1、堆排序定義
n個關(guān)鍵字序列Kl，K2，…，Kn稱為堆，當(dāng)且僅當(dāng)該序列滿足如下性質(zhì)(簡稱為堆性質(zhì))：
(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤   )
若將此序列所存儲的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)，則堆實(shí)質(zhì)上是滿足如下性質(zhì)的完全二叉樹：樹中任一非葉結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字。
【例】關(guān)鍵字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分別滿足堆性質(zhì)(1)和(2)，故它們均是堆，其對應(yīng)的完全二叉樹分別如最小堆示例和最大堆示例所示。
堆排序算法

2、最大堆和最小堆
（1）根結(jié)點(diǎn)(亦稱為堆頂)的關(guān)鍵字是堆里所有結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字中最小者的堆稱為最小堆。
（2）結(jié)點(diǎn)(亦稱為堆頂)的關(guān)鍵字是堆里所有結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字中最大者，稱為最大堆。
注意：
（1）堆中任一子樹亦是堆。
（2）以上討論的堆實(shí)際上是二叉堆(Binary Heap)，類似地可定義k叉堆。

3、堆排序的基本思路如下:
（1）把待排序數(shù)組構(gòu)造成一個最大堆
（2）取出樹的根(最大(小)值, 實(shí)際算法的實(shí)現(xiàn)并不是真正的取出)
（3）將樹中剩下的元素再構(gòu)造成一個最大堆(這里的構(gòu)造和第1步不一樣，具體看實(shí)現(xiàn)部分)
（4）重復(fù)2,3操作，直到取完所有的元素
（5）把元素按取出的順序排列，即得到一個有序數(shù)組(在代碼實(shí)現(xiàn)里是通過交換操作"無形中"完成的)
在開始實(shí)現(xiàn)算法先看幾個結(jié)論(證明略):
（1）完全二叉樹A[0:n-1]中的任意節(jié)點(diǎn)，其下標(biāo)為 ii, 那么其子節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)分別是為2i+12i+1 和 2(i+1)2(i+1)
（2）大小為n的完全二叉樹A[0:n-1]，葉子節(jié)點(diǎn)中下標(biāo)最小的是⌊n2⌋⌊n2⌋， 非葉子節(jié)點(diǎn)中下標(biāo)最大的是⌊n2⌋−1⌊n2⌋−1
（3）如果數(shù)組是一個最大堆，那么最大元素就是A[0]
（4）最大堆中任意節(jié)點(diǎn)的左右子樹也是最大堆
 
4、實(shí)現(xiàn)示例
這里的算法實(shí)現(xiàn)使用的是最大堆，首先來解決由數(shù)組建立最大堆的問題:

// 用于計算下標(biāo)為i的節(jié)點(diǎn)的兩個子節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)值
#define LEFT(i) (2 * (i) + 1)
#define RIGHT(i) (2 * ((i) + 1))
         
/* 此函數(shù)把一顆二叉樹中以node為根的子樹變成最大堆。
 * 注意: 使用的前提條件是 node節(jié)點(diǎn)的左右子樹(如果存在的話)都是最大堆。
 * 這個函數(shù)是整個算法的關(guān)鍵。
 */
void max_heapify(int heap[], int heap_size, int node)
{
  // 這里先不考慮整數(shù)溢出的問題
  // 先把注意力放在主要的功能上
  // 如果數(shù)據(jù)規(guī)模夠大,int類型必然會溢出
  int l_child = LEFT(node);
  int r_child = RIGHT(node);
  int max_value = node;
 
  if (l_child < heap_size && heap[l_child] > heap[max_value])
  {
    max_value = l_child;
  }
  if (r_child < heap_size && heap[r_child] > heap[max_value])
  {
    max_value = r_child;
  }
  if (max_value != node)
  {
    swap_val(heap + node, heap + max_value);
 
    // 之后還要保證被交換的子節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的子樹仍然是最大堆
    // 如果不是這個節(jié)點(diǎn)會繼續(xù)"下沉"，直到合適的位置
    max_heapify(heap, heap_size, max_value);
  }
}
 
/* 將一個數(shù)組構(gòu)造成最大堆
 * 自底向上的利用max_heapify函數(shù)處理
 */
void build_max_heap(int heap[], int heap_size)
{
  if (heap_size < 2)
  {
    return;
  }
  int first_leaf = heap_size >> 1;//第一個葉子節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)
 
  int i;
  // 從最后一個非葉子節(jié)點(diǎn)開始自底向上構(gòu)建，
  // 葉子節(jié)點(diǎn)都看作最大堆，因此可以使用max_heapify函數(shù)
  for (i = first_leaf - 1; i >= 0; i--)
  {
    max_heapify(heap, heap_size, i);
  }
}

函數(shù)max_heapify將指定子樹的根節(jié)點(diǎn)"下沉"到合適的位置, 最終子樹變成最大堆， 該過程最壞時間復(fù)雜度為O(logn)O(log⁡n)。函數(shù)build_max_heap自底向上的調(diào)用max_heapify, 最終整個數(shù)組滿足最大堆，迭代過程的復(fù)雜度為O(nlogn)O(nlog⁡n)， 因此整個函數(shù)的最壞時間復(fù)雜度也是O(nlogn)O(nlog⁡n)。 而如果當(dāng)前數(shù)組已經(jīng)是最大堆了，例如數(shù)組原本是降序排列的， 那么max_heapify過程的時間復(fù)雜度就是O(1)O(1), 此時build_max_heap的時間復(fù)雜度是O(n)O(n)，這是最好的情況。

接著實(shí)現(xiàn)堆排序過程：

/* heap sort 主函數(shù)
 */
void heap_sort(int heap[], int heap_size)
{
  if (heap == NULL || heap_size < 2)
  {
    return;
  }
  //構(gòu)建最大堆
  build_max_heap(heap, heap_size);
 
  int i;
  for (i = heap_size - 1; i > 0; i--)
  {
    /* 把當(dāng)前樹的根節(jié)點(diǎn)交換到末尾
     * 相當(dāng)于取出最大值，樹的規(guī)模變小。
     * 交換后的樹不是最大堆，但是根的兩顆子樹依然是最大堆
     * 滿足調(diào)用max_heapify的條件。之所以這樣交換，
     * 是因為用max_heapify處理時間復(fù)雜度較低，
     * 如果不交換而直接"取出"heap[0], 此處可能要使用
     * build_max_heap重新建立最大堆，時間復(fù)雜度較大
     */
    swap_val(heap, heap + i);
 
    heap_size--;
    //維護(hù)最大堆
    max_heapify(heap, heap_size, 0);
  }
}

最終的堆排序算法中，build_max_heap的復(fù)雜度是已知的， 迭代部分和build_max_heap的實(shí)現(xiàn)類似，而且不難看出， 交換后的根元素在下一次建堆過程中必然下沉到堆底，因此無論情況好壞， 該迭代過程時間復(fù)雜度都是O(nlogn)O(nlog⁡n)， 所以整個算法的最好最壞和平均時間復(fù)雜度都是O(nlogn)O(nlog⁡n)。
堆排序算法的空間復(fù)雜度是O(1)O(1)，從實(shí)現(xiàn)上很容易看出來。

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