1 浮點數(shù)的表示

通常，我們可以用下面的格式來表示浮點數(shù)

其中S是符號位，P是階碼，M是尾數(shù)

對于IBM-PC而言，單精度浮點數(shù)是32位（即4字節(jié)）的，雙精度浮點數(shù)是64位（即8字節(jié)）的。兩者的S，P，M所占的位數(shù)以及表示方法由下表可知

以單精度浮點數(shù)為例，可以得到其二進制的表示格式如下

其中S是符號位，只有0和1，分別表示正負；P是階碼，通常使用移碼表示（移碼和補碼只有符號位相反，其余都一樣。對于正數(shù)而言，原碼，反碼和補碼都一樣；對于負數(shù)而言，補碼就是其絕對值的原碼全部取反，然后加1.）

為了簡單起見，本文都只討論單精度浮點數(shù)，雙精度浮點數(shù)也是用一樣的方式存儲和表示的。

2 浮點數(shù)的表示約定

單精度浮點數(shù)和雙精度浮點數(shù)都是用IEEE754標準定義的，其中有一些特殊約定。

（1） 當P = 0, M = 0時，表示0。

（2） 當P = 255, M = 0時，表示無窮大，用符號位來確定是正無窮大還是負無窮大。

（3） 當P = 255, M != 0時，表示NaN（Not a Number，不是一個數(shù)）。

當我們使用.Net Framework的時候，我們通常會用到下面三個常量

Console.WriteLine(float.MaxValue); // 3.402823E+38
Console.WriteLine(float.MinValue); //-3.402823E+38
Console.WriteLine(float.Epsilon);  // 1.401298E-45
//如果我們把它們轉(zhuǎn)換成雙精度類型，它們的值如下
Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MaxValue)); // 3.40282346638529E+38
Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MinValue)); //-3.40282346638529E+38
Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.Epsilon));  // 1.40129846432482E-45

那么這些值是如何求出來的呢？

根據(jù)上面的約定，我們可以知道階碼P的最大值是11111110（這個值是254，因為255用于特殊的約定，那么對于可以精確表示的數(shù)來說，254就是最大的階碼了）。尾數(shù)的最大值是11111111111111111111111。

那么這個最大值就是：0 11111110 11111111111111111111111。

也就是 2(254-127) * (1.11111111111111111111111)2 = 2127 * (1+1-2-23) = 3.40282346638529E+38

從上面的雙精度表示可以看出，兩者是一致的。最小的數(shù)自然就是-3.40282346638529E+38。

對于最接近于0的數(shù)，根據(jù)IEEE754的約定，為了擴大對0值附近數(shù)據(jù)的表示能力，取階碼P = -126，尾數(shù) M = (0.00000000000000000000001)2 。此時該數(shù)的二進制表示為：0 00000000 00000000000000000000001

也就是2-126 * 2-23 = 2-149 = 1.40129846432482E-45。這個數(shù)字和上面的Epsilon是一致的。

如果我們要精確表示最接近于0的數(shù)字，它應(yīng)該是 0 00000001 00000000000000000000000

也就是：2-126 * (1+0)  =  1.17549435082229E-38。

3 浮點數(shù)的精度問題

浮點數(shù)以有限的32bit長度來反映無限的實數(shù)集合，因此大多數(shù)情況下都是一個近似值。同時，對于浮點數(shù)的運算還同時伴有誤差擴散現(xiàn)象。特定精度下看似相等的兩個浮點數(shù)可能并不相等，因為它們的最小有效位數(shù)不同。

由于浮點數(shù)可能無法精確近似于十進制數(shù)，如果使用十進制數(shù)，則使用浮點數(shù)的數(shù)學(xué)或比較運算可能不會產(chǎn)生相同的結(jié)果。

如果涉及浮點數(shù)，值可能不往返。值的往返是指，某個運算將原始浮點數(shù)轉(zhuǎn)換為另一種格式，而反向運算又將轉(zhuǎn)換后的格式轉(zhuǎn)換回浮點數(shù)，且最終浮點數(shù)與原始浮點數(shù)相等。由于一個或多個最低有效位可能在轉(zhuǎn)換中丟失或更改，往返可能會失敗。

