JavaScript解八皇后問題的方法總結(jié)
關(guān)于八皇后問題的 JavaScript 解法,總覺得是需要學(xué)習(xí)一下算法的,哪天要用到的時(shí)候發(fā)現(xiàn)真不會(huì)就尷尬了
背景
八皇后問題是一個(gè)以國(guó)際象棋為背景的問題:如何能夠在 8×8 的國(guó)際象棋棋盤上放置八個(gè)皇后,使得任何一個(gè)皇后都無法直接吃掉其他的皇后?為了達(dá)到此目的,任兩個(gè)皇后都不能處于同一條橫行、縱行或斜線上
八皇后問題可以推廣為更一般的n皇后擺放問題:這時(shí)棋盤的大小變?yōu)?n×n ,而皇后個(gè)數(shù)也變成n 。當(dāng)且僅當(dāng)n = 1或n ≥ 4時(shí)問題有解
盲目的枚舉算法
通過N重循環(huán),枚舉滿足約束條件的解(八重循環(huán)代碼好多,這里進(jìn)行四重循環(huán)),找到四個(gè)皇后的所有可能位置,然后再整個(gè)棋盤里判斷這四個(gè)皇后是否會(huì)直接吃掉彼此,程序思想比較簡(jiǎn)單
function check1(arr, n) { for(var i = 0; i < n; i++) { for(var j = i + 1; j < n; j++) { if((arr[i] == arr[j]) || Math.abs(arr[i] - arr[j]) == j - i) { return false; } } } return true; } function queen1() { var arr = []; for(arr[0] = 1; arr[0] <= 4; arr[0]++) { for(arr[1] = 1; arr[1] <= 4; arr[1]++) { for(arr[2] = 1; arr[2] <= 4; arr[2]++) { for(arr[3] = 1; arr[3] <= 4; arr[3]++) { if(!check1(arr, 4)) { continue; } else { console.log(arr); } } } } } } queen1(); //[ 2, 4, 1, 3 ] //[ 3, 1, 4, 2 ]
關(guān)于結(jié)果,在 4*4 的棋盤里,四個(gè)皇后都不可能是在一排, arr[0] 到 arr[3] 分別對(duì)應(yīng)四個(gè)皇后,數(shù)組的下標(biāo)與下標(biāo)對(duì)應(yīng)的值即皇后在棋盤中的位置
回溯法
『走不通,就回頭』,在適當(dāng)節(jié)點(diǎn)判斷是否符合,不符合就不再進(jìn)行這條支路上的探索
function check2(arr, n) { for(var i = 0; i <= n - 1; i++) { if((Math.abs(arr[i] - arr[n]) == n - i) || (arr[i] == arr[n])) { return false; } } return true; } function queen2() { var arr = []; for(arr[0] = 1; arr[0] <= 4; arr[0]++) { for(arr[1] = 1; arr[1] <= 4; arr[1]++) { if(!check2(arr, 1)) continue; //擺兩個(gè)皇后產(chǎn)生沖突的情況 for(arr[2] = 1; arr[2] <= 4; arr[2]++) { if(!check2(arr, 2)) continue; //擺三個(gè)皇后產(chǎn)生沖突的情況 for(arr[3] = 1; arr[3] <= 4; arr[3]++) { if(!check2(arr, 3)) { continue; } else { console.log(arr); } } } } } } queen2(); //[ 2, 4, 1, 3 ] //[ 3, 1, 4, 2 ]
非遞歸回溯法
算法框架:
while(k > 0 『有路可走』 and 『未達(dá)到目標(biāo)』) { // k > 0 有路可走 if(k > n) { // 搜索到葉子節(jié)點(diǎn) // 搜索到一個(gè)解,輸出 } else { //a[k]第一個(gè)可能的值 while(『a[k]在不滿足約束條件且在搜索空間內(nèi)』) { // a[k]下一個(gè)可能的值 } if(『a[k]在搜索空間內(nèi)』) { // 標(biāo)示占用的資源 // k = k + 1; } else { // 清理所占的狀態(tài)空間 // k = k - 1; } } }
具體代碼如下,最外層while下面包含兩部分,一部分是對(duì)當(dāng)前皇后可能值的遍歷,另一部分是決定是進(jìn)入下一層還是回溯上一層
function backdate(n) { var arr = []; var k = 1; // 第n的皇后 arr[0] = 1; while(k > 0) { arr[k-1] = arr[k-1] + 1; while((arr[k-1] <= n) && (!check2(arr, k-1))) { arr[k-1] = arr[k-1] + 1; } // 這個(gè)皇后滿足了約束條件,進(jìn)行下一步判斷 if(arr[k-1] <= n) { if(k == n) { // 第n個(gè)皇后 console.log(arr); } else { k = k + 1; // 下一個(gè)皇后 arr[k-1] = 0; } } else { k = k - 1; // 回溯,上一個(gè)皇后 } } } backdate(4); //[ 2, 4, 1, 3 ] //[ 3, 1, 4, 2 ]
