Android Matrix源碼詳解
Matrix的數(shù)學(xué)原理
在Android中，如果你用Matrix進(jìn)行過圖像處理，那么一定知道Matrix這個類。Android中的Matrix是一個3 x 3的矩陣，其內(nèi)容如下：
Matrix的對圖像的處理可分為四類基本變換：
- Translate 平移變換
- Rotate 旋轉(zhuǎn)變換
- Scale 縮放變換
- Skew 錯切變換
從字面上理解，矩陣中的MSCALE用于處理縮放變換，MSKEW用于處理錯切變換，MTRANS用于處理平移變換，MPERSP用于處理透視變換。實際中當(dāng)然不能完全按照字面上的說法去理解Matrix。同時，在Android的文檔中，未見到用Matrix進(jìn)行透視變換的相關(guān)說明，所以本文也不討論這方面的問題。
針對每種變換，Android提供了pre、set和post三種操作方式。其中
set用于設(shè)置Matrix中的值。
pre是先乘，因為矩陣的乘法不滿足交換律，因此先乘、后乘必須要嚴(yán)格區(qū)分。先乘相當(dāng)于矩陣運算中的右乘。
post是后乘，因為矩陣的乘法不滿足交換律，因此先乘、后乘必須要嚴(yán)格區(qū)分。后乘相當(dāng)于矩陣運算中的左乘。
除平移變換(Translate)外，旋轉(zhuǎn)變換(Rotate)、縮放變換(Scale)和錯切變換(Skew)都可以圍繞一個中心點來進(jìn)行，如果不指定，在默認(rèn)情況下是圍繞(0, 0)來進(jìn)行相應(yīng)的變換的。
下面我們來看看四種變換的具體情形。由于所有的圖形都是有點組成，因此我們只需要考察一個點相關(guān)變換即可。
一、 平移變換
假定有一個點的坐標(biāo)是
，將其移動到
，再假定在x軸和y軸方向移動的大小分別為：
如下圖所示：
不難知道：
如果用矩陣來表示的話，就可以寫成：
二、 旋轉(zhuǎn)變換
2.1 圍繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)：
假定有一個點 ，相對坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)
后的情形，同時假定P點離坐標(biāo)原點的距離為r，如下圖：
那么，
如果用矩陣，就可以表示為：
2.2 圍繞某個點旋轉(zhuǎn)
如果是圍繞某個點
順時針旋轉(zhuǎn)
，那么可以用矩陣表示為：
可以化為：
很顯然，
1.
是將坐標(biāo)原點移動到點
后， 的新坐標(biāo)。
2. 
是將上一步變換后的，圍繞新的坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn) 。
3. 
經(jīng)過上一步旋轉(zhuǎn)變換后，再將坐標(biāo)原點移回到原來的坐標(biāo)原點。
所以，圍繞某一點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，可以分成3個步驟，即首先將坐標(biāo)原點移至該點，然后圍繞新的坐標(biāo)原點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，再然后將坐標(biāo)原點移回到原先的坐標(biāo)原點。
三、 縮放變換
理論上而言，一個點是不存在什么縮放變換的，但考慮到所有圖像都是由點組成，因此，如果圖像在x軸和y軸方向分別放大k1和k2倍的話，那么圖像中的所有點的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)均會分別放大k1和k2倍，即
用矩陣表示就是：
縮放變換比較好理解，就不多說了。
四、 錯切變換
錯切變換(skew)在數(shù)學(xué)上又稱為Shear mapping(可譯為“剪切變換”)或者Transvection(縮并)，它是一種比較特殊的線性變換。錯切變換的效果就是讓所有點的x坐標(biāo)(或者y坐標(biāo))保持不變，而對應(yīng)的y坐標(biāo)(或者x坐標(biāo))則按比例發(fā)生平移，且平移的大小和該點到x軸(或y軸)的垂直距離成正比。錯切變換，屬于等面積變換，即一個形狀在錯切變換的前后，其面積是相等的。
比如下圖，各點的y坐標(biāo)保持不變，但其x坐標(biāo)則按比例發(fā)生了平移。這種情況將水平錯切。
下圖各點的x坐標(biāo)保持不變，但其y坐標(biāo)則按比例發(fā)生了平移。這種情況叫垂直錯切。
假定一個點經(jīng)過錯切變換后得到，對于水平錯切而言，應(yīng)該有如下關(guān)系：
用矩陣表示就是：
擴展到3 x 3的矩陣就是下面這樣的形式：
同理，對于垂直錯切，可以有：
在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的錯切變換就是上面這樣的。在Android中除了有上面說到的情況外，還可以同時進(jìn)行水平、垂直錯切，那么形式上就是：
五、 對稱變換
除了上面講到的4中基本變換外，事實上，我們還可以利用Matrix，進(jìn)行對稱變換。所謂對稱變換，就是經(jīng)過變化后的圖像和原圖像是關(guān)于某個對稱軸是對稱的。比如，某點 經(jīng)過對稱變換后得到，
如果對稱軸是x軸，難么，
用矩陣表示就是：
如果對稱軸是y軸，那么，
用矩陣表示就是：
如果對稱軸是y = x，如圖：
那么，
很容易可以解得：
用矩陣表示就是：
同樣的道理，如果對稱軸是y = -x，那么用矩陣表示就是：
特殊地，如果對稱軸是y = kx，如下圖：
那么，
很容易可解得：
用矩陣表示就是：
當(dāng)k = 0時，即y = 0，也就是對稱軸為x軸的情況；當(dāng)k趨于無窮大時，即x = 0，也就是對稱軸為y軸的情況；當(dāng)k =1時，即y = x，也就是對稱軸為y = x的情況；當(dāng)k = -1時，即y = -x，也就是對稱軸為y = -x的情況。不難驗證，這和我們前面說到的4中具體情況是相吻合的。
如果對稱軸是y = kx + b這樣的情況，只需要在上面的基礎(chǔ)上增加兩次平移變換即可，即先將坐標(biāo)原點移動到(0, b)，然后做上面的關(guān)于y = kx的對稱變換，再然后將坐標(biāo)原點移回到原來的坐標(biāo)原點即可。用矩陣表示大致是這樣的：
