C#用遞歸算法解決八皇后問題
1.引子
中國有一句古話,叫做“不撞南墻不回頭",生動的說明了一個人的固執(zhí),有點貶義,但是在軟件編程中,這種思路確是一種解決問題最簡單的算法,它通過一種類似于蠻干的思路,一步一步地往前走,每走一步都更靠近目標結(jié)果一些,直到遇到障礙物,我們才考慮往回走。然后再繼續(xù)嘗試向前。通過這樣的波浪式前進方法,最終達到目的地。當然整個過程需要很多往返,這樣的前進方式,效率比較低下。
2.適用范圍
適用于那些不存在簡明的數(shù)學模型以闡明問題的本質(zhì),或者存在數(shù)學模型,但是難于實現(xiàn)的問題。
3.應用場景
在8*8國際象棋棋盤上,要求在每一行放置一個皇后,且能做到在豎方向,斜方向都沒有沖突。國際象棋的棋盤如下圖所示:
4.分析
基本思路如上面分析一致,我們采用逐步試探的方式,先從一個方向往前走,能進則進,不能進則退,嘗試另外的路徑。首先我們來分析一下國際象棋的規(guī)則,這些規(guī)則能夠限制我們的前進,也就是我們前進途中的障礙物。一個皇后q(x,y)能被滿足以下條件的皇后q(row,col)吃掉
1)x=row(在縱向不能有兩個皇后)
2)y=col(橫向)
3)col + row = y+x;(斜向正方向)
4)col - row = y-x;(斜向反方向)
遇到上述問題之一的時候,說明我們已經(jīng)遇到了障礙,不能繼續(xù)向前了。我們需要退回來,嘗試其他路徑。
我們將棋盤看作是一個8*8的數(shù)組,這樣可以使用一種蠻干的思路去解決這個問題,這樣我們就是在8*8=64個格子中取出8個的組合,C(64,80) = 4426165368,顯然這個數(shù)非常大,在蠻干的基礎(chǔ)上我們可以增加回溯,從第0列開始,我們逐列進行,從第0行到第7行找到一個不受任何已經(jīng)現(xiàn)有皇后攻擊的位置,而第五列,我們會發(fā)現(xiàn)找不到皇后的安全位置了,前面四列的擺放如下:
第五列的時候,擺放任何行都會上圖所示已經(jīng)存在的皇后的攻擊,這時候我們認為我們撞了南墻了,是回頭的時候了,我們后退一列,將原來擺放在第四列的皇后(3,4)拿走,從(3,4)這個位置開始,我們再第四列中尋找下一個安全位置為(7,4),再繼續(xù)到第五列,發(fā)現(xiàn)第五列仍然沒有安全位置,回溯到第四列,此時第四列也是一個死胡同了,我們再回溯到第三列,這樣前進幾步,回退一步,最終直到在第8列上找到一個安全位置(成功)或者第一列已經(jīng)是死胡同,但是第8列仍然沒有找到安全位置為止
總結(jié)一下,用回溯的方法解決8皇后問題的步驟為:
1)從第一列開始,為皇后找到安全位置,然后跳到下一列
2)如果在第n列出現(xiàn)死胡同,如果該列為第一列,棋局失敗,否則后退到上一列,在進行回溯
3)如果在第8列上找到了安全位置,則棋局成功。
8個皇后都找到了安全位置代表棋局的成功,用一個長度為8的整數(shù)數(shù)組queenList代表成功擺放的8個皇后,數(shù)組索引代表棋盤的col向量,而數(shù)組的值為棋盤的row向
量,所以(row,col)的皇后可以表示為(queenList[col],col),如上圖中的幾個皇后可表示為:
queenList[0] = 0; queenList[1] = 3; queenList[2] = 1; queenList[3] = 4; queenList = 2;
我們看一下如何設(shè)計程序:
首先判斷(row,col)是否是安全位置的算法:
bool IsSafe(int col,int row,int[] queenList) { //只檢查前面的列 for (int tempCol = 0; tempCol < col; tempCol++) { int tempRow = queenList[tempCol]; if (tempRow == row) { //同一行 return false; } if (tempCol == col) { //同一列 return false; } if (tempRow - tempCol == row - col || tempRow + tempCol == row + col) { return false; } } return true; }
設(shè)定一個函數(shù),用于查找col列后的皇后擺放方法:
/// <summary> /// 在第col列尋找安全的row值 /// </summary> /// <param name="queenList"></param> /// <param name="col"></param> /// <returns></returns> public bool PlaceQueue(int[] queenList, int col) { int row = 0; bool foundSafePos = false; if (col == 8) //結(jié)束標志 { //當處理完第8列的完成 foundSafePos = true; } else { while (row < 8 && !foundSafePos) { if (IsSafe(col, row, queenList)) { //找到安全位置 queenList[col] = row; //找下一列的安全位置 foundSafePos = PlaceQueue(queenList, col + 1); if (!foundSafePos) { row++; } } else { row++; } } } return foundSafePos; }
調(diào)用方法:
static void Main(string[] args) { EightQueen eq = new EightQueen(); int[] queenList = new int[8]; for (int j = 0; j < 8; j++) { Console.WriteLine("-----------------"+j+"---------------------"); queenList[0] = j; bool res = eq.PlaceQueue(queenList, 1); if (res) { Console.Write(" "); for (int i = 0; i < 8; i++) { Console.Write(" " + i.ToString() + " "); } Console.WriteLine(""); for (int i = 0; i < 8; i++) { Console.Write(" "+i.ToString()+" "); for (int a = 0; a < 8; a++) { if (i == queenList[a]) { Console.Write(" q "); } else { Console.Write(" * "); } } Console.WriteLine(""); } Console.WriteLine("---------------------------------------"); } else { Console.WriteLine("不能完成棋局,棋局失?。?); } } Console.Read(); }
遞歸算法PlaceQueue,完成這樣的功能:它尋找第col列后的皇后的安全擺放位置,如果該函數(shù)返回了false,表示當前進入了死胡同,需要進行回溯,直到為0-7列都找
到了安全位置或者找遍這些列都找不到安全位置的時候終止。
用遞歸算法解決8皇后問題的示例程序:
http://xiazai.jb51.net/201606/yuanma/EightQueens(jb51.net).rar