詳解約瑟夫環(huán)問題及其相關的C語言算法實現(xiàn)

更新時間：2015年08月15日 11:59:01 作者：低調小一

這篇文章主要介紹了詳解約瑟夫環(huán)問題及其相關的C語言算法實現(xiàn),也是ACM當中經常會引用到的基礎題目,文中共介紹了三種C語言解答,需要的朋友可以參考下

約瑟夫環(huán)問題

N個人圍成一圈順序編號，從1號開始按1、2、3......順序報數(shù)，報p者退出圈外，其余的人再從1、2、3開始報數(shù)，報p的人再退出圈外，以此類推。
請按退出順序輸出每個退出人的原序號

算法思想
用數(shù)學歸納法遞推。

無論是用鏈表實現(xiàn)還是用數(shù)組實現(xiàn)都有一個共同點：要模擬整個游戲過程，不僅程序寫起來比較煩，而且時間復雜度高達O(nm)，若nm非常大，無法在短時間內計算出結果。我們注意到原問題僅僅是要求出最后的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規(guī)，實施一點數(shù)學策略。

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，并不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數(shù)，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續(xù)從0開始報數(shù)。求勝利者的編號。

我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環(huán)（以編號為k=m%n的人開始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且從k開始報0。
現(xiàn)在我們把他們的編號做一下轉換：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
變換后就完完全全成為了(n-1)個人報數(shù)的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據(jù)上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數(shù)的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況——這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

令f[i]表示i個人玩游戲報m退出最后勝利者的編號，最后的結果自然是f[n]

遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

實現(xiàn)方法

一、循環(huán)鏈表
建立一個有N個元素的循環(huán)鏈表，然后從鏈表頭開始遍歷并計數(shù)，如果基數(shù)i == m，則踢出該元素，繼續(xù)循環(huán)，直到當前元素與下一個元素相同時退出循環(huán)

#include <stdio.h> 
  #include <stdlib.h> 
  #include <string.h> 
    
  typedef struct lnode 
  { 
    int pos; 
    struct lnode *next; 
  } lnode; 
    
    
  /** 
   * 構建循環(huán)鏈表&&循環(huán)遍歷 
   */ 
  void create_ring(lnode **root, int loc, int n) 
  { 
    lnode *pre, *current, *new; 
    current = *root; 
    pre = NULL; 
    
    while (current != NULL) { 
      pre = current; 
      current = current->next; 
    } 
    
    new = (lnode *)malloc(sizeof(lnode)); 
    new->pos = loc; 
    new->next = current; 
    
    if (pre == NULL) { 
      *root = new; 
    } else { 
      pre->next = new; 
    } 
    
    // 循環(huán)鏈表 
    if (loc == n) { 
      new->next = *root; 
    } 
  } 
    
  /** 
   * 約瑟夫環(huán) 
   */ 
  void kickoff_ring(lnode *head, int p) 
  { 
    int i; 
    lnode *pre, *pcur; 
    pre = pcur = head; 
    
    while (pcur->next != pcur) { 
      for (i = 1; i < p; i ++) { 
        pre = pcur; 
        pcur = pcur->next; 
      } 
    
      printf("%d ", pcur->pos); 
      pre->next = pcur->next; 
      free(pcur); 
      pcur = pre->next; 
    } 
    printf("%d\n", pcur->pos); 
    free(pcur); 
  } 
    
    
  void print_ring(lnode *head) 
  { 
    lnode *cur;  
    cur = head; 
    
    while (cur->next != head) { 
      printf("%d ", cur->pos); 
      cur = cur->next; 
    } 
    printf("%d\n", cur->pos); 
  } 
    
  int main() 
  { 
    int i, p, n; 
    lnode *head; 
    
    while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { 
      // 構建循環(huán)鏈表 
      for (i = 1, head = NULL; i <= n; i ++) 
        create_ring(&head, i, n); 
    
      // 約瑟夫環(huán) 
      if (p != 1)  
        kickoff_ring(head, p); 
      else 
        print_ring(head); 
    } 
    
    return 0; 
  }

    /**************************************************************
        Problem: 1188
        User: wangzhengyi
        Language: C
        Result: Accepted
        Time:110 ms
        Memory:912 kb
    ****************************************************************/

二、數(shù)組模擬
思想跟循環(huán)鏈表類似，少了構建循環(huán)鏈表的過程

 #include <stdio.h> 
  #include <stdlib.h> 
   
  int main() 
  { 
    int i, index, p, n, remain, delete[3001], flag[3001] = {0}; 
   
    while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { 
      remain = n; 
      index = 0; 
      while (remain >= 1) { 
        for (i = 0; i < n; i ++) { 
          if (flag[i] == 0) { 
            // 報數(shù) 
            index ++; 
            // 報p者退出圈外 
            if (index == p) { 
              // 退出圈外 
              flag[i] = 1; 
              // 重新報數(shù) 
              index = 0; 
              delete[remain - 1] = i + 1; 
              remain --; 
            }   
          }   
        } 
      } 
   
      // 輸出每個退出人的序號 
      for (i = n - 1; i >= 0; i --) { 
        if (i == 0) { 
          printf("%d\n", delete[i]); 
        } else { 
          printf("%d ", delete[i]); 
        } 
      } 
    } 
   
    return 0; 
  }

三、數(shù)學推導

#include <stdio.h> 
   
  int main(void) 
  { 
    int i, n, m, last; 
   
    while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) { 
      // 接收報數(shù) 
      scanf("%d", &m); 
   
      // 約瑟夫環(huán)問題 
      for (i = 2, last = 0; i <= n; i ++) { 
        last = (last + m) % i; 
      } 
      printf("%d\n", last + 1); 
    } 
   
    return 0; 
  }

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