擬
思想跟循環(huán)鏈表類(lèi)似,少了構(gòu)建循環(huán)鏈表的過(guò)程
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main() { int i, index, p, n, remain, delete[3001], flag[3001] = {0}; while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { remain = n; index = 0; while (remain >= 1) { for (i = 0; i < n; i ++) { if (flag[i] == 0) { // 報(bào)數(shù) index ++; // 報(bào)p者退出圈外 if (index == p) { // 退出圈外 flag[i] = 1; // 重新報(bào)數(shù) index = 0; delete[remain - 1] = i + 1; remain --; } } } } // 輸出每個(gè)退出人的序號(hào) for (i = n - 1; i >= 0; i --) { if (i == 0) { printf("%d\n", delete[i]); } else { printf("%d ", delete[i]); } } } return 0; }
三、數(shù)學(xué)推導(dǎo)
#include <stdio.h> int main(void) { int i, n, m, last; while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) { // 接收?qǐng)?bào)數(shù) scanf("%d", &m); // 約瑟夫環(huán)問(wèn)題 for (i = 2, last = 0; i <= n; i ++) { last = (last + m) % i; } printf("%d\n", last + 1); } return 0; }
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