C++函數(shù)的嵌套調(diào)用
C++不允許對(duì)函數(shù)作嵌套定義，也就是說在一個(gè)函數(shù)中不能完整地包含另一個(gè)函數(shù)。在一個(gè)程序中每一個(gè)函數(shù)的定義都是互相平行和獨(dú)立的。

雖然C++不能嵌套定義函數(shù)，但可以嵌套調(diào)用函數(shù)，也就是說，在調(diào)用一個(gè)函數(shù)的過程中，又調(diào)用另一個(gè)函數(shù)。

在程序中實(shí)現(xiàn)函數(shù)嵌套調(diào)用時(shí)，需要注意的是：在調(diào)用函數(shù)之前，需要對(duì)每一個(gè)被調(diào)用的函數(shù)作聲明(除非定義在前，調(diào)用在后)。

【例】用弦截法求方程f(x)=x3-5x2+16x-80=0的根。

這是一個(gè)數(shù)值求解問題，需要先分析用弦截法求根的算法。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，可以列出以下的解題步驟：
1) 取兩個(gè)不同點(diǎn)x1，x2，如果f(x1)和f(x2)符號(hào)相反，則(x1，x2)區(qū)間內(nèi)必有一個(gè)根。如果f(x1)與f(x2)同符號(hào)，則應(yīng)改變x1，x2，直到f(x1)， f(x2)異號(hào)為止。注意x1?x2的值不應(yīng)差太大，以保證(x1，x2)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根。

2) 連接(x1， f(x1))和(x2， f(x2))兩點(diǎn)，此線(即弦)交x軸于x，見圖。

x點(diǎn)坐標(biāo)可用下式求出：

再從x求出f(x)。

3) 若f(x)與f(x1)同符號(hào)，則根必在(x， x2)區(qū)間內(nèi)，此時(shí)將x作為新的x1。如果f(x)與f(x2)同符號(hào)，則表示根在( x1，x)區(qū)間內(nèi)，將x作為新的x2。

4) 重復(fù)步驟 (2) 和 (3)， 直到 |f(x)|<ξ為止， ξ為一個(gè)很小的正數(shù)， 例如10-6。此時(shí)認(rèn)為 f(x)≈0。

這就是弦截法的算法，在程序中分別用以下幾個(gè)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)以上有關(guān)部分功能：
1) 用函數(shù)f(x)代表x的函數(shù):x3-5x2+16x-80。

2) 用函數(shù)xpoint (x1,x2)來求(x1,f(x1))和(x2,f(x2))的連線與x軸的交點(diǎn)x的坐標(biāo)。

3) 用函數(shù)root(x1,x2)來求(x1,x2)區(qū)間的那個(gè)實(shí)根。顯然，執(zhí)行root函數(shù)的過程中要用到xpoint函數(shù)，而執(zhí)行xpoint函數(shù)的過程中要用到f函數(shù)。

根據(jù)以上算法，可以編寫出下面的程序：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;
double f(double); //函數(shù)聲明
double xpoint(double, double); //函數(shù)聲明
double root(double, double); //函數(shù)聲明
int main( )
{
 double x1,x2,f1,f2,x;
 do
 {
  cout<<"input x1,x2:";
  cin>>x1>>x2;
  f1=f(x1);
  f2=f(x2);
 } while(f1*f2>=0);
 x=root(x1,x2);
 cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(7);
 //指定輸出7位小數(shù)
 cout<<"A root of equation is "<<x<<endl;
 return 0;
}
double f(double x) //定義f函數(shù),以實(shí)現(xiàn)f(x)
{
 double y;
 y=x*x*x-5*x*x+16*x-80;
 return y;
}
double xpoint(double x1, double x2) //定義xpoint函數(shù),求出弦與x軸交點(diǎn)
{
 double y;
 y=(x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1)); //在xpoint函數(shù)中調(diào)用f函數(shù)
 return y;
}
double root(double x1, double x2) //定義root函數(shù),求近似根
{
 double x,y,y1;
 y1=f(x1);
 do
 {
  x=xpoint(x1,x2); //在root函數(shù)中調(diào)用xpoint函數(shù)
  y=f(x); //在root函數(shù)中調(diào)用f函數(shù)
  if (y*y1>0)
  {
   y1=y;
   x1=x;
  }
  else
   x2=x;
 }while(fabs(y)>=0.00001);
 return x;
}

運(yùn)行情況如下：

input x1, x2:2.5 6.7↙
A root of equation is 5.0000000

對(duì)程序的說明：
1) 在定義函數(shù)時(shí)，函數(shù)名為f，xpoint和root的3個(gè)函數(shù)是互相獨(dú)立的，并不互相從屬。這3個(gè)函數(shù)均定為雙精度型。

2) 3個(gè)函數(shù)的定義均出現(xiàn)在main函數(shù)之后，因此在main函數(shù)的前面對(duì)這3個(gè)函數(shù)作聲明。