需要特別注意：在實際編程中，我們知道屏幕的y坐標(biāo)的正向和數(shù)學(xué)中y坐標(biāo)的正向剛好是相反的，所以在數(shù)學(xué)上y = x和屏幕上的y = -x才是真正的同一個東西，反之亦然。也就是說，如果要使圖片在屏幕上看起來像按照數(shù)學(xué)意義上y = x對稱，那么需使用這種轉(zhuǎn)換：
要使圖片在屏幕上看起來像按照數(shù)學(xué)意義上y = -x對稱，那么需使用這種轉(zhuǎn)換：
關(guān)于對稱軸為y = kx 或y = kx + b的情況，同樣需要考慮這方面的問題。
第二部分 代碼驗證
在第一部分中講到的各種圖像變換的驗證代碼如下，一共列出了10種情況。如果要驗證其中的某一種情況，只需將相應(yīng)的代碼反注釋即可。試驗中用到的圖片：
其尺寸為162 x 251。
每種變換的結(jié)果，請見代碼之后的說明。
package compattesttransformmatrix;
import androidappActivity;
import androidcontentContext;
import androidgraphicsBitmap;
import androidgraphicsBitmapFactory;
import androidgraphicsCanvas;
import androidgraphicsMatrix;
import androidosBundle;
import androidutilLog;
import androidviewMotionEvent;
import androidviewView;
import androidviewWindow;
import androidviewWindowManager;
import androidviewViewOnTouchListener;
import androidwidgetImageView;
public class TestTransformMatrixActivity extends Activity
implements
OnTouchListener
{
private TransformMatrixView view;
@Override
public void onCreate(Bundle savedInstanceState)
{
superonCreate(savedInstanceState);
requestWindowFeature(WindowFEATURE_NO_TITLE);
thisgetWindow()setFlags(WindowManagerLayoutParamsFLAG_FULLSCREEN, WindowManagerLayoutParamsFLAG_FULLSCREEN);
view = new TransformMatrixView(this);
viewsetScaleType(ImageViewScaleTypeMATRIX);
viewsetOnTouchListener(this);
setContentView(view);
}
class TransformMatrixView extends ImageView
{
private Bitmap bitmap;
private Matrix matrix;
public TransformMatrixView(Context context)
{
super(context);
bitmap = BitmapFactorydecodeResource(getResources(), Rdrawablesophie);
matrix = new Matrix();
}
@Override
protected void onDraw(Canvas canvas)
{
// 畫出原圖像
canvasdrawBitmap(bitmap, 0, 0, null);
// 畫出變換后的圖像
canvasdrawBitmap(bitmap, matrix, null);
superonDraw(canvas);
}
@Override
public void setImageMatrix(Matrix matrix)
{
thismatrixset(matrix);
supersetImageMatrix(matrix);
}
public Bitmap getImageBitmap()
{
return bitmap;
}
}
public boolean onTouch(View v, MotionEvent e)
{
if(egetAction() == MotionEventACTION_UP)
{
Matrix matrix = new Matrix();
// 輸出圖像的寬度和高度(162 x 251)
Loge("TestTransformMatrixActivity", "image size: width x height = " + viewgetImageBitmap()getWidth() + " x " + viewgetImageBitmap()getHeight());
// 平移
matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth(), viewgetImageBitmap()getHeight());
// 在x方向平移viewgetImageBitmap()getWidth()，在y軸方向viewgetImageBitmap()getHeight()
viewsetImageMatrix(matrix);
// 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
float[] matrixValues = new float[9];
matrixgetValues(matrixValues);
for(int i = 0; i < 3; ++i)
{
String temp = new String();
for(int j = 0; j < 3; ++j)
{
temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
}
Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