4 將浮點數(shù)表示為二進制

4.1 無小數(shù)的浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制表示

首先，我們用一個不帶小數(shù)的浮點數(shù)來說明如何將一個浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制表示。假設(shè)要轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)是45678.0f。

在處理這種不帶小數(shù)的浮點數(shù)時，直接將整數(shù)部分轉(zhuǎn)化為二進制表示：

1011001001101110.0，這時要加上一位默認的1（這是因為按照浮點數(shù)規(guī)格化的要求，尾數(shù)必須化成 1.M的格式），

那么可以表示成：11011001001101110.0。

然后將小數(shù)點向左移，一直移到離最高位只有1位，也就是 1.1011001001101110，一共移動了16位，我們知道，左移位表示乘法，右移位表示除法。所以原數(shù)就等于這樣：1.1011001001101110 * ( 216 )?，F(xiàn)在尾數(shù)和指數(shù)都出來了。因為最高位的1是根據(jù)標準加上去的，只是為了滿足規(guī)格化的要求，這時候需要把這個1去掉。尾數(shù)的二進制就變成了：1011001001101110。

最后在尾數(shù)的后面補0，一直到補夠23位，就是：10110010011011100000000。

再回來看指數(shù)，根據(jù)前面的定義，P-127=16，那么P = 143，表示成二進制就是：10001111。

45678.0f這個數(shù)是正的，所以符號位是0，那么我們按照前面講的格式把它拼起來，就是：0 10001111 10110010011011100000000。

這就是45678.0f這個數(shù)的二進制表示，如果我們要得到16進制的表示，非常簡單，我們只需要把這個二進制串4個一組，轉(zhuǎn)換成16進制數(shù)就可以了。但是要注意的是x86架構(gòu)的CPU都是Little Endian的（也就是低位字節(jié)在前，高位字節(jié)在后），所以在實際內(nèi)存中該數(shù)字是按上面二進制串的倒序存儲的。要知道CPU是不是little endian的也很容易。

BitConverter.IsLittleEndian;

4.2 含小數(shù)的浮點數(shù)表示為二進制

對于含小數(shù)的浮點數(shù)，會有精度的問題，下面舉例說明。假設(shè)要轉(zhuǎn)換的小數(shù)為123.456f。

對于這種帶小數(shù)的就需要把整數(shù)部和小數(shù)部分開處理。對于整數(shù)部分的處理不再贅述，直接化成二進制為：100100011。小數(shù)部份的處理比較麻煩一些，我們知道，使用二進制表示只有0和1，那么對于小數(shù)就只能用下面的方式來表示：

a1*2-1+a2*2-2+a3*2-3+......+an*2-n

其中a1等數(shù)可以是0或者1，從理論上將，使用這種表示方法可以表示一個有限的小數(shù)。但是尾數(shù)只能有23位，那么就必然會帶來精度的問題。

在很多情況下，我們只能近似地表示小數(shù)。來看0.456這個十進制純小數(shù)，該如何表示成二進制呢？一般說來，我們可以通過乘以2的方法來表示。

首先，把這個數(shù)字乘以2，小于1，所以第一位為0，然后再乘以2，大于1，所以第二位為1，將這個數(shù)字減去1，再乘以2，這樣循環(huán)下去，直到這個數(shù)字等于0為止。

在很多情況下，我們得到的二進制數(shù)字都大于23位，多于23位的就要舍去。舍入原則是0舍1入。通過這樣的辦法，我們可以得到二進制表示：1111011.01110100101111001。

現(xiàn)在開始向左移小數(shù)點，一共移了6位，這時候尾數(shù)為：1.11101101110100101111001，階碼為6加上127得131，二進制表示為：10000101，那么總的二進制表示為：