習(xí)慣上把本程序中用到的所有函數(shù)集中放在最前面聲明。

3) 程序從main函數(shù)開始執(zhí)行。

4) 在root函數(shù)中要用到求絕對(duì)值的函數(shù)fabs，它是對(duì)雙精度數(shù)求絕對(duì)值的系統(tǒng)函數(shù)。它屬于數(shù)學(xué)函數(shù)庫，故在文件開頭用#include <cmath>把有關(guān)的頭文件包含進(jìn)來。

C++函數(shù)的遞歸調(diào)用
在調(diào)用一個(gè)函數(shù)的過程中又出現(xiàn)直接或間接地調(diào)用該函數(shù)本身，稱為函數(shù)的遞歸(recursive)調(diào)用。C++允許函數(shù)的遞歸調(diào)用。例如：

int f(int x)
{
 int y, z;
 z=f(y); //在調(diào)用函數(shù)f的過程中，又要調(diào)用f函數(shù)
 return (2*z);
}

以上是直接調(diào)用本函數(shù)，見下面的圖。

下圖表示的是間接調(diào)用本函數(shù)。在調(diào)用f1函數(shù)過程中要調(diào)用f2函數(shù)，而在調(diào)用f2函數(shù)過程中又要調(diào)用f1函數(shù)。

從圖上可以看到，這兩種遞歸調(diào)用都是無終止的自身調(diào)用。顯然，程序中不應(yīng)出現(xiàn)這種無終止的遞歸調(diào)用，而只應(yīng)出現(xiàn)有限次數(shù)的、有終止的遞歸調(diào)用，這可以用if語句來控制，只有在某一條件成立時(shí)才繼續(xù)執(zhí)行遞歸調(diào)用，否則就不再繼續(xù)。

包含遞歸調(diào)用的函數(shù)稱為遞歸函數(shù)。

【例】有5個(gè)人坐在一起，問第5個(gè)人多少歲?他說比第4個(gè)人大兩歲。問第4個(gè)人歲數(shù)，他說比第3個(gè)人大兩歲。問第3個(gè)人，又說比第2個(gè)人大兩歲。問第2個(gè)人，說比第1個(gè)人大兩歲。最后問第1個(gè)人，他說是10歲。請(qǐng)問第5個(gè)人多大？

每一個(gè)人的年齡都比其前1個(gè)人的年齡大兩歲。即：

age(5)=age(4)+2
age(4)=age(3)+2
age(3)=age(2)+2
age(2)=age(1)+2
age(1)=10

可以用式子表述如下：

age(n)=10 (n=1)
age(n)=age(n-1)+2 (n>1)

可以看到，當(dāng)n>1時(shí)，求第n個(gè)人的年齡的公式是相同的。因此可以用一個(gè)函數(shù)表示上述關(guān)系。圖4.11表示求第5個(gè)人年齡的過程。

可以寫出以下C++程序，其中的age函數(shù)用來實(shí)現(xiàn)上述遞歸過程。

#include <iostream>
using namespace std;
int age(int);//函數(shù)聲明
int main( )//主函數(shù)
{
cout<<age(5)<<endl;
return 0;
}
int age(int n)//求年齡的遞歸函數(shù)
{
int c; //用c作為存放年齡的變量
if(n==1) c=10; //當(dāng)n=1時(shí)，年齡為10
else c=age(n-1)+2; //當(dāng)n>1時(shí)，此人年齡是他前一個(gè)人的年齡加2
return c; //將年齡值帶回主函數(shù)
}

運(yùn)行結(jié)果如下：

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【例】用遞歸方法求n!。
求n!可以用遞推方法，即從1開始，乘2，再乘3……一直乘到n。求n!也可以用遞歸方法，即5!=4!×5，而4!=3!×4，…，1!=1?？捎孟旅娴倪f歸公式表示：

 n! = 1 (n=0, 1)
 n * (n-1)!  (n>1)

有了例4.10的基礎(chǔ)，很容易寫出本題的程序：

#include <iostream>
using namespace std;
long fac(int);//函數(shù)聲明
int main( )
{
 int n;//n為需要求階乘的整數(shù)
 long y; //y為存放n!的變量
 cout<<"please input an integer ："; //輸入的提示
 cin>>n; //輸入n
 y=fac(n);//調(diào)用fac函數(shù)以求n!
 cout<<n<<"!="<<y<<endl; //輸出n!的值
 return 0;
}
long fac(int n) //遞歸函數(shù)
{
 long f;
 if(n<0)
 {
  cout<<"n<0,data error!"<<endl; //如果輸入負(fù)數(shù),報(bào)錯(cuò)并以-1作為返回值
  f=-1;
 }
 else if (n==0||n==1) f=1; //0!和1!的值為1
 else f=fac(n-1)*n;//n>1時(shí),進(jìn)行遞歸調(diào)用
 return f;//將f的值作為函數(shù)值返回
}

運(yùn)行情況如下：

please input an integer：10↙
10!=3628800

許多問題既可以用遞歸方法來處理，也可以用非遞歸方法來處理。在實(shí)現(xiàn)遞歸時(shí)，在時(shí)間和空間上的開銷比較大，但符合人們的思路，程序容易理解。

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