}
// // 旋轉(zhuǎn)(圍繞圖像的中心點)
// matrixsetRotate(45f, viewgetImageBitmap()getWidth() / 2f, viewgetImageBitmap()getHeight() / 2f);
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth() * 5f, 0f);
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
// // 旋轉(zhuǎn)(圍繞坐標(biāo)原點) + 平移(效果同2)
// matrixsetRotate(45f);
// matrixpreTranslate(-1f * viewgetImageBitmap()getWidth() / 2f, -1f * viewgetImageBitmap()getHeight() / 2f);
// matrixpostTranslate((float)viewgetImageBitmap()getWidth() / 2f, (float)viewgetImageBitmap()getHeight() / 2f);
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate((float)viewgetImageBitmap()getWidth() * 5f, 0f);
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
// // 縮放
// matrixsetScale(2f, 2f);
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth(), viewgetImageBitmap()getHeight());
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
// // 錯切 - 水平
// matrixsetSkew(5f, 0f);
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth(), 0f);
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
// // 錯切 - 垂直
// matrixsetSkew(0f, 5f);
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate(0f, viewgetImageBitmap()getHeight());
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
// 錯切 - 水平 + 垂直
// matrixsetSkew(5f, 5f);
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate(0f, viewgetImageBitmap()getHeight());
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
// // 對稱 (水平對稱)
// float matrix_values[] = {1f, 0f, 0f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 1f};
// matrixsetValues(matrix_values);
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate(0f, viewgetImageBitmap()getHeight() * 2f);
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
// // 對稱 - 垂直
// float matrix_values[] = {-1f, 0f, 0f, 0f, 1f, 0f, 0f, 0f, 1f};
// matrixsetValues(matrix_values);
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth() * 2f, 0f);
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
// // 對稱(對稱軸為直線y = x)
// float matrix_values[] = {0f, -1f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 0f, 1f};
// matrixsetValues(matrix_values);
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// float[] matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
//
// // 做下面的平移變換，純粹是為了讓變換后的圖像和原圖像不重疊
// matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getHeight() + viewgetImageBitmap()getWidth(),
// viewgetImageBitmap()getHeight() + viewgetImageBitmap()getWidth());
// viewsetImageMatrix(matrix);
//
// // 下面的代碼是為了查看matrix中的元素
// matrixValues = new float[9];
// matrixgetValues(matrixValues);
// for(int i = 0; i < 3; ++i)
// {
// String temp = new String();
// for(int j = 0; j < 3; ++j)
// {
// temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
// }
// Loge("TestTransformMatrixActivity", temp);