0  10000101  11101101110100101111001

表示成十六進制是：42  F6  E9  79

由于CPU是Little Endian的，所以在內(nèi)存中表示為：79  E9  F6  42。

4.3 將純小數(shù)表示成二進制

對于純小數(shù)轉(zhuǎn)化為二進制來說，必須先進行規(guī)格化。例如0.0456，我們需要把它規(guī)格化，變?yōu)?.xxxx * （2n ）的形式，要求得純小數(shù)X對應(yīng)的n可用下面的公式：
n = int( 1 + log 2X )

0.0456我們可以表示為1.4592乘以以2為底的-5次方的冪，即1.4592 * ( 2-5 )。轉(zhuǎn)化為這樣形式后，再按照上面處理小數(shù)的方法處理，得到二進制表示

1. 01110101100011100010001

去掉第一個1，得到尾數(shù)

01110101100011100010001

階碼為：-5 + 127 = 122，二進制表示為

0  01111010  01110101100011100010001

最后轉(zhuǎn)換成十六進制
11 C7 3A 3D

5 浮點數(shù)的數(shù)學(xué)運算

5.1 浮點數(shù)的加減法

設(shè)兩個浮點數(shù) X=Mx*2Ex ，Y=My*2Ey

實現(xiàn)X±Y要用如下5步完成：

（1）對階操作：小階向大階看齊
（2）進行尾數(shù)加減運算
（3）規(guī)格化處理：尾數(shù)進行運算的結(jié)果必須變成規(guī)格化的浮點數(shù)，對于雙符號位（就是使用00表示正數(shù)，11表示負數(shù)，01表示上溢出，10表示下溢出）的補碼尾數(shù)來說，就必須是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要進行左規(guī)或右規(guī)處理。
（4）舍入操作：在執(zhí)行對階或右規(guī)操作時常用“0”舍“1”入法將右移出去的尾數(shù)數(shù)值進行舍入，以確保精度。
（5）判結(jié)果的正確性：即檢查階碼是否溢出

若階碼下溢（移碼表示是00…0），要置結(jié)果為機器0；
若階碼上溢（超過了階碼表示的最大值）置溢出標志。

現(xiàn)在用一個具體的例子來說明上面的5個步驟

例題：假定X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此處的數(shù)均為二進制）， 計算X+Y；

首先，我們要把這兩個數(shù)變成2進制表示，對于浮點數(shù)來說，階碼通常用移碼表示，而尾數(shù)通常用補碼表示。

要注意的是-10的移碼是00110
        [X]?。?0        1 010  1100110
        [Y]浮： 0        0 110  1101101
                   符號位 階碼   尾數(shù)

（1）求階差：│ΔE│=|1010-0110|=0100

（2）對階：Y的階碼小，Y的尾數(shù)右移4位
        [Y]浮變?yōu)?0 1 010 0000110 1101暫時保存

（3）尾數(shù)相加，采用雙符號位的補碼運算
     00 1100110
   +00 0000110
     00 1101100

（4）規(guī)格化：滿足規(guī)格化要求

（5）舍入處理，采用0舍1入法處理

故最終運算結(jié)果的浮點數(shù)格式為： 0 1 010 1101101

即X+Y=+0. 1101101*210

5.2 浮點數(shù)的乘除法

（1）階碼運算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法）
    即  [Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]補
          [Ex-Ey]移= [Ex]移+  [-Ey]補
（2）浮點數(shù)的尾數(shù)處理：浮點數(shù)中尾數(shù)乘除法運算結(jié)果要進行舍入處理

例題：X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10  求X*Y

解：[X]浮： 0 1 010 1100110
        [Y]?。?0 0 110 1101101

（1）階碼相加
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]補=1 010+1 110=1 000
1 000為移碼表示的0

（2）原碼尾數(shù)相乘的結(jié)果為：
0 10101101101110

（3）規(guī)格化處理：已滿足規(guī)格化要求，不需左規(guī)，尾數(shù)不變，階碼不變。

（4）舍入處理：按舍入規(guī)則，加1進行修正

所以 X※Y= 0.1010111*20

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*【Author】：flyingbread
*【Date】：2007年3月2日
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