遞歸回溯法
遞歸調(diào)用大大減少了代碼量,也增加了程序的可讀性
var arr = [], n = 4; function backtrack(k) { if(k > n) { console.log(arr); } else { for(var i = 1;i <= n; i++) { arr[k-1] = i; if(check2(arr, k-1)) { backtrack(k + 1); } } } } backtrack(1); //[ 2, 4, 1, 3 ] //[ 3, 1, 4, 2 ]
華而不實(shí)的amb
什么是 amb ?給它一個(gè)數(shù)據(jù)列表,它能返回滿足約束條件的成功情況的一種方式,沒有成功情況就會(huì)失敗,當(dāng)然,它可以返回所有的成功情況。筆者寫了上面那么多的重點(diǎn),就是為了在這里推薦這個(gè)amb算法,它適合處理簡(jiǎn)單的回溯場(chǎng)景,很有趣,讓我們來看看它是怎么工作的
首先來處理一個(gè)小問題,尋找相鄰字符串:拿到幾組字符串?dāng)?shù)組,每個(gè)數(shù)組拿出一個(gè)字符串,前一個(gè)字符串的末位字符與后一個(gè)字符串的首位字符相同,滿足條件則輸出這組新取出來的字符串
ambRun(function(amb, fail) { // 約束條件方法 function linked(s1, s2) { return s1.slice(-1) == s2.slice(0, 1); } // 注入數(shù)據(jù)列表 var w1 = amb(["the", "that", "a"]); var w2 = amb(["frog", "elephant", "thing"]); var w3 = amb(["walked", "treaded", "grows"]); var w4 = amb(["slowly", "quickly"]); // 執(zhí)行程序 if (!(linked(w1, w2) && linked(w2, w3) && linked(w3, w4))) fail(); console.log([w1, w2, w3, w4].join(' ')); // "that thing grows slowly" });
看起來超級(jí)簡(jiǎn)潔有沒有!不過使用的前提是,你不在乎性能,它真的是很浪費(fèi)時(shí)間!
下面是它的 javascript 實(shí)現(xiàn),有興趣可以研究研究它是怎么把回溯抽出來的
function ambRun(func) { var choices = []; var index; function amb(values) { if (values.length == 0) { fail(); } if (index == choices.length) { choices.push({i: 0, count: values.length}); } var choice = choices[index++]; return values[choice.i]; } function fail() { throw fail; } while (true) { try { index = 0; return func(amb, fail); } catch (e) { if (e != fail) { throw e; } var choice; while ((choice = choices.pop()) && ++choice.i == choice.count) {} if (choice == undefined) { return undefined; } choices.push(choice); } } }
以及使用 amb 實(shí)現(xiàn)的八皇后問題的具體代碼
ambRun(function(amb, fail){ var N = 4; var arr = []; var turn = []; for(var n = 0; n < N; n++) { turn[turn.length] = n + 1; } while(n--) { arr[arr.length] = amb(turn); } for (var i = 0; i < N; ++i) { for (var j = i + 1; j < N; ++j) { var a = arr[i], b = arr[j]; if (a == b || Math.abs(a - b) == j - i) fail(); } } console.log(arr); fail(); });
八皇后問題的JavaScript解法
這是八皇后問題的JavaScript解法,整個(gè)程序都沒用for循環(huán),都是靠遞歸來實(shí)現(xiàn)的,充分運(yùn)用了Array對(duì)象的map, reduce, filter, concat, slice方法
