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C++中AVL樹(shù)的底層以及實(shí)現(xiàn)方法總結(jié)

 更新時(shí)間:2024年10月14日 10:11:49   作者:夜晚中的人海  
這篇文章主要介紹了C++中AVL樹(shù)的底層以及實(shí)現(xiàn)方法的相關(guān)資料,AVL樹(shù)是一種自平衡的二叉搜索樹(shù),每個(gè)節(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)高度差不超過(guò)1,通過(guò)旋轉(zhuǎn)操作保持平衡,詳解了AVL樹(shù)的結(jié)構(gòu)、插入、旋轉(zhuǎn)、查找和遍歷方法,展示了其保持平衡的機(jī)制及對(duì)應(yīng)代碼實(shí)現(xiàn),需要的朋友可以參考下

一、AVL樹(shù)的概念

AVL樹(shù)是一種高度平衡的平衡二叉樹(shù),相比于搜索二叉樹(shù),它的特點(diǎn)在于左右子樹(shù)都為AVL樹(shù)且樹(shù)的高度差的絕對(duì)值不超過(guò)1。這里我們會(huì)引入一個(gè)新的概念叫做平衡因子。平衡因子也就是左右子樹(shù)的高度差,我們可以通過(guò)平衡因子方便我們后續(xù)去觀察和控制樹(shù)是否平衡。

二、AVL樹(shù)的性質(zhì)

AVL樹(shù)主要有三大性質(zhì):

1.每棵樹(shù)的左右子樹(shù)都是AVL樹(shù)。

2.左子樹(shù)和右子樹(shù)的高度之差的絕對(duì)值不超過(guò)1。

3.每個(gè)節(jié)點(diǎn)都會(huì)有一個(gè)平衡因子,且任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡因子都為1、0、-1。

三、AVL樹(shù)的實(shí)現(xiàn)

1. 樹(shù)的基本結(jié)構(gòu)

AVL樹(shù)的結(jié)點(diǎn)包含了左右節(jié)點(diǎn)的指針以及父親節(jié)點(diǎn)的指針,同時(shí)還有有key、value以及代表樹(shù)平衡的平衡因子。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	//平衡因子
	int _bf; 
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

2. 樹(shù)的插入

樹(shù)的插入按照搜索二叉樹(shù)的規(guī)則進(jìn)行插入。插入節(jié)點(diǎn)后更新平衡因子,如果沒(méi)有違反規(guī)則(即沒(méi)有導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)的平衡因子變成2/-2),則插入結(jié)束;如果違反規(guī)則,則樹(shù)會(huì)不平衡,需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作。

平衡因子的更新規(guī)則:

1.平衡因子 = 右子樹(shù)高度 - 左子樹(shù)高度。

2.只有子樹(shù)高度的變化才會(huì)影響當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的平衡因子。

3.插入節(jié)點(diǎn)后會(huì)增加數(shù)的高度,若新增節(jié)點(diǎn)在parent的右子樹(shù),則parent的平衡因子++,相反在parent的左子樹(shù)時(shí),則平衡因子- -。

每更新完一個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡因子都需要進(jìn)行以下判斷:

1.如果parent的平衡因子等于1/-1時(shí),說(shuō)明parent原先的平衡因子為0,插入節(jié)點(diǎn)后左子樹(shù)或右子樹(shù)的高度增加了,說(shuō)明還需要向上更新平衡因子。

2.如果parent的平衡因子等于0,說(shuō)明parent原先的平衡因子為1/-1,插入節(jié)點(diǎn)后左右兩棵子樹(shù)從不平衡變平衡了,說(shuō)明無(wú)需更新平衡因子。

3.如果parent的平衡因子等于2/-2時(shí),說(shuō)明parent原先的平衡因子等于1/-1,插入節(jié)點(diǎn)后插入到了較高的那一棵子樹(shù),說(shuō)明此時(shí)以parent為根節(jié)點(diǎn)的子樹(shù)已經(jīng)不平衡了,需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)處理。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	//如果樹(shù)為空,則插入的節(jié)點(diǎn)就是根節(jié)點(diǎn)
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
	//更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
			parent->_bf++;
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			//繼續(xù)往上進(jìn)行更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			//不平衡,旋轉(zhuǎn)處理
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
		break;
	}
	return true;
}

3. 樹(shù)的旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)的目的就是讓樹(shù)從失衡到平衡,降低樹(shù)的高度。旋轉(zhuǎn)主要分為四種,分別為左單旋、右單旋、左右雙旋和右左雙旋。下面我們具體講講每一種旋轉(zhuǎn)的內(nèi)部邏輯。

• 左單旋

條件:新節(jié)點(diǎn)插入到子樹(shù)較高的右側(cè)。

我們用圖來(lái)感受一下其旋轉(zhuǎn)的過(guò)程:

1.先將15的左子樹(shù)的節(jié)點(diǎn)12變成10的右子樹(shù)。

2.再將10變成15的左子樹(shù),15成為新樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)。

3.更新平衡因子

由于左單旋的情況很多,我們也可以用一張抽象圖來(lái)表示:

代碼所示:

//左單旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	parent->_right = subR;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	Node* pparent = parent->_parent;
	if (pparent == nullptr)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pparent == parent->_right)
		{
			parent->_right = subR;
		}
		else
		{
			parent->_left = subR;
		}
		subR->_parent = pparent;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

• 右單旋

條件:新節(jié)點(diǎn)插入到子樹(shù)較高的左側(cè)

