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C語言如何利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)

 更新時間:2023年08月10日 09:51:44   作者:Sandm *  
這篇文章主要介紹了C語言如何利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)問題,具有很好的參考價值,希望對大家有所幫助,如有錯誤或未考慮完全的地方,望不吝賜教

C語言利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)

1. 首先要明確幾個概念

最大公約數(shù): 也叫最大公因數(shù),是指倆個或多個整數(shù)公有約數(shù)中最大的一個。

例如,18 和 24的最大公約數(shù)是 6

最小公倍數(shù):除0以外最小的一個公倍數(shù)就叫作這幾個整數(shù)的最小公倍數(shù)

例如,18 和 24的最小公倍數(shù)是 72

2. 輾轉(zhuǎn)相除法

用除數(shù)和余數(shù)反復(fù)做除法運算,當(dāng)余數(shù)為0時,取當(dāng)前算式除數(shù)為最大公約數(shù)

例如:求 1997 和 615 倆個正整數(shù)的最大公約數(shù)

因為:

1997 % 615 = 152
615 % 152 = 7
152 % 7 = 5
7 % 5 = 2
5 % 2 = 1
2 % 1 = 0

所以,1997 和 615 的最大公約數(shù)為 1

3. C語言代碼實現(xiàn)

#include <stdio.h>
int main()
{
?? ?int data1 = 0, data2 = 0;
?? ?int m = 0; ? ? //該變量是中間變量,不能放在while函數(shù)的內(nèi)部
?? ?scanf_s("%d %d", &data1, &data2);
?? ?while ((m = data1 % data2) != 0)
?? ?{
?? ??? ?data1 = data2;
?? ??? ?data2 = m;
?? ?}
?? ?printf("最大公約數(shù)為%d\n", data2);
?? ?return 0;
}

注意點:

對于求模運算符%,若是分?jǐn)?shù)形式求余數(shù)的話,如果分子小于分母,則分子就是余數(shù)。

例如:2 % 5 = 0

而當(dāng)不是分?jǐn)?shù)形式求余數(shù)的話,即例如:18 % 24 時,可將 % 左邊的內(nèi)容看成是分子,而 % 右邊的內(nèi)容看成是分母。所以 18 % 24 = 18

這里有一個誤區(qū),不能將18 與 24 在都約去 6 的情況下去求它們的余數(shù),所以 18 % 24(3 % 8)= 3 是錯誤的

而不管是 18 % 24 ,還是24 % 18 。它們的余數(shù)均不會成為0

如果知道了倆個數(shù)的最大公約數(shù),那么其最小公倍數(shù)可以根據(jù)公式來確定

即最小公倍數(shù) = 倆個數(shù)的乘積 / 最大公約數(shù)

C語言求最大公約數(shù)常見思路

輾轉(zhuǎn)相除法

輾轉(zhuǎn)相除法又稱為歐幾里得算法,用于求兩數(shù)的最大公約數(shù)gcd(全稱為greatest common divisor)

注意兩數(shù)必須為非負(fù)整數(shù)a,b。用法為:用兩數(shù)中較大的數(shù)(a1)除以較小的數(shù)(b1),得到余數(shù)(r1),再用b1除以r1得到余數(shù)r2,之后再用r1除以r2,反復(fù)進行,直到最后余數(shù)是0為止。最大公約數(shù)就是最后式子中的除數(shù)。

請看如下舉例:

 若用函數(shù)gcd(a,b)來表示,即gcd(a,b)=gcd(b,a%b),我們可以這樣理解:3887 2231和2231 1656的最大公約數(shù)是相等的,依次類推、重復(fù)操作。

用表達式可以這樣來表示:gcd(3887,2231)=gcd(2231,1656)=gcd(1656,575),直到最后到底gcd(a,b)=gcd(c,0),即gcd(3887,2231)=gcd(23,0)。

這里的c為a和b的最大公約數(shù)。

下面來看輾轉(zhuǎn)相除法的圖像說明

維基百科動態(tài)圖

下面看算法實現(xiàn):

算法實現(xiàn)一

 

代碼中的a就相當(dāng)于上述gcd(a,b)=gcd(c,0)中的c。當(dāng)然還有利用此原理的其他寫法,不過是大同小異,這里就不一一列舉了。這里的if語句其實是多余的,因為通過輾轉(zhuǎn)相除完全可以實現(xiàn)兩數(shù)之間的互換。

算法實現(xiàn)二(函數(shù)遞歸法

 對輾轉(zhuǎn)相除足夠熟悉后,可以采用遞歸的方式,如算法實現(xiàn)三

算法實現(xiàn)三(遞歸思想)

總之一句話:除數(shù)除以余數(shù),直到余數(shù)為0為止。

更相減損之術(shù)

更相減損之術(shù)出自我國《九章算術(shù)》,原文是這樣的:

可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也。以等數(shù)約之。

算法過程:大數(shù)減小數(shù),得到的差用來替換之前的大數(shù),如此反復(fù),直到得出來的差與上次的減數(shù)相等。此時的這個差就是兩者的最大公約數(shù)。

以 36 24為例(如下圖):

 可以這樣表示:gcd(36,24)=gcd(24,12),即36 24和24 12的最大公約數(shù)是相等的。

下面來看代碼實現(xiàn)

 總歸一句話:用大數(shù)減去小數(shù),知道減數(shù)和差相等。

最后,當(dāng)處理較大的數(shù)時,輾轉(zhuǎn)相除法雖然在時間上有明顯優(yōu)勢。但是,即使是這樣,輾轉(zhuǎn)相除法也同樣存在缺陷,其在處理較大的素因數(shù)(也叫質(zhì)因數(shù),就是說一個數(shù)是另一個數(shù)的因數(shù),本身又是質(zhì)數(shù),就叫做另一個數(shù)的素因數(shù))時,缺陷就會顯現(xiàn)出來。

當(dāng)然,實現(xiàn)求取最大公約數(shù)還有很多其他方法,這里只進行了常見思路的講解。

總結(jié)

以上為個人經(jīng)驗,希望能給大家一個參考,也希望大家多多支持腳本之家。

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