// }
viewinvalidate();
}
return true;
}
}
下面給出上述代碼中，各種變換的具體結(jié)果及其對應(yīng)的相關(guān)變換矩陣
1. 平移
輸出的結(jié)果：
請對照第一部分中的“一、平移變換”所講的情形，考察上述矩陣的正確性。
2. 旋轉(zhuǎn)(圍繞圖像的中心點)
輸出的結(jié)果：
它實際上是
matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f); matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);
這兩條語句綜合作用的結(jié)果。根據(jù)第一部分中“二、旋轉(zhuǎn)變換”里面關(guān)于圍繞某點旋轉(zhuǎn)的公式，
matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)換矩陣就是：
而matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);的意思就是在上述矩陣的左邊再乘以下面的矩陣：
關(guān)于post是左乘這一點，我們在前面的理論部分曾經(jīng)提及過，后面我們還會專門討論這個問題。
所以它實際上就是：
出去計算上的精度誤差，我們可以看到我們計算出來的結(jié)果，和程序直接輸出的結(jié)果是一致的。
3. 旋轉(zhuǎn)(圍繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)，在加上兩次平移，效果同2)
根據(jù)第一部分中“二、旋轉(zhuǎn)變換”里面關(guān)于圍繞某點旋轉(zhuǎn)的解釋，不難知道：
matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
等價于
matrix.setRotate(45f); matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f); matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
其中matrix.setRotate(45f)對應(yīng)的矩陣是：
matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight()/ 2f)對應(yīng)的矩陣是：
由于是preTranslate，是先乘，也就是右乘，即它應(yīng)該出現(xiàn)在matrix.setRotate(45f)所對應(yīng)矩陣的右側(cè)。
matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f)對應(yīng)的矩陣是：
這次由于是postTranslate，是后乘，也就是左乘，即它應(yīng)該出現(xiàn)在matrix.setRotate(45f)所對應(yīng)矩陣的左側(cè)。
所以綜合起來，
matrix.setRotate(45f); matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f); matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
對應(yīng)的矩陣就是：
這和下面這個矩陣(圍繞圖像中心順時針旋轉(zhuǎn)45度)其實是一樣的：
因此，此處變換后的圖像和2中變換后的圖像時一樣的。
4. 縮放變換
程序所輸出的兩個矩陣分別是：
其中第二個矩陣，其實是下面兩個矩陣相乘的結(jié)果：
大家可以對照第一部分中的“三、縮放變換”和“一、平移變換”說法，自行驗證結(jié)果。
5. 錯切變換(水平錯切)
代碼所輸出的兩個矩陣分別是：
其中，第二個矩陣其實是下面兩個矩陣相乘的結(jié)果：
大家可以對照第一部分中的“四、錯切變換”和“一、平移變換”的相關(guān)說法，自行驗證結(jié)果。
6. 錯切變換(垂直錯切)
代碼所輸出的兩個矩陣分別是：
其中，第二個矩陣其實是下面兩個矩陣相乘的結(jié)果：
大家可以對照第一部分中的“四、錯切變換”和“一、平移變換”的相關(guān)說法，自行驗證結(jié)果。
7. 錯切變換(水平+垂直錯切)
代碼所輸出的兩個矩陣分別是：
其中，后者是下面兩個矩陣相乘的結(jié)果：
大家可以對照第一部分中的“四、錯切變換”和“一、平移變換”的相關(guān)說法，自行驗證結(jié)果。
8. 對稱變換(水平對稱)
代碼所輸出的兩個各矩陣分別是：
其中，后者是下面兩個矩陣相乘的結(jié)果：
大家可以對照第一部分中的“五、對稱變換”和“一、平移變換”的相關(guān)說法，自行驗證結(jié)果。
9. 對稱變換(垂直對稱)
代碼所輸出的兩個矩陣分別是：
其中，后者是下面兩個矩陣相乘的結(jié)果：
大家可以對照第一部分中的“五、對稱變換”和“一、平移變換”的相關(guān)說法，自行驗證結(jié)果。
10. 對稱變換(對稱軸為直線y = x)
代碼所輸出的兩個矩陣分別是：
其中，后者是下面兩個矩陣相乘的結(jié)果：
大家可以對照第一部分中的“五、對稱變換”和“一、平移變換”的相關(guān)說法，自行驗證結(jié)果。
11. 關(guān)于先乘和后乘的問題
由于矩陣的乘法運算不滿足交換律，我們在前面曾經(jīng)多次提及先乘、后乘的問題，即先乘就是矩陣運算中右乘，后乘就是矩陣運算中的左乘。其實先乘、后乘的概念是針對變換操作的時間先后而言的，左乘、右乘是針對矩陣運算的左右位置而言的。以第一部分“二、旋轉(zhuǎn)變換”中圍繞某點旋轉(zhuǎn)的情況為例：
越靠近原圖像中像素的矩陣，越先乘，越遠(yuǎn)離原圖像中像素的矩陣，越后乘。事實上，圖像處理時，矩陣的運算是從右邊往左邊方向進(jìn)行運算的。這就形成了越在右邊的矩陣(右乘)，越先運算(先乘)，反之亦然。
當(dāng)然，在實際中，如果首先指定了一個matrix，比如我們先setRotate()，即指定了上面變換矩陣中，中間的那個矩陣，那么后續(xù)的矩陣到底是pre還是post運算，都是相對這個中間矩陣而言的。
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