用圖來(lái)感受旋轉(zhuǎn)的過(guò)程:

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)和左單旋和相似

1.先將5的右子樹(shù)的值b變成10的左子樹(shù)。

2.再將10變成5的右子樹(shù),旋轉(zhuǎn)完后5成為整棵樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)。

3.更新平衡因子。

代碼所示:

//右單旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	parent->_left = subLR;
	if(subLR)
		subLR->_parent = parent;
	Node* pparent = parent->_parent;
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;
	if (pparent == nullptr)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pparent == parent->_left)
		{
			parent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = pparent;
	}
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

• 左右雙旋

條件:新節(jié)點(diǎn)插入到較高左子樹(shù)的右側(cè)。

下面我們用圖來(lái)演示一下其旋轉(zhuǎn)過(guò)程:

1.插入新節(jié)點(diǎn)

2.以節(jié)點(diǎn)5為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)進(jìn)行左單旋

3.以節(jié)點(diǎn)為10進(jìn)行右單旋

4.旋轉(zhuǎn)完后更新平衡因子。

平衡因子又分為三種情況:

1.當(dāng)subLR的平衡因子為-1時(shí),左右雙旋后parent、subL,subLR的平衡因子分別為1、0、0。

2.當(dāng)subLR的平衡因子為1時(shí),左右雙旋后parent、subL,subLR的平衡因子分別為0、-1、0。

3.當(dāng)subLR的平衡因子為0時(shí),左右雙旋后parent、subL,subLR的平衡因子分別為0、0、0。

代碼所示:

	//左右雙旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

• 右左雙旋

條件:插入到較高右子樹(shù)的左側(cè)

其旋轉(zhuǎn)過(guò)程和左右雙旋類(lèi)似,這就不一一列舉了。

旋轉(zhuǎn)完過(guò)后也是需要更新平衡因子,平衡因子也是跟左右雙旋一樣有三種情況。

代碼所示:

//右左雙旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(parent);
	RotateL(parent);
	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

四、AVL樹(shù)的其它功能

1. 樹(shù)的查找

定義一個(gè)cur指針從樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)開(kāi)始查找,按一下規(guī)則進(jìn)行查找:

1.當(dāng)key的值小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值時(shí),則在該節(jié)點(diǎn)的左邊進(jìn)行查找。

2.當(dāng)key的值大于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值時(shí),則在該節(jié)點(diǎn)的右邊進(jìn)行查找。

3.若key的值等于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值時(shí),則說(shuō)明查找成功,返回true。

4.若遍歷完還沒(méi)查找到該節(jié)點(diǎn)的值,則說(shuō)明沒(méi)有此節(jié)點(diǎn),返回false。

代碼所示:

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

2. 樹(shù)的遍歷

我們遍歷方式有前序、中序、后序、層序等方式,我們?cè)谶@就采用中序遍歷的方式來(lái)遍歷樹(shù)的每一節(jié)點(diǎn)。

代碼所示:

void _Inorder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_Inorder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_Inorder(root->_right);
}

3. 樹(shù)的高度

int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

4. 樹(shù)的大小

返回左子樹(shù)+右子樹(shù)再加上根節(jié)點(diǎn)即可。

int _Size(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}

五、總結(jié)

1. AVL樹(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn):

**1.查找效率高:**由于AVL樹(shù)總是保持平衡,其高度相對(duì)較低,因此查找操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(log2N),效率較高。

2.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定: AVL樹(shù)的平衡性使得其結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定,不會(huì)出現(xiàn)極端不平衡的情況,從而保證了操作的穩(wěn)定性和可靠性。

缺點(diǎn):

1.插入和刪除復(fù)雜: AVL樹(shù)在插入和刪除節(jié)點(diǎn)時(shí),可能需要通過(guò)旋轉(zhuǎn)操作來(lái)保持樹(shù)的平衡,比較復(fù)雜。

2.可能導(dǎo)致性能下降: 在頻繁插入和刪除的場(chǎng)景下,AVL樹(shù)需要不斷地進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作來(lái)保持平衡,這就有可能導(dǎo)致性能降低。

2. 完整代碼

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指針,后續(xù)更新平衡因子可以看到
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	//平衡因子
	int _bf; // balance factor
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef	AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
				parent->_bf++;
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//繼續(xù)往上進(jìn)行更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//不平衡,旋轉(zhuǎn)處理
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
			break;
		}
		return true;
	}
	
	//右單旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if(subLR)
			subLR->_parent = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent == parent->_left)
			{
				parent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = pparent;
		}
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

	//左單旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subR;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent == parent->_right)
			{
				parent->_right = subR;
			}
			else
			{
				parent->_left = subR;
			}
			subR->_parent = pparent;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

	//左右雙旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	//右左雙旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent);
		RotateL(parent);
		if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}

	void Hight()
	{
		return _Hight(_root);
	}

	void Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

private:
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

總結(jié) 

到此這篇關(guān)于C++中AVL樹(shù)的底層以及實(shí)現(xiàn)方法總結(jié)的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C++ AVL樹(shù)底層及實(shí)現(xiàn)內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!

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    2021-12-12
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    2022-12-12
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    2018-02-02
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    2021-08-08
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    2021-11-11
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    2024-01-01
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    2023-01-01
  • 淺談C語(yǔ)言中的sizeof()和strlen()的區(qū)別

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    2022-05-05

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