一、基礎(chǔ)知識
我們通常所說的堆是指二叉堆，二叉堆又稱完全二叉樹或者叫近似完全二叉樹。二叉堆又分為最大堆和最小堆。
堆排序(Heapsort)是指利用堆這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所設(shè)計的一種排序算法，它是選擇排序的一種?？梢岳脭?shù)組的特點快速定位指定索引的元素。數(shù)組可以根據(jù)索引直接獲取元素，時間復(fù)雜度為O（1），也就是常量，因此對于取值效率極高。
最大堆的特性如下：

• 父結(jié)點的鍵值總是大于或者等于任何一個子節(jié)點的鍵值
• 每個結(jié)點的左子樹和右子樹都是一個最大堆

最小堆的特性如下：

• 父結(jié)點的鍵值總是小于或者等于任何一個子節(jié)點的鍵值
• 每個結(jié)點的左子樹和右子樹都是一個最小堆

二、算法思想
1.最大堆的算法思想是：
先將初始的R[0…n-1]建立成最大堆，此時是無序堆，而堆頂是最大元素
再將堆頂R[0]和無序區(qū)的最后一個記錄R[n-1]交換，由此得到新的無序區(qū)R[0…n-2]和有序區(qū)R[n-1]，且滿足R[0…n-2].keys ≤ R[n-1].key
由于交換后，前R[0…n-2]可能不滿足最大堆的性質(zhì)，因此再調(diào)整前R[0…n-2]為最大堆，直到只有R[0]最后一個元素才調(diào)整完成。
最大堆排序完成后，其實是升序序列，每次調(diào)整堆都是要得到最大的一個元素，然后與當(dāng)前堆的最后一個元素交換，因此最后所得到的序列是升序序列。
2.最小堆的算法思想是：
先將初始的R[0…n-1]建立成最小堆，此時是無序堆，而堆頂元素是最小的元素
再將堆頂R[0]與無序區(qū)的最后一個R[n-1]交換，由此得到新的無序堆R[0…n-2]和有序堆R[n-1]，且滿足R[0…n-2].keys >= R[n-1].key
由于交換后，前R[0…n-2]可能不滿足最小堆的性質(zhì)，因此再調(diào)整前R[0…n-2]為最小堆，直到只有R[0]最后一個元素才調(diào)整完成
最小堆排序完成后，其實是降序序列，每次調(diào)整堆都是要得到最小的一個元素，然后與當(dāng)前無序堆的最后一個元素交換，所以所得到的序列是降序的。
提示：堆排序的過程，其實就是不斷地擴大有序區(qū)，然后不斷地縮小無序區(qū)，直到只有有序區(qū)的過程。

三、排序過程分析
因為算法比較抽象，這里直接通過舉個小例子來說明堆排序的過程是如何的。下面我們用這個無序序列采用最大堆的進行堆排序，所得到的序列就是升序序列（ASC）。
無序序列：89,-7,999,-89,7,0,-888,7,-7
第一步：初始化建成最大堆：

第二步：將堆頂最大元素999與無序區(qū)的最后一個元素交換，使999成為有序區(qū)。交換后，-7成為堆頂，由于-7并不是無序區(qū)中最大的元素，因此需要調(diào)整無序區(qū)，使無序區(qū)中最大值89成為堆頂，所以-7與89交換。交換后導(dǎo)致89的右子樹不滿足最大堆的性質(zhì)，因此要對右子樹調(diào)整成最大堆，所以-7要與0交換，如下圖：

從圖中看到，當(dāng)-7成89交換后，堆頂是最大元素了，但是-7的左孩子是0，右孩子是-888，由于-7<0，導(dǎo)致-7這個結(jié)點不滿足堆的性質(zhì)，因此需要調(diào)整它。所以，0與-7交換。
然后不斷重復(fù)著第二步的過程，直到全部成為有序區(qū)。
最后：所得到的是升序序列