'use strict'; var queens = function (boarderSize) { // 用遞歸生成一個(gè)start到end的Array var interval = function (start, end) { if (start > end) { return []; } return interval(start, end - 1).concat(end); }; // 檢查一個(gè)組合是否有效 var isValid = function (queenCol) { // 檢查兩個(gè)位置是否有沖突 var isSafe = function (pointA, pointB) { var slope = (pointA.row - pointB.row) / (pointA.col - pointB.col); if ((0 === slope) || (1 === slope) || (-1 === slope)) { return false; } return true; }; var len = queenCol.length; var pointToCompare = { row: queenCol[len - 1], col: len }; // 先slice出除了最后一列的數(shù)組,然后依次測(cè)試每列的點(diǎn)和待測(cè)點(diǎn)是否有沖突,最后合并測(cè)試結(jié)果 return queenCol .slice(0, len - 1) .map(function (row, index) { return isSafe({row: row, col: index + 1}, pointToCompare); }) .reduce(function (a, b) { return a && b; }); }; // 遞歸地去一列一列生成符合規(guī)則的組合 var queenCols = function (size) { if (1 === size) { return interval(1, boarderSize).map(function (i) { return [i]; }); } // 先把之前所有符合規(guī)則的列組成的集合再擴(kuò)展一列,然后用reduce降維,最后用isValid過濾掉不符合規(guī)則的組合 return queenCols(size - 1) .map(function (queenCol) { return interval(1, boarderSize).map(function (row) { return queenCol.concat(row); }); }) .reduce(function (a, b) { return a.concat(b); }) .filter(isValid); }; // queens函數(shù)入口 return queenCols(boarderSize); }; console.log(queens(8)); // 輸出結(jié)果: // [ [ 1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4 ], // [ 1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5 ], // ... // [ 8, 3, 1, 6, 2, 5, 7, 4 ], // [ 8, 4, 1, 3, 6, 2, 7, 5 ] ]
PS:延伸的N皇后問題
當(dāng) 1848 年國(guó)際象棋玩家 Max Bezzel 提出八皇后問題(eight queens puzzle)時(shí),他恐怕怎么也想不到,100 多年以后,這個(gè)問題竟然成為了編程學(xué)習(xí)中最重要的必修課之一。八皇后問題聽上去非常簡(jiǎn)單:把八個(gè)皇后放在國(guó)際象棋棋盤上,使得這八個(gè)皇后互相之間不攻擊(國(guó)際象棋棋盤是一個(gè) 8×8 的方陣,皇后則可以朝橫豎斜八個(gè)方向中的任意一個(gè)方向走任意多步)。雖然這個(gè)問題一共有 92 個(gè)解,但要想徒手找出一個(gè)解來也并不容易。下圖就是其中一個(gè)解:
八皇后問題有很多變種,不過再怎么也不會(huì)比下面這個(gè)變種版本更帥:請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案,在一個(gè)無窮大的棋盤的每一行每一列里都放置一個(gè)皇后,使得所有皇后互相之間都不攻擊。具體地說,假設(shè)這個(gè)棋盤的左下角在原點(diǎn)處,從下到上有無窮多行,從左到右有無窮多列,你需要找出一個(gè)全體正整數(shù)的排列方式 a1, a2, a3, … ,使得當(dāng)你把第一個(gè)皇后放在第一行的第 a1 列,把第二個(gè)皇后放在第二行的第 a2 列,等等,那么任意兩個(gè)皇后之間都不會(huì)互相攻擊。
下面給出一個(gè)非常簡(jiǎn)單巧妙的構(gòu)造。首先,我們給出五皇后問題的一個(gè)解。并且非常重要的是,其中一個(gè)皇后占據(jù)了最左下角的那個(gè)格子。
接下來,我們把五皇后的解擴(kuò)展到 25 皇后,而依據(jù)則是五皇后本身的布局:
樣一來,同一組里的五個(gè)皇后顯然不會(huì)互相攻擊,不同組的皇后之間顯然也不會(huì)互相攻擊,這便是一個(gè)滿足要求的 25 皇后解了。注意到,在擴(kuò)展之后,之前已經(jīng)填好的部分并未改變。
再接下來怎么辦呢?沒錯(cuò),我們又把 25 皇后的解復(fù)制成五份,再次按照五皇后的布局來排列,從而擴(kuò)展到 125 皇后!
像這樣不斷地根據(jù)已填的部分,成倍地向外擴(kuò)展,便能生成一個(gè)無窮皇后問題的解。
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