四、時間復(fù)雜度
堆排序的時間，主要由建立初始堆和反復(fù)調(diào)整堆這兩部分的時間開銷構(gòu)成.由于堆排序是不穩(wěn)定的，它得扭到的時間復(fù)雜度會根據(jù)實際情況較大，因此只能取平均時間復(fù)雜度。
平均時間復(fù)雜度為：O( N * log2(N) )
堆排序耗時的操作有：初始堆 + 反復(fù)調(diào)整堆，時間復(fù)雜度如下：
1.初始建堆：每個父節(jié)點會和左右子節(jié)點進行最多2次比較和1次交換，所以復(fù)雜度跟父節(jié)點個數(shù)有關(guān)。根據(jù)2x <= n（x為n個元素可以折半的次數(shù)，也就是父節(jié)點個數(shù)），得出x = log2n。即O ( log2n )
2.反復(fù)調(diào)整堆：由于初始化堆過程中，會記錄數(shù)組比較結(jié)果，所以堆排序?qū)υ蛄械臄?shù)組順序并不敏感，最好情況和最壞情況差不多。需要抽取 n-1 次堆頂元素，每次取堆頂元素都需要重建堆（O(重建堆) < O(初始堆)）。所以小于 O(n-1) * O(log2n)
使用建議：
由于初始化堆需要比較的次數(shù)較多，因此，堆排序比較適合于數(shù)據(jù)量非常大的場合（百萬數(shù)據(jù)或更多）。由于高效的快速排序是基于遞歸實現(xiàn)的，所以在數(shù)據(jù)量非常大時會發(fā)生堆棧溢出錯誤。

五、Java示例代碼

public class HeapSort{
 private static int[] sort=new int[]{1,0,10,20,3,5,6,4,9,8,12,
   17,34,11};

 public static void main(String[] args){
  buildMaxHeapify(sort);
  heapSort(sort);
  print(sort);
 }

 private static void buildMaxHeapify(int[] data){
//沒有子節(jié)點的才需要創(chuàng)建最大堆，從最后一個的父節(jié)點開始
  int startIndex=getParentIndex(data.length-1);
//從尾端開始創(chuàng)建最大堆，每次都是正確的堆
  for(int i=startIndex;i>=0;i--){
   maxHeapify(data,data.length,i);
  }
 }

 /**
  *創(chuàng)建最大堆
  *
  *@paramdata
  *@paramheapSize需要創(chuàng)建最大堆的大小，一般在sort的時候用到，因為最多值放在末尾，末尾就不再歸入最大堆了
  *@paramindex當(dāng)前需要創(chuàng)建最大堆的位置
  */
 private static void maxHeapify(int[] data,int heapSize,int index){
//當(dāng)前點與左右子節(jié)點比較
  int left=getChildLeftIndex(index);
  int right=getChildRightIndex(index);

  int largest=index;
  if(left<heapSize&&data[index]<data[left]){
   largest=left;
  }
  if(right<heapSize&&data[largest]<data[right]){
   largest=right;
  }
//得到最大值后可能需要交換，如果交換了，其子節(jié)點可能就不是最大堆了，需要重新調(diào)整
  if(largest!=index){
   int temp=data[index];
   data[index]=data[largest];
   data[largest]=temp;
   maxHeapify(data,heapSize,largest);
  }
 }

 /**
  *排序，最大值放在末尾，data雖然是最大堆，在排序后就成了遞增的
  *
  *@paramdata
  */
 private static void heapSort(int[] data){
//末尾與頭交換，交換后調(diào)整最大堆
  for(int i=data.length-1;i>0;i--){
   int temp=data[0];
   data[0]=data[i];
   data[i]=temp;
   maxHeapify(data,i,0);
  }
 }

 /**
  *父節(jié)點位置
  *
  *@paramcurrent
  *@return
  */
 private static int getParentIndex(int current){
  return(current-1)>>1;
 }

 /**
  *左子節(jié)點position注意括號，加法優(yōu)先級更高
  *
  *@paramcurrent
  *@return
  */
 private static int getChildLeftIndex(int current){
  return(current<<1)+1;
 }

 /**
  *右子節(jié)點position
  *
  *@paramcurrent
  *@return
  */
 private static int getChildRightIndex(int current){
  return(current<<1)+2;
 }

 private static void print(int[] data){
  int pre=-2;
  for(int i=0;i<data.length;i++){
   if(pre<(int)getLog(i+1)){
    pre=(int)getLog(i+1);
    System.out.println();
   }
   System.out.print(data[i]+"|");
  }
 }

 /**
  *以2為底的對數(shù)
  *
  *@paramparam
  *@return
  */
 private static double getLog(double param){
  return Math.log(param)/Math.log(2);
 }
}